Análise Fatorial. Matriz R de coeficientes de correlação: Não confundir análise de componentes principais com análise fatorial!

Transcrição

1 Análise Fatorial 1 Na análise fatorial as variáveis y1, y,..., Yp, são combinações lineares de umas poucas variáveis F1, F,..., Fm (m<p) denominadas fatores. Os fatores são constituintes subjacentes ou variáveis latentes que originam as y i. Assim como as variáveis originais, os fatores variam de indivíduo para indivíduo, mas ao contrário das variáveis, os fatores não podem ser medidos ou observados. A existência destas variáveis hipotéticas é, portanto, uma questão em aberto. Matriz R de coeficientes de correlação: Variáveis 1 e correspondem a um fator. Variáveis 3, 4 e 5 correspondem a outro fator Não confundir análise de componentes principais com análise fatorial! As componentes principais são definidas como combinações lineares das variáveis originais. Na análise fatorial, as variáveis originais são expressas como combinações lineares dos fatores. A análise de componentes principais, procura explicar a maior parte da variância total existente nas das variáveis. Na análise fatorial, procura-se explicar as covariâncias e/ou ou correlações entre as variáveis 4 Outras diferenças: Análise de componentes principais não requer essencialmente nenhuma suposição, enquanto que a análise fatorial faz várias suposições-chave As componentes principais são únicas, assumindo distintos autovalores, enquanto a análise fatorial esta sujeita a uma rotação arbitrária Se for alterado o número de fatores, os fatores estimados podem mudar. A capacidade de rotação melhorar a facilidade de interpretação é uma das vantagens da análise fatorial sobre a análise a análise de componentes principais. 5 Diferentemente da análise de componentes principais, que é uma manipulação matemática, a análise fatorial pode ser considerada como uma técnica estatística. Quando o método foi estabelecido por psicólogos, interessados em testes de inteligência, a condição fundamental era que o número de fatores "p" a se determinar, deveria ser conhecido "a priori" antes de se efetuar a análise. Dificilmente essa condição é preenchida, pois geralmente os "fatores " são estabelecidos em função dos resultados obtidos, o que torna os resultados questionáveis. 6 1

2 As variáveis, expressas em termos de vetores num sistema de coordenadas ortogonais, em que o comprimento representa a magnitude, agrupar-se-ão conforme o relacionamento entre si. Por esses agrupamentos de vetores poderão passar eixos, denominados fatores, que acusarão, pelo valor da projeção dos vetores sobre os eixos, a carga fatorial (factor loading) das variáveis sobre si. Esses fatores representam o número mínimo de causas que condicionam um máximo de variabilidade existente. A comunalidade (communallity), h², isto é, a soma dos quadrados das cargas fatoriais das variáveis sobre cada fator indica a eficiência dos mesmos na explicação da variabilidade total. 7 Os fatores são encontrados fazendo com que o primeiro eixo esteja em tal posição que a soma dos quadrados dos pesos fatoriais em relação a ele seja maximizada, o que equivale a colocá-lo paralelamente ao principal agrupamento de vetores. O segundo eixo é colocado ortogonalmente, de modo que também seja maximizada a soma de quadrados dos pesos fatoriais para este segundo eixo, e assim por diante quanto aos demais fatores. 8 Três métodos de extração de fatores latentes são os mais comuns: Componentes principais: É a mesmo método usado na análise de componentes principais. Fatores principais: É provavelmente o mais usado. É um método iterativo que permite que as comunalidades sejam gradualmente convergentse. Os cálculos são interrompidos quando a variação máxima nas comunalidades está abaixo de um determinado limiar ou quando o número máximo de iterações é alcançado. Seqüência de cálculos (modo R) O cálculo dos autovalores e autovetores é feito a partir de uma matriz padronizada de variâncias-covariância (matriz de coeficientes de correlação) entre variáveis padronizadas. Os autovetores são calculados de tal modo a definirem vetores com tamanho unitário. Isso é conseguido multiplicando cada elemento do autovetor normalizado pela raiz quadrada do correspondente autovalor. O resultado é um fator, vetor constituído por cargas fatoriais. Probabilidade máxima: Este método assume que as variáveis de entrada obedecem a uma distribuição normal. Como parte deste método, um teste de ajuste é calculado. A estatística utilizada para o teste segue uma distribuição de Chi com (p-k) / - (p + k) / graus de liberdade, onde p é o número de variáveis e k o número de fatores. 9 A matriz de variâncias e covariâncias observadas, [S], é igual ao produto da matriz de carregamentos fatoriais (factor loading) [AR], de dimensões m x p, multiplicada pelo seu transposto, mais uma matriz diagonal de variâncias únicas, [var Ejj] [S ]=[A R ][A R ] +[vare jj ] 10 Na análise fatorial, p < m. A variância nas m variáveis é derivada dos p fatores, porém a contribuição é feita por fontes únicas que afetam independentemente as m variáveis originais. Esses p fatores subjacentes são conhecidos como fatores comuns e resumem a contribuição independente como um único fator. Os autovalores e, consequentemente, os fatores, representam a proporção da variância total explicada pelo respectivo autovetor e cada carga fatorial é proporcional à raiz quadrada da quantia de variância atribuída pela respectiva variável ao fator. As comunalidades (h j) indicam quanto da variabilidade total está sendo explicada pelo conjunto de fatores. Para que os "p" fatores ortogonais situados no espaço "m" dimensional sejam mais facilmente entendidos é necessário que estejam em posição tal que as projeções de cada variável sobre o eixo fatorial, situem-se o melhor possível, seja junto à extremidade, seja junto à origem. 11 1

