Exemplo 1: Variáveis padronizadas Z t = ( Z 1 (1), Z 2 (1), Z 1 (2), Z 2 Z 1 (1) Z (1) = Z (2) = Z 2. Matriz de correlações:

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1 Exemplo : Variáveis padronizadas t = (,,, ) = = Matriz de correlações: Ρ Ρ Ρ Ρ Ρ De onde se obtém: / Ρ Ρ Ρ / / Ρ Ρ Ρ Ρ Com autovalores: e , e, cujo primeiro autovetor é: e Assim, o vetor de coeficientes da a variável canônica é dado por: a / Ρ e Desta forma, a primeira variável canônica é: U

2 / ara b Ρ f temos que: f / / Ρ Ρ Ρ e / Substituindo f em b e, considerando que a Ρ e b / / Ρ Ρ Ρ a Ρ Ρ a, tenos Fazendo as contas: b t b Como Var ( V ) b Ρ Ρ, e como: vamos padronizar b fazendo: b Consequentemente: V

3 Finalmente, as variáveis canônicas são dadas por: U V Cuja correlação é: * Corr U, V ) (

4 Desenvolvimento Matricial Seja o vetor de variáveis X, de dimensão ( p q), dividido em dois grupos e, com matriz de covariâncias Σ X. X Σ Σ X e Σ X Cov ( X) X Σ Σ Então, os p pares de variáveis canônicas são definidos por: U A X V B X, em que A e B são as matrizes cujas linhas são formadas pelos coeficientes das combinações lineares que definem as variáveis canônicas. Como a k-ésima combinação linear tem coeficientes a k e, k,,, p, / k / sendo e k o k-ésimo autovetor de Ρ Ρ Ρ Ρ p autovetores como colunas de uma matriz E, temos: E / Ρ e, e ep E a a ap A. / t logo, A e t / t t e E E / t / ortanto, temos t ep, escrevendo os.

5 Da mesma forma B f t / t f t / F, f t p em que f k, k,,, p, são autovetores de Ρ / / Ρ Ρ Ρ Ρ. ortanto, temos: A E t e / B F t. / U A 0 Das relações acima, definindo Y e C V, as 0 B variáveis canônicas podem se escritas por: U A 0 X A X Y, V 0 B X B X ou seja, Y C X Nessa representação, fica fácil calcular as correlações das variáveis canônicas Y com as variáveis originais X. Σ YX Cov( CX, X) C Cov( X) Σ YX C Σ X A 0 0 B Σ Σ Σ Σ

6 Σ YX A Σ B Σ A Σ B Σ Σ Σ U,X V,X Σ Σ U,X V,X Vamos definir as matrizes diagonais / V e são dados pelas raízes quadradas das diagonais de pelos desvios padrões das variáveis de X e X. / V, cujos elementos Σ e Σ, ou seja, Desta forma, fazendo temos que V / Y I e, / / V 0 V X / e como, V Y I, 0 V YX Corr ( Y, X) V / Y Σ YX V / X YX A Σ B Σ A Σ B Σ V / 0 V 0 / YX A Σ B Σ V V / / A Σ B Σ V V / / YX U,X V,X U,X V,X

7 Caso as variáveis originais estejam padronizadas, as expressões são as mesmas, com uma simplificação no cálculo da matriz de correlações das variáveis canônicas com as variáveis originais (agora padronizadas), uma vez que V X I. e Cov ( ) Corr( X) As variáveis canônicas, nesse caso, serão: U A V B, em que A e B são as matrizes de coeficientes no caso em que as variáveis originais estão padronizadas. Desta forma, temos U V A 0 0 B A B, ou seja, Y C Nesse caso, teremos Cov ( Y, ) Corr( Y, ) C X YX C X A 0 0 B A B A B

8 Matrizes de erros de aproximações Da definição de variáveis canônicas, temos que: V B x U A x E também as matrizes de covariâncias: t A U A U A x S ) )( ( ) ( ) ( ) ( Cov Cov Cov t A A S ) )( ( Da mesma forma, temos: t B B S ) )( ( t B 0 A S ) ( ) ( * * * p. Assim, se escolhemos os r (r < p) primeiros pares canônicos, então: r (r) U U U a a a x

9 V V, V r e, (r) x b b b em que: x e aproximados pelos r pares canônicos e, colunas de e, respectivamente. A B x são os dois grupos de variáveis amostrais (i) â e (i) b são as i-ésimas Desta forma, as matrizes S, S e S são aproximadas por: S S t t t (r) (r) t x A A Cov ( ) ( )( ) a a a a a a t t t (r) (r) t x B )( B Cov ( ) ( ) b b b b b b t t (r) (r) S * t x x a b * Cov( ; ) a b * a b r As matrizes de erros de aproximações são, portanto, definidas por: ε ε ε S S S S S S e, assim, a matriz de erros de aproximações é dada por: ε ε ε ε ε

