KRIGAGEM (Krigeage, Kriging)

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1 A Teoria das Variáveis Regionalizadas tornou possível a Geoestatística KRIGAGEM (Krigeage, Kriging) Qualquer variável dependente do espaço e/ou tempo em que, além do caráter aleatório, apresente um caráter estrutural pode ser tratada como V.R. e sofrer uma análise segundo o formalismo desenvolvido pela Geoestatística. Aplicações da geoestatística Lavra e prospecção Agricultura de precisão Análise espacial de crimes Cartografia Climatologia Ecologia da paisagem Engenharia Florestal Epidemiologia Geologia ambiental Geologia do petróleo Geotecnia Hidrogeologia Pedologia Softwares para Confecção de Mapas ou Sistemas de Informações Georreferenciadas (Exemplo: SPRING) 4 A Teoria das Variáveis Regionalizadas tem por objetivo o estudo e a representação estrutural das V.R. para a resolução de problemas de estimativa, a partir de dados experimentais medidos sobre suportes que não abrangem totalmente tais domínios (Problema clássico da inferência estatística quando se pretende estudar uma população por meio de amostragem) O melhor estimador para um V.R. deve levar em consideração as respectivas posições relativas e, portanto, a característica estrutural Estimativas são sempre afetadas por erros e é necessária a avaliação da precisão da estimativa

2 Krigagem Método geoestatístico estimador que leva em consideração as características espaciais de autocorrelação de variáveis regionalizadas Nas variáveis regionalizadas deve existir uma certa continuidade espacial, o que permite que os dados obtidos por amostragem de certos pontos possam ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o valor da variável seja desconhecido Ao ser constatado que a variável não possui continuidade espacial na área estudada, não há sentido lógico em estimar/interpolar usando-se a krigagem 6 Análise geoestatística Estimação Krigagem simples Krigagem ordinária (normal) Krigagem universal Krigagem indicativa Co-Krigagem Simulação (A estimativa por krigagem tenta obter acurácia e a simulação tenta atingir realismo) Único meio disponível para se verificar a existência ou não de continuidade espacial é, se houver, por meio da análise variográfica que determinará os parâmetros que caracterizam o comportamento regionalizado Utiliza distâncias ponderadas e estimativa por médias móveis, pelo qual os pesos adequados são obtidos a partir de um variograma, representativo da média das diferenças ao quadrado dos valores de Z(x i ) distribuídos a intervalos de distâncias especificados (lags h) Necessidade de um sistema de equações normais em matrizes, na qual são usados os parâmetros variográficos para a obtenção dos pesos a serem utilizados para o cálculo do valor do ponto a ser estimado/interpolado Quando um variograma é adequadamente elaborado, a estimativa por krigagem resultante é reconhecida como sendo a estimativa linear melhor e não tendenciosa (BLUE = best, linear, unbiased estimate) 7 8

3 A krigagem pode ser usada para: Previsão do valor pontual de uma variável regionalizada em um determinado local dentro do campo geométrico; é um procedimento de interpolação exato que leva em consideração todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografia automática por computador quando se dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos por uma determinada área; Cálculo médio de uma variável regionalizada para um volume maior que o suporte geométrico como, por exemplo, no cálculo do teor médio de uma jazida a partir de informações obtidas de testemunhas de sondagens O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores associados a cada um dos pontos estimadores baseia-se na ideia que quanto maior a covariância entre uma amostra x i, i=,,..., n, e o local que está sendo estimado, x 0, mais essa amostra deve contribuir para a estimativa. Num método geométrico, como o do inverso do quadrado da distância, o peso entre a amostra xi e x0 também diminui à medida que a amostra fica mais longe, mas essas distâncias são euclidianas. 9 0 Estimativa do valor no ponto A No caso da estimativa por krigagem as distâncias são basadas na análise variográfica e alem desse relacionamento entre pontos estimadores e o ponto a ser estimado ha tambem o relacionamento entre os pontos estimadores que vão fornecer informações sobre o agrupamento presente. O sistema de krigagem leva em consideração, portanto, tanto a distância entre amostras como o seu agrupamento.

4 Inverso da distância Krigagem ordinária (normal) 4 Krigagem Estimação por uma combinação linear ponderada Cálculo dos ponderadores l i O valor estimado por krigagem Z*(x i ) é uma combinação linear de n Variáveis Regionalizadas. O valor estimado é não enviesado O erro cometido deve ter uma esperança zero A variância da estimativa é minimizada Procura pela máxima precisão 6 4