3 Haverá necessidade de um critério de maximização da variância dos carregamentos sobre os fatores, o que é conseguido pela rotação dos eixos fatoriais. s k m m p ( a / hj ) ( a / hj ) jp j j1 j1 p s j= variância das cargas fatoriais p= número de fatores m= número de variáveis originais a jp = carregamento da variável j no fator p h j= comunidade da j ésima variável A quantidade que se deseja maximizar é: V p s k k Após encontrada a matriz fatorial rotada se a mesma for multiplicada pela matriz inicial de dados obtem-se uma matriz dos "factor score". matriz fatorial inicial F1 F X ,59 X 0,940 0,340 X3-0,997 0,070 Esses factor score representam estimações das contribuições dos vários fatores à cada observação original e podem ser utilizados na classificação de amostras. A orientação dos autovetores no espaço multivariado é determinada pela direção da máxima variância. A contribuição da variância para cada autovetor deve ser maximizada. Necessidade de rotação da matriz fatorial inicial rotação dos fatores (pelo critério varimax) rotação ortogonal de uma matriz de carregamentos [X], em um novo conjunto de coordenadas [X ], requer uma matriz operacional [T] [X ] = [T] [X] ' X 1 cos sen x1 ' X sen cos x ângulo de rotação =?, para variavel j e fatores p e q 4 x jq(x jp x 4 (x jp x x jq / n j j j tan4θ (x jp x ( x ( x ( x xp x xq ) / n j j j j 17 U j =x jp-x jq V j =x jp x jq A =ΣU j =,6; A = 6,8789 B =ΣV j = -0,0001; B = 0,0000 C =Σ(U j-v j) = 1,6365 D =Σ(U j V j ) = -0,0797 tan4θ = (D-AB/n)/(C-(A -B )/n) = - 0,159/- 0,6555 = 0,49 arctan 0,49 = = 4; = sen = - 0,6598 cos = 0,

4 T 0,7515 0,6598 0,6598 0,7515 ' x ' x j1 j 0, ,9656 0,6598 0,7515 0,590 matriz fatorial rotacionada F 1 F X1 0,894 0,447 X 0,477 0,879 X3-0,79 0,609 X 11=T 11 X 11 +T 1 X 1 = (0,715*0,9656)+ (- 0,6598*- 0,590) = 0, = Análise fatorial exploratória: busca encontrar os fatores subjacentes às variáveis originais amostradas. Análise fatorial confirmatória: já se tem noção de quantos fatores estão presentes ; modelo fatorial pre-estabelecido e se deseja verificar se o mesmo é aplicável ou consistente com os dados amostrais

5 AFatorial com enfoque espacial (Bernardi, Fowler & Landim, 1997) Amostras coletadas no rio Paraíba do Sul, Pindamonhangaba/SP. Área amostrada: 900 m de comprimento por 100 m de largura; 90 pontos numa malha regular Fator I: abiótico (variáveis físico-químicas) Fator II: biológico (riqueza de gêneros do plâncton Componentes I II III N 0 Gêneros ph Temperatura OD Profundidade da luz DBO Variáveis: riqueza de gêneros do plâncton, ph, temperatura, oxigênio dissolvido, transparência da água, cor e turbidez da água. 5 Cor Turbidez % de variação Scores da primeira componente não variam na margem esquerda, direita e meio do rio antes da entrada do efluente; após a entrada começam a variar decaindo a partir da coordenada NS 1100m, assumindo valores negativos e voltando a crescer a partir da coordenada NS 000 m; comportamento pode ser explicado pelo aumento de DBO5, cor e turbidez com a entrada do efluente e a diminuição do OD e da transparência. Scores da segunda componente variam pouco na margem esquerda decaindo na região do meio do rio; a margem direita começa com cargas positivas, decaindo a partir dos ponto de coordenada 1100m, voltando a crescer depois do ponto de coordenada 000m. 7 8 total arenito folhelho nclástico carbonato evaporito , Dados estratigráficos , , , , Autovalores 3,46 1,57 0,573 0,46 variância % 57,703 5,45 9,554 7,103 v. acumulada % 57,703 83,155 9,709 99,

6 Matriz fatorial total 0,953 0,6-0,131 0,155 arenito -0,006 0,866-0,491-0,093 folhelho 0,87-0,097-0,09 0,467 nclástico 0,950-0,010 0,115-0,90 carbonato 0,01 0,834 0,548 0,055 evaporito 0,943-0,14 0,08-0,97 Matriz fatorial rotacionada total 0,640 0,47 0,088 0,7 arenito -0,03 0,97 0,33 0,000 folhelho 0,41-0,100-0,035 0,899 nclástico 0,939-0,030 0,066 0,337 carbonato 0,000 0,8 0,973 0,004 evaporito 0,935-0,066-0,089 0, total 0,640 0,47 0,088 0,7 arenito -0,03 0,97 0,33 0,000 folhelho 0,41-0,100-0,035 0,899 nclástico 0,939-0,030 0,066 0,337 carbonato 0,000 0,8 0,973 0,004 evaporito 0,935-0,066-0,089 0,336 Fator 1: Circulação restrita; alta taxa de evaporação; rápida subsidência Fator : Rápida introdução de clásticos grosseiros Fator 3: Níveis normais de circulação e evaporação; taxas lentas de deposição; falta de aporte de clásticos Fator 4: Rápida subsidência; valores intermediários de circulação e evaporação; aporte de detritos de granulação fina. 3 Distribuição espacial dos pontos Exercício 03: Análise de componentes principais Usando a matriz de dados do exercício 0, para este exercício é solicitado: Aplicar a análise de componentes principais para verificar se ocorrem relações entre a classificação de solos e presença de metais pesados e também entre o uso da terra e presença de metais pesados. Comparar, também, com os resultados do exercício

7