Seminário de Análise Multivariada

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1 Seminário de Análise Multivariada Capítulo 1 - Introdução

2 Conteúdo 1 Introdução 1 11 Aplicações de Técnicas Multivariadas 2 12 Organização de Dados Arranjos Exemplo 11 - Seleção de recibos 4 13 Estatística Descritiva Exemplo 12 - Estatísticas descritivas 7 I

3 Lista de Figuras II

4 Lista de Tabelas 11 Representação de dados através da notação x jk para indicar um valor particular da k-ésima variável mensurada na j-ésima unidade amostral ou experimental 3 12 Representação de dados na forma tabular 4 III

5 Capítulo 1 Introdução A compreensão de fenômenos físicos ou sociais dá-se através de uma coleta e análise de uma grande quantidade dados de acordo com uma hipótese Como o conjunto de dados e variáveis é muito grande, utilizam-se métodos estatísticos para obter informações úteis dessa massa de dados Esses são chamados de nétodos de análise multivariada A análise multivariada conduz aos seguintes objetivos: a) Redução de dados ou simplificação estrutural O fenômeno estudado deve ser representado da maneira mais simples possível, sem sacrificar valiosas informações tem b) Ordenação e agrupamento Agrupamento de objetos, tratamentos, ou variáveis similares baseados em dados amostrais ou experimentais c) Investigação da dependência entre variáveis O estudo das relações estruturais entre variáveis muitas vezes é de interesse do pesquisador d) Predição Relações entre variáveis devem ser determinadas para o propósito de predição de uma ou mais variáveis com base na observação de outras variáveis e) Construção e teste de hipóteses 1

6 2 Os modelos multivariados possuem em geral, um propósito através do qual o pesquisador pode testar ou inferir a respeito de uma hipótese sobre um determinado fenômeno No entanto a sua utilização adequada depende do conhecimento das técnicas e das suas limitações 11 Aplicações de Técnicas Multivariadas Técnicas estatísticas contituem se uma parte integral da pesquisa científica e em particular as técnicas multivariadas tem sido regularmente aplicada em várias investigações científicas nas áreas da biologia, física, sociologia e ciências médicas Medicina Nos estudos onde as reações de pacientes a um detarminado tratamento são mensuradas em algumas variáveis e possuem difícil diagnóstico, as técnicas de multivariadas podem construir uma medida de resposta simples ao tratamento, na qual é preservada a amior parte da informação de amostra e das múltiplas variáveis respostas Em outras situações as técnicas multivariadas podem ser usadas também quando a classificação de um paciente, baseada nos sintomas medidos em alguma variáveis, é difícil de ser realizada Assim, uma técnica multivariada de classificação, em que se cria uma função que pode ser usada para separar as pessoas doentes das não doentes, pode ser implementada Sociologia Estudos de inter-relacionamentos, agrupamentos de indivíduos, cidades ou estados em grupos homogêneos em relação à mobilidade, número de estrangeiros nascidos e de segunda geração em determinado país é necessária em alguns estudos sociológicos As técnicas de análise multivariada, conhecidas como análise de agrupamento (cluster analysis), pode ser empregada Biologia No melhoramento de plantas é necessário, após o final de uma geração, selecionar aquelas plantas que serão os genitores da próxima geração A seleção deve ser realizada de maneira que a próxima geração seja melhorada em relação à resposta média de uma série de características da geração anterior O objetivo consiste em maximizar o ganho genético em um espaço mínimo de tempo A análise multivariada pode ser usada para converter