10 Nota: Como no cálculo das matrizes de covariâncias aproximadas foram consideradas apenas os r primeiros pares de variáveis canônicas, então os (p r) pares restantes serão responsáveis pelas diferenças referentes aos valores originais, ou seja, serão, de fato, as matrizes de erros: ε ε ε (r) (r) t (p) (p) t S S a a a a (r ) (r ) t (q) (q) t S S b b b b (r ) (r ) t (p) (p) t S S * a b * r a b p Exemplo : No exemplo temos: A z e B z esultando em: A z e B z Desta forma, retendo r = par de variáveis canônicas, temos as seguintes matrizes de correlações aproximadas ;

11 ; (0.7387) Matriz de correlações aproximadas E a matriz de erros de aproximações: ε lembrando que: Ρ

12 roporção de variação explicada Considere a retenção de r variáveis canônicas, então, a proporção da variância amostral do o grupo explicada por U é dada por: tr( S). X U tr( S ) Se considerarmos as variáveis padronizadas, temos tr( ) tr( ). U tr( ) p De forma análoga, a proporção da variância amostral do o grupo explicada por V é dada por: tr( S). X V tr( S ) Se considerarmos as variáveis padronizadas, temos tr( ) tr( ). V tr( ) q Exemplo 3: No exemplo, com r =, temos as matrizes de correlações aproximadas e ,

13 as proporções de variações explicadas em cada um dos grupos são dadas por: U V

14 Exemplo 4: Estudo do efeito da estrutura organizacional na satisfação profissional - n = 784. X = X X X 3 X 4 X 5 feedback significância das tarefas variedades das tarefas identificação com as tarefas X = X X X 3 X 4 satisfação com a supervisão satisfação com a carreira satisfação financeira satisfação com a carga de trabalho identificação com a autonomia X 5 empresa satisfação com o tipo de X 6 trabalho X 7 satisfação geral X = grupo características do trabalho; X = grupo satisfação com o trabalho Matriz de correlações:

15 Matrizes de Coeficientes (obtidas pelo SAS) t  = t B =

16 Matrizes de Correlações Correlações do vetor U com o grupo X U. U U U 3 U 4 U 5 X X X X X Correlações do vetor U com o grupo X U. U U U 3 U 4 U 5 X X X X X X X

17 Correlações do vetor V com o grupo X V. V V V 3 V 4 V 5 X X X X X Correlações do vetor V com o grupo X V. V V V 3 V 4 V 5 X X X X X X X k * Testes parciais para as correlações canônicas * 5 * k ) ( i i T gl Valor p

18 Matrizes de aproximações: considerando p = variáveis canônicas (as matrizes e são apresentadas truncadas) A B = = A B Matriz aproximada:

19 Matriz de erros: ε ε ε ε ε roporção de variação explicada: traço p ( ) traço q ( )

20 Exemplo 5: Waugh (94), apresenta medidas de n = 38 mostras de trigo duro vermelho canadense de primavera, sendo que as medidas foram obtidas dos grãos de trigo e da farinha produzida. As variáveis padronizadas são: = variáveis referentes aos grãos: = textura dos grãos; = peso dos grãos; = grãos danificados; = sujeira/corpos estranhos; = proteína bruta no trigo. = variáveis referentes à farinha produzida: = trigo por barril de farinha; 3 4 = cinzas na farinha; = proteína bruta na farinha; = índice de qualidade do glúten. Matriz de correlações:

21 k * Testes parciais para as correlações canônicas * 5 * ) i k ( i T gl Valor p elo teste quiquadrado, r = correlações canônicas são significativas. Matrizes de Coeficientes  = U U B = V V

22 Matriz de correlações aproximadas = Matriz de erros de aproximações: ε = Com r = pares de variáveis canônicas, as proporções de variações explicadas em cada um dos grupos são: U V

23 Exemplo 5: Medidas de ossos e do crânio de n = 76 frangos brancos de granja. X = comprimento do crânio; X = amplitude do crânio; X = comprimento do fêmur; X = comprimento da tíbia. Variáveis padronizadas t = (,,, ) Matriz de correlações amostrais: De onde se obtém: A z e B z , cujas inversas são: A z e B z k * Testes parciais para as correlações canônicas * * ) i k ( i T gl Valor p

24 Desta forma, retendo r = par de variáveis canônicas, temos as seguintes matrizes de correlações aproximadas ; ; (0.63) Matriz de correlações aproximadas E a matriz de erros de aproximações: ε

25 Considerando r = par de variáveis canônicas, as proporções de variações explicadas em cada um dos grupos são: U V