NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076

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1 7. ANÁISE DE CORREAÇÃO CANÔNICA 7. INTRODUÇÃO A Análise de Correlação Canônica foi desenvolvida por Hotelling (935) com obetivo de Identificar e quantificar as associações ou relações entre dois conuntos de variáveis. Eemplos: Um pesquisador educacional desea determinar a relação entre três medidas de habilidade escolar com cinco medidas de sucesso na escola. Um sociólogo desea investigar a relação entre dois preditores de mobilidade social baseado em entrevistas, com a mobilidade social atual medida por quatro diferentes indicadores. (3) Um pesquisador médico desea estudar a relação entre vários fatores de risco para o desenvolvimento de um grupo de sintomas. (4) Um pesquisador da área de comportamento desea estudar a relação entre a natureza do trabalho e a satisfação do trabalhador em um grande grupo de eecutivos. Desenvolvimento: Determinar o par de combinações lineares com maior correlação. Determinar outro par de combinações lineares com maior correlação sendo não correlacionado com o par determinado inicialmente. (3) O procedimento continua. Denominações: Variáveis Canônicas: são os pares de combinações lineares. Correlações Canônicas: são as correlações entres esses pares de combinações lineares. 7. CORREAÇÃO CANÔNICA POPUACIONA Considere: O primeiro grupo de p variáveis dado pelo vetor aleatório (p): O segundo grupo de q variáveis dado pelo vetor aleatório (q): (3) Os dois grupos tais que: p q. (4) Para os dois vetores aleatórios e tem-se que: E( ) µ e Cov( ) Σ E( ) µ e Cov( ) Σ Cov(, ) Σ Σ Página

2 (5) Considerando e conuntamente (p+ q) M ( ) p M ( ) q com média (p E( ) µ µ E( ) + q) E( ) µ e matriz covariância Σ (p+ q) (p+ q) Σ (p p) E ( µ)( µ )' Σ (q p) Σ (p q) Σ (q q) (6) As covariâncias entre os pares de variáveis dos diferentes conuntos uma variável de e outra de são contempladas em Σ ou Σ. Isto é, os p.q elementos de Σ medem a associação entre os dois conuntos. Quando p e q são relativamente grandes, a interpretação dos elementos de Σ conuntamente é impraticável, sendo então introduzidas as combinações lineares que permitirão as interpretações deseadas. (7) Considere as combinações lineares: U a e V b, então: V(U) Cov(U,V) a'cov( ) a a' Σ a, V(V) b'cov( ) b b' Σ b e a'cov(, ) b a' Σ b. Devemos encontrar os coeficientes a e b tais que: a' Σ b Corr(U,V) (7.) sea maior possível. a' Σ a b' Σ b (8) Define-se: - o primeiro par de variáveis canônicas como o par de combinações lineares U e V tendo variâncias unitárias, que maimiza a correlação acima (7.); - O segundo par de variáveis canônicas como o par de combinações lineares U e V tendo variâncias unitárias, que maimizam a correlação (7.) entre todas aquelas que são não-correlacionadas com o primeiro par de variáveis canônicas; Página

3 - Na -ésima etapa: o -ésimo par de variáveis canônicas como o par de combinações lineares U e V tendo variâncias unitárias, que maimizam a correlação (7.) entre todas aquelas que são não-correlacionadas com os - primeiros pares de variáveis canônicas. A correlação entre o -ésimo par de variáveis canônicas é chamada de -ésima correlação canônica. Resultado. Suponha p q e seam os vetores aleatórios e tendo Cov( ) Σ, ( p p) Cov( ) Σ ( q q) e Cov(, ) Σ. ( p q) Considere as combinações lineares U a e V b. Então ma a,b Corr(U,V) ρ* é satisfeita pela combinação linear (primeiro par de variável canônica) U a ' e ' Σ / e V b' f ' Σ/ O -ésimo par de variáveis canônicas,, 3,..., p, U a' e ' Σ/ e V b' f ' Σ/ Maimiza Corr(U,V ) ρ* entre aquelas combinações lineares não-correlacionadas com as precedentes,,..., - variáveis canônicas. Aqui * ρ ρ*... ρ * p são os autovalores de Σ / Σ Σ Σ Σ / e e, e,..., e p são os (p ) autovetores associados. (As quantidades ρ *, * ρ,..., ρ* p são também os p autovalores da matriz Σ / Σ Σ Σ Σ / com os correspondentes q autovetores f, f,..., f p. Cada f i é proporcional a Σ / Σ Σ / e ). i As variáveis canônicas têm as propriedades: Para, l,,..., p. Cov(U,U l ) Corr(U,U l ) 0, l Cov(V,V l ) Corr(V,V l ) 0, l Cov(U,V l ) Corr(U,V l ) 0, l Página 3