5 Krigagem ordinária Quando valores de uma variável regionalizada apresentam media constante, porem desconhecida, o algoritmo a ser aplicado é o da krigagem ordinária, para encontrar os ponderadores ótimos que minimizem a variância do erro de estimação. Um valor amostral, obtido num ponto, é uma realização parcial de uma função aleatória Z(x), onde x denota a localização espacial. Para a estimativa de um valor em um local não amostrado, Z(x0), são utilizados realizações parciais Z(x ), Z(x ),...Z(x n ), localizadas segundo coordenadas conhecidas. Z*KO = l Z(x ) + l Z(x ) l n Z(s n ), onde os li são os pesos atribuidos a cada valor conhecido. Existe associado a esse estimador um erro, =Z(x0)-Z*KO(x0); uma maneira simples seria representá-lo pela variância da estimativa: (s0)=var[z*ko(x0)-z(x0)] A variância não pode ser obtida porque não se conhece o valor real que se esta estimando e, portanto, também não se sabe qual o erro associado; a solução é transformar a expressão em termos de quantidades que possam ser calculadas: Z(x) honra a hipótese intrínseca: E[Z(x)] = m Var[Z(sx)-Z(sx+h)] = g(h), (A media é constante, mas como não entra no cálculo, pode continuar desconhecida). 7 8 Variância dos erros: = desvios ao quadrado em relação ao erro médio = média de [(Z(x 0 ) Z*(x 0 )]. Para estimar tal medida utilizar o variograma, em que são medidas as diferenças de valores ao quadrado. Num variograma, previamente calculado, dada uma distância h entre os pontos, pode-se estimar a variância simplesmente lendo o valor no eixo dos g s g(x i,x j ): variância entre os pontos estimadores g(x i,x 0 ): variância entre o ponto estimador i e o ponto a ser estimado É introduzido o multiplicador de Lagrange (m) porque os pesos l devem somar Representa o balanço entre como os valores estimadores se relacionam com o valor a ser estimado e como se relacionam entre si. A variância da krigagem é homoscedástica Independe dos valores dos pontos usados para obter o estimador Z*(x 0 ) Mede apenas a configuração espacial dos dados 9 0

6 Krigagem ordinária para a estimativa de um ponto x 0 [l] = [A] - [B] Cálculo da variância(desvio padrão) associada(o) ao valor obtido por estimativa krigada Krigagem simples Conhecimento da média. Para krigagem pontual: Z* ks (x 0 ) = Σlz(x i ) + [-Σl i ]m A soma dos pesos l i não esta restrita a Σl i g(x i,x j ) = g(x 0, x ) para j =,,...N Não há necessidade do multiplicador de Lagrange Para variância da krigagem: S ks(x 0 ) = Σl i g(x i,x 0 ) X 4 Ponto xi yi valor X? D, = D, = D,4 = D,4 = 0km; D,4 = D, = 4,4km; D,X = D,X = D,X = D4,X =,km Exemplos Modelo linear: g =h, fornece as variâncias:,: 06,0 km 0,00: 0,00 km 4,4:, km 4 6

7 Cálculo dos pesos l i Sk = 9,69 Intervalo de confiança: 9,69 *,96=8 m. Estimativa do ponto X: 497,0m±8m 6 (X) [B] 0. 0 [ g] 0 0 Modelo esférico: Valor de C (variância espacial): 700 ppm Valor de C 0 (efeito pepita; variância aleatória): 00 ppm Valor do patamar, soleira ou sill: C+C 0 = 800 (valor de g, segundo o qual o variograma se estabiliza) Amplitude de influência(a): 00 pés. A 4 Co+C (Co) Interpolador exato 8 g(h) substitui a distância euclidiana g(h =,7 7

8 Modelo esférico h a: campo estruturado até a distância 00 h>a: campo aleatório alem da distância 00 *7. ou ? a=00; , 49,4 40,0 790, 4, 49,4 40,0 790, l,7 0 8, 64,9 800,0 8, l 8, 0 69,9 778,8 l 40,9 64,9 69,9 0 74, 4 40, l 800,0 778,8 74, 0 l 74,9 0 m [ gxi, xi] l gxi, A 0,78 0,080 0,00746 l gxi, xi lxi, A 0, , , ,7 *,96= 9,7 Valor do ponto A deve estar entre 6,7 e 46,8. 8

9 Dados: espessuras, em metros, provenientes de 76 perfurações realizadas em uma jazida de argila de formato tabular. Efetuar uma análise geoestatística referente à espessura do depósito.. Alem da análise, tecer considerações especificamente com relação às seguintes questões: Padrão da rede de amostragem. Função de distribuição dos valores. Presença ou não de tendência Isotropia ou anisotropia presente. Qual porção da área pesquisada mereceria uma amostragem mais densa. Dados ID X Y Argila Distribuição dos pontos de amostragem

10 7 8 Mapa de variogramas

11 Direção EW (90) Modelagem: g = 4,60 +,08 Sph (,78) 4 4 IQD Mínima curvatura 4 44

12 Krigagem Desvios padrão da krigagem 4 46 Respostas: Padrão da rede de amostragem: regular. Função de distribuição dos valores: normal. Presença ou não de tendência: sem tendência Isotropia ou anisotropia presente: isotropia. Krigagem ordinária para áreas (blocos) Para a estimativa de uma área (ou bloco), em lugar de apenas um ponto x 0, considera-se a região com área Ar, com um centro x 0. Desse modo as variâncias entre os pontos amostrados (x, x, x...xn) e o ponto interpolado da situação anterior são substituídos pela média das variâncias entre os pontos amostrados e os pontos dentro da área Ar. Qual porção da área pesquisada mereceria uma amostragem mais densa: nenhuma

13 Em notação matricial: Cálculo da variância associada ao valor obtido pela estimativa (²) [li]' = vetor transposto com os pesos li [x i, Ar] = vetor com as médias dos semivariogramas entre cada amostra e a área (Ar) desconhecida a ser estimada Para a solução dos coeficientes li e m: [li] = [xi,xi] - * [xi,ar] [g(ar,ar)] = média dos semivariogramas entre todos os possíveis pares de pontos dentro da área estimada por krigagem em bloco 49 0 Estimativa do bloco Ar

14 0 4, 49,4 40,0 790, 4, 0 8, 64,9 800,0 49,4 8, 0 69,9 778,8 40,0 64,9 69,9 0 74, 790, 800,0 778,8 74, 0 l 6,7 l 7,4 l 46,9 l 446,8 4 l 696, m l = 0,46; l = 0,0; l = 0,69; l4 = 0,4; l = 0,7; m = 9,7 Area (Ar) = Aili = 76, ppm (ponto A = 76,) Valores obtidos por krigagem em blocos são mais suavizados que valores obtidos por krigagem pontual. g(ar,ar) = 44 Sk²=8.6 ppm e Sk =, ppm Area (Ar): entre 4, e 98,6 ppm. Valor do ponto A(x 0 ) deve estar entre 6,7 e 46,8 4 Krigagem pontual e em bloco Dados: espessuras de 9 poços em uma unidade sedimentar ((Hohn, M. E. (988) Geostatistics and Petroleum Geology: Van Nostrand Reinhold) ID X Y ESPESSURA Localização dos pontos

15 Variogram Variograma: Surfer Column D: E Direction: 0.0 Tolerance: 90.0 Krigagem ordinária pontual (00x00) 0 Krigagem pontual Lag Distance 8 Desvios padrão da krigagem

16 Krigagem em bloco 0x0 Krigagem em blocos Desvios padrão da krigagem em bloco 0x0 0 Krigagem em bloco x

17 Desvios padrão da krigagem em bloco x Exercícicio 0: Krigagem ordinária pontual Com o auxílio do SURFER aplicar o algoritmo Kriging aos 9 dados do exercício 0. Calcular mapas com valores estimados por krigagem pontual para os tres metais pesados (cádmio, cobre e chumbo). Calcular os respectivos mapas de desvios-padrão da krigagem. Usar os dados provenientes da modelagem variográfica efetuada no exercício 0. Os mapas resultantes deverão obedecer a área irregular abrangida pelos pontos de amostragem GRID/DATA/KRIGING

18 Contorno de áreas Após a aplicação de um algoritmo estimador, o resultado é apresentado na forma de um mapa com dimensões regulares, um quadrado ou um retângulo, englobando, portanto, uma área maior do que aquela amostrada. Mapa da distribuição de cádmio por krigagem ordinária pontual Há, porém, situações em que se quer o resultado referente apenas à área amostrada e, portanto, restrita a um polígono irregular. Localização dos pontos de amostragem sobre o mapa estimado por krigagem para a variável Cd Selecionar mapa: (Map Contour map New contour map)

19 No menu Map, escolher a opção Digitize. Em seguida marcar no mapa os pontos de contorno para a área escolhida Após digitalizar os pontos de contorno para a área desejada, gravar o arquivo com a extensão *.bln. Automaticamente será gravado o arquivo digit.bln, com as coordenadas XY referentes à área escolhida; a primeira linha/primeira coluna contem o número de pontos e a segunda coluna a opção. Essa opção significa que a área interna do polígono é que será omitida. Como não é essa a intenção, entrar nesse arquivo e substituir a opção por 0. Nesse caso a área externa ao polígono é que será omitida. Regravar o novo arquivo com o nome CdK.bln 7 74 Após gravar o arquivo CdK.bln, com a opção 0, escolher no Menu Grid a opção Blank. Essa opção tem a finalidade de construir um filtro que permita construir um mapa com limites condicionados pela rede de amostragem

20 Abrir o arquivo CdK.grd que originou o mapa utilizado inicialmente. Para a impressão do arquivo CdK.grd, entrar no Menu Map e escolher Map Contour New map contour 77 Em seguida abrir o arquivo CdK.bln Gerar um novo arquivo contendo pontos em reticulado para a área selecionada e gravá-lo com o nome CdK.grd 78 O resultado será um mapa dos valores de cádmio estimados por krigagem, porem restrito à área amostrada. O mesmo procedimento devera ser adotado para obter um mapa dos desvios-padrão da krigagem