COKRIGAGEM. Aplicação da cokrigagem

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1 COKRIGAGEM Procedimento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na correlação espacial entre si. É uma extensão multivariada do método da krigagem quando para cada local amostrado obtém-se um vetor de valores em lugar de um único valor. Aplicação da cokrigagem Quando duas ou mais variáveis são amostradas aproximadamente nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio espacial e apresentam significativo grau de correlação. O método pode ser usado quando a variável de interesse apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é conhecida como primária e as demais como secundárias. O objetivo é melhorar a estimativa da variável primária utilizando aquelas mais densamente amostradas. Ou quando a variável primária também exibe uma baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias apresentam uma alta continuidade. Normalmente é usada uma variável primária e apenas uma secundária. Se o numero total de variável primária e secundárias for igual a n, serão necessários (N v +) / variogramas e covariogramas cruzados. 3 4

2 ZS Fundamental na utilização da cokrigagem é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estimativas sejam consistentes. Também deve ser notado que a melhoria de interpretação somente é significativa quando uma das variáveis tem um número extremamente reduzido de casos em relação à outra. Se Z (x) e Z (x) são funções aleatórias estacionárias ou intrínsecas, o seu variograma cruzado, define-se como : Z Z ( h) E[( Z( x) - Z( x h))( Z( x) - Z ( x h Variograma cruzado experimental: O estimador Z(x 0 ) num ponto não amostrado x 0 pode ser descrito pela combinação linear dos valores vizinhos de ambas as variáveis ))] 5 6 Cokrigagem Ordinária: solução por cálculo matricial [A] [B] [X] α i =,...n i representam os n i pontos para a variável Zi e α i =,...n i representam os n i pontos com deslocamento h para a variável Zi i é o identificador da variável primária Z ou secundária Z Matriz [A] composta: pela sub-matriz, que descreve a distribuição espacial da primeira variável Z ; pela sub-matriz, que descreve a distribuição espacial da segunda variável Z ; pela sub-matrizes, que descrevem a variabilidade cruzada das variáveis Z e Z consideradas em conjunto; os termos restantes 0 e correspondem à condição de não viés para ambas as variáveis. 7 8

3 Vetor [B]: a matriz [A] não contém nenhuma informação sobre o ponto X 0, objeto da estimativa. Toda a informação necessária está contida no segundo membro do sistema, o vetor [B], o qual é composto por subvetores: o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X 0 em relação aos pontos x, onde Z é observada; o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X 0 em relação aos pontos y, onde Z é observada; os termos restantes 0 e correspondem à condição de não viés. Vetor [X]: a solução do sistema, ou seja, o cálculo dos coeficientes s, s e dos multiplicadores de Lagrange μ e μ, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X 0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente multiplicação por [B]. 9 0 Modelo linear de corregionalização As equações da cokrigagem são formuladas na suposição que as variáveis primária e secundária apresentam covariâncias, com matriz positiva definitiva, para ser considerada uma matriz de covariâncias-cruzada válida. Uma maneira simples para a obtenção dessa matriz é utilizar o modelo linear de corregionalização. Ajusta os variogramas e covariogramas cruzados entre duas variáveis, ou mais, de tal maneira que a variância de qualquer combinação linear possível dessas variáveis seja sempre positiva. Tal combinação usa a mesmas estruturas dos variogramas e dos covariogramas cruzados, mantendo o mesmo valor para o alcance. Ambos os determinantes das matrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), devem ser positivos: 3

4 Com dados totalmente coincidentes (isotopia): Conveniente, apenas, para estimar de maneira consistente o topo e a base de um jazimento. Cokriging Impossível estimar covariancias cruzadas com todos os dados não coincidentes (heterotopia). Cokriging Topo Base Não se obtem uma melhoria substancial quando se aplica a cokrigagem, em relação à krigagem ordinária. Variável secundária (impedância acústica) Variável principal (porosidade) 3 4 Cokriging Resultados satisfatórios quando os dados são parcialmente coincidentes (heterotopia parcial) Apenas variável secundária (impedancia acústica) Apenas variável principal (porosidade) Variável principal e variável secundária A cokrigagem ordinária é um procedimento que requer o cálculo e modelagem de variogramas experimentais diretos e cruzados. A modelagem desses variogramas não pode ser feita individualmente, mas sim em conjunto de tal forma que devem satisfazer o modelo linear de corregionalização. Tal procedimento pode se tornar muito trabalhoso à medida que aumenta o número de variáveis secundárias. Além disso, dependendo do número de variáveis envolvido, há o problema de estimativas discrepantes com a distribuição inicial da variável primária. Isso acontece devido às condições de restrição do sistema de equações de cokrigagem ordinária em que os pesos da variável primária somam a um, enquanto os pesos da variável secundária somam zero

5 A cokrigagem colocalizada é uma técnica que simplifica o procedimento da co-estimativa, pois não requer o cálculo do variograma cruzado, o qual é deduzido com base no chamado Modelo de Markov ou, dependendo do suporte amostral da variável primária em relação à variável secundária. Trata-se de uma técnica que faz a estimativa usando a informação secundária em caso de alta correlação ou a informação primária em caso de baixa correlação. Em situações de correlações médias, a cokrigagem colocalizada faz uso tanto da informação primária como da secundária, por meio dos pesos da variável primária e peso da secundária. A krigagem com deriva externa é também uma alternativa interessante em situações onde a variável secundária é fartamente amostrada. Nesse procedimento, há uma condição de restrição que força os pesos da variável primária seguirem a geometria da variável secundária. A maior dificuldade da krigagem com deriva externa está no cálculo da covariância residual a partir do variograma residual. Foi desenvolvido um procedimento que permite calcular a componente de tendência sobre a malha regular contendo a informação secundária e a partir daí derivar o seu variograma, que subtraído do variograma da variável primária resulta no vaiograma residual. 7 8 A cokrigagem ordinária trabalha com uma base de dados, preferencialmente com heterotopia parcial, da qual são calculados os variogramas diretos e cruzado. A cokrigagem colocalizada e a krigagem com deriva externa usam duas bases de dados: a primeira com amostragens das variáveis primária e secundária nos mesmos pontos, ou seja, a base é isotópica e outra base com dados secundários sobre os pontos que se deseja estimar a variável primária. No caso da cokrigagem colocalizada, parte-se do covariograma da variável primária para estimar o covariograma cruzado. A krigagem com deriva externa precisa do variograma residual. 9 Yamamoto e Landim,

6 Exemplo: Distribuição dos poços que atingiram o lençol freático/bauru,sp (Sturaro, 994) Topografia e lençol freático Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático 3 4 6

7 UTM - NORTE (UTM) - NORTE Variogramas Cokrigagem do topo do lençol freático COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO (UTM) - LESTE Mapa dos desvios padrão da cokrigagem MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO UTM - LESTE EXERCÍCIO 05. Krigagem indicativa Aplicar o algoritmo Kriging aos 359 dados do exercício 0, após transformação para valores binários 0-. Os níveis de corte, necessários para a transformação binária 0-, são 0.8 para cádmio, 50 para cobre e 50 para chumbo. Esses valores são definidos como sendo o máximo tolerável para um solo ser considerado como não poluído. Para a transformação binária: Planilha de dados/data Transform Transform with: Column variables Transform equation: Para cádmio: G=IF(D>0.80,,0) Para cobre: H=IF(E>50,,0) Para chumbo I=IF(F>50;,0) Calcular mapas com valores de probabilidade de ocorrência para os metais cádmio, cobre e chumbo. Os mapas resultantes deverão obedecer à área irregular abrangida pelos pontos de 8 amostragem. 7