4 (9) Para variáveis padronizadas: [,,..., ( ) p ]' e [,,..., ]' q, as variáveis canônicas são da forma: U a' e ' / ρ e V b' f ' ρ/ onde: Cov( ) ρ, Cov( ) ρ, Cov(, ) ρ ρ' e e e f são os autovetores de ρ / ρ ρ ρ ρ / e ρ /ρ ρ ρ ρ /, respectivamente. As correlações canônicas ρ* satisfazem Corr(U,V ) ρ*,,,..., p onde: ρ* * ρ... ρ * p são os autovalores não-nulos da matriz ρ / ρ ρ ρ ρ / (ou, equivalentemente, da ρ / ρ ρ ρ ρ / ). 7.3 VARIÁVEIS CANÔNICAS AMOSTRAIS E CORREAÇÕES CANÔNICAS AMOSTRAIS Uma amostra aleatória de n observações das variáveis : p e : q pode ser resumida em uma matriz de dados n (p+q): M n M n M n p p M ( ) np M n M n q q M ) ( nq Página 4

5 onde Os vetores de médias amostrais podem ser resumidos como (p+ onde: n e n q) n n A matriz covariância amostral pode ser representada como S (p p) S (p+ q) (p+ q) S (q p) S (p q) S (q q) onde n S ( () () )( (l) (l) )',, l, l n As combinações lineares: Û a' ˆ e Vˆ b' ˆ têm correlação amostral: aˆ's bˆ r (7.) Û,Vˆ aˆ's aˆ b ˆ'S bˆ O primeiro par variáveis canônicas amostral é o par de combinações lineares Û tendo variância amostral unitária que maimiza a razão (7.).,Vˆ Em geral: o -ésimo par de variáveis canônicas é a combinação linear Û,Vˆ tendo variância amostral que maimiza a razão (9.) entre aquelas combinações lineares não-correlacionadas com as - variáveis amostrais canônicas anteriores. A correlação canônica amostral entre Û e Vˆ é chamada de -ésima correlação canônica amostral. Página 5

6 Resultado. Seam ρˆ * ρˆ *... ρˆ * p os p autovalores ordenados de S / S S S S/ com os correspondentes autovetores eˆ,eˆ, K,eˆ p, onde p q. Seam fˆ,fˆ. K,fˆ q os autovetores de S / S S S S/. O -ésima par da variável canônica amostral é Û aˆ' eˆ' S/ e Vˆ bˆ ' f ˆ ' S/ onde e são os valores das variáveis e para um eperimento particular. O primeiro par de variável canônica amostral tem correlação amostral máima Para o -ésimo par r Û Vˆ ρˆ *. r Û Vˆ ρˆ* e essa correlação é a maior possível entre as combinações lineares não correlacionadas com as precedentes - variáveis canônicas amostrais. As quantidades ρˆ *, ρˆ *,..., ρˆ * p são as correlações canônicas amostrais. 7.4 INTERPRETAÇÕES DAS VARIÁVEIS CANÔNICAS AMOSTRAIS A interpretação de Û e Vˆ pode ser auiliada pelo cálculo das correlações entre as variáveis canônicas e as variáveis nos conunto e. Definindo as matrizes [ˆ ˆ ˆ ]' ( p  a,a p), K,a p ; Bˆ [ˆ b,bˆ, K,bˆ ]' ( q q) q cuas linhas são os vetores coeficientes das variáveis canônicas amostrais, então: ˆ  (p U ) ; ˆ Bˆ (q V ) e podemos definir (7.4.) sendo R matriz das correlações amostrais de Û com U ˆ, R matriz das correlações amostrais de Vˆ com V ˆ, R matriz das correlações amostrais de Û com U ˆ, R matriz das correlações amostrais de Vˆ com V ˆ, Página 6

7 R U, ˆ R V, ˆ R U, ˆ R V, ˆ ÂS D/ Bˆ S D/ ÂS D/ Bˆ S D/ onde: D / é a matriz diagonal (p p) cuo i-ésimo elemento diagonal amostral / corresponde a V( ) e D / i é a matriz diagonal (q q) cuo i-ésimo / elemento diagonal amostral corresponde a V( ). i Se as observações são padronizadas, a matriz de dados torna-se z z M z n com z z z e as variáveis canônicas amostrais tornam-se iguais a Û Â ÂD/ z z z (p ) e Vˆ Bˆ Bˆ D / z z z (q ) As correlações canônicas amostrais não são afetadas pela padronização. As correlações dadas em (7.4.) permanecem inalteradas e podem ser calculadas, para as observações padronizadas, substituindo-se  por Â, Bˆ por Bˆ e R por S. Note que z z D / I e D/ I para as observações padronizadas. (p p) (q q) Página 7

8 Eemplo. Suponha que [ ] padronizadas. Sea ] e ] [ [ e são variáveis ρ Cov( ) ρ.0 ρ 0.4 ρ Calcule os pares de variáveis canônicas e as correlações correspondentes. SOUÇÃO: primeiro par de variáveis canônicas é dado por: U 0, ,77 V 0, ,737 - A correlação entre as variáveis canônicas do 0. par é: 0,5458 0,74 indicando uma forte associação entre os dois conuntos de variáveis, note que o primeiro par é sempre o mais importante; - A correlação entre as variáveis canônicas do 0. par é: 0,0009 0,03 indicando uma fraca associação entre os dois conuntos de variáveis; - As correlações entre as variáveis originais do primeiro conunto, [ ] com a variável canônica U são [0,97 0,6] e as correlações entre as variáveis originais do segundo conunto, [ ] com a segunda variável canônica são [0,69 0,85]. Isto indica que as variáveis e são mais importantes do que as outras. Da mesma forma pode-se ter as correlações de U com as variáveis de que são: [0,5 0,63] e de V com que são: [0,7 0,46]. Eemplo. Como parte de um grande estudo dos efeitos da estrutura organizacional sobre a satisfação no trabalho, Dunham investigou até que ponto as medidas de satisfação no trabalho estão relacionadas com as características do trabalho. Usando como instrumento de pesquisa a entrevista, Dunham obteve as medidas de p 5 variáveis relacionadas com as características do trabalho e q 7 variáveis relacionadas com a satisfação no trabalho para n 784 eecutivos de uma grande corporação ligada a merchandizing. As medidas de satisfação no trabalho estão associadas com as características do trabalho? A resposta deve ter implicações no replaneamento do trabalho. As variáveis originais características do trabalho,, e satisfação no trabalho,, foram definidas como: Página 8

9 treinamento função impor tan te 3 tarefas variadas 4 identificação com a tarefa 5 autonomia satisfação com o supervisor satisfação com o futuro da carreira 3 satisfação financeira 4 satisfação com a carga de trabalho 5 identificação com a companhia 6 satisfação com o tipo de trabalho ( ) satisfação geral 7 As respostas para as variáveis e foram obtidas em uma escala que foi padronizada. A matriz de correlação amostral baseada nas 784 respostas é: R R R R R O min(p,q) min(5, 7) 5 correlações canônicas amostrais e coeficientes das variáveis canônicas amostrais estão na tabela seguinte: Página 9

10 Assim, o primeiro par de variável canônica amostral é dado por Û 0.4z + 0.z + 0.7z 0.0z z 5 Vˆ 0.4z + 0.z 0.03z + 0.0z + 0.9z com correlação canônica amostral ρ ˆ * z 6 0.z 7 CORREAÇÕES AMOSTRAIS ENTRE AS VARIÁVEIS ORIGINAIS E AS VARIÁVEIS CANÔNICAS Variável Û Variáveis canônicas amostrais Vˆ Variável Û.Treinamento Satisfação com o supervisor. Função Satisfação com importante o futuro da 3.Tarefas variadas 4.Identificação com a tarefa carreira Satisfação financeira Satisfação com a carga de trabalho 5.Autonomia Identificação com a companhia 6.Satisfação com o tipo de trabalho 7.Satisfação geral Variáveis canônicas amostrais Vˆ As cinco variáveis das características do trabalho têm aproimadamente mesmas correlações com a primeira variável canônica. Essa variável pode ser interpretada como uma variável índice das características do trabalho. O outro membro do primeiro par de variável canônica, Vˆ, dá a impressão de representar, primeiramente, satisfação com o supervisor, satisfação com o futuro da carreira, identificação com a companhia e satisfação com o tipo de trabalho. Como essas variáveis sugerem, parece considerar o índice de satisfação no trabalho-identificação com a companhia. A correlação amostral entre os dois índices Û e Vˆ é ρ ˆ * Û Vˆ, Página 0

11 As proporções das variâncias total (padronizada) amostral eplicada pelas r primeiras variáveis canônicas são: r p No primeiro conunto por Û,Û,,Û K r r ) i Û i z( p r q r No segundo conunto por Vˆ,Vˆ,,Vˆ K r i z ( ) Vˆ i q Essas medidas descritivas proporcionam indicações de como as variáveis canônicas representam seus respectivos conuntos. Para o eemplo : No primeiro conunto por Û 5 r (0.83) + (0.74) + + (0.85) K Û z 5 No segundo conunto por 7 Vˆ 7 r (0.75) (0.65) + + K + (0.50) Vˆ z 7 A primeira variável canônica amostral, 0.37 Û, do conunto de características do trabalho é responsável por 58% da variação total desse conunto. A primeira variável canônica,, do conunto de satisfação com o trabalho eplica 37% do total desse Vˆ conunto amostral. Podemos inferir que que Vˆ é no seu. Û é mais representativa no seu conunto do Página