7 3 uma série de características para um índice, na qual a seleção e escolha dos pais possam ser feitas Em algumas situações se deseja a separação de algumas espécies, e as técnicas multivariadas podem ser usadas com esta finalidade Uma função é construída, os seus valores são usados para esta separação 12 Organização de Dados A análise multivariada é útil no tratamento da análise realizada em muitas características ou variáveis (medidas) Essas medidas, muitas chamadas de dados, devem ser organizados e apresentados em várias formas Por exemplo, a utilização de gráficos e arranjos tabulares são importantes auxiliares nas análises de dados Números que descrevem quantitativamente certas características, também são essencias para a interpretação de dados amostrais ou experimentais Tabela 11 Representação de dados através da notação x jk para indicar um valor particular da k-ésima variável mensurada na j-ésima unidade amostral ou experimental Variáveis Unidades amostrais 1 2 k p 1 X 11 X 12 X 1k X 1p 2 X 21 X 22 X 2k X 2p j X j1 X jk X jk X jp n X n1 X n2 X nk X np 121 Arranjos Os dados multivariados são provenientes de uma pesquisa em determinada área em que são selecionadas p 1 variáveis ou características para serem mensuradas As medidas são tomadas em cada unidade da amostra ou experimento A representação destes dados é feita com a notação x jk para indicar um valor particular da j-ésima unidade amostral ou experimental e

8 4 da k-ésima variável mensurada Conseqüentemente, estas medidas de p variáveis em n unidades amostrais ou experimentais, podem ser representadas conforme o arranjo da Tabela 11 Os valores da Tabela 11, podem ser representados em um arranjo retangular denominado de X, com n linhas e p colunas: x 11 x 12 x 1k x 1p x 21 x 22 x 2k x 2p X = (11) x j1 x j2 x jk x jp x n1 x n2 x nk x np 122 Exemplo 11 - Seleção de recibos A seleção de 4 recibos de uma livraria foi obtida para avaliar a venda dos livros, Tablela 12 Cada observação bivariada forneceu a quantidade de livros vendidos e a quantidade em reais de cada venda Os dados obtidos na forma tabular são: Tabela 12 Representação de dados na forma tabular Variável 1 (Reais/venda) Varável 2 (número de livros vendidos) Usando a notação proposta tem-se: X 11 = 42 X 21 = 52 X 31 = 48 X 41 = 58 X 12 = 4 X 22 = 5 X 32 = 4 X 42 = 3 e a matriz X dos dados é: X = A organização dos dados em arranjos tem as seguintes vantagens: (12) 1 Descrição dos cáculos como operações com matrizes; 2 Fácil implementação em computadores

9 5 13 Estatística Descritiva Grandes conjuntos de dados dificultam a extração de informações visuais pertinentes ao fenômeno estudado Muitas informações contidas nos dados podem ser obtidas pelo cálculo de números conhecidos como estatísticas descritivas Por exemplo, a média aritmética, é um valor que fornece informação de posição, isto é, representa um valor central para o conjunto de dados Outro exemplo é a média das distâncias ao quadrado de cada dado em relação à média que fornece uma medida de dispersão ou variabilidade Descrições formais destas medidas serão representadas a seguir Sejam X 11, X 21,, X n1 as medidas sobre a primeira variável, então a média aritmética é dada por: X k = 1 n x jk k = 1, 2,, p (13) n Uma medida de variação é dada pela variância amostral, definida para as n observações da i-ésima variável por: ou S 2 k = 1 n n (x jk x k ) 2 k = 1, 2,, p (14) generalizando: S 2 k = 1 n 1 n (x jk x k ) 2 k = 1, 2,, p (15) Sk 2 = S kk = 1 n n (x jk x k ) 2 k = 1, 2,, p (16) A raiz quadrada da variância amostral S kk, é conhecida como o desvio padrão amostral O desvio padrão está na mesma unidade de medida das observações Uma medida de associação entre as observações de duas variáveis i e k, é dada pela covariância amostral: S ik = 1 n n (x ji x i ) (x jk x k ) i, k = 1, 2,, p (17) Se grandes valores de uma variável são observados em conjunto com grandes valores da outra variável, e os pequenos valores também ocorrem juntos, S ik será positiva Se grandes

10 6 valores de uma variável ocorrem com pequenos valores da outra, S ik será negativa Se não há associação entre os valores das duas variáveis, S ik será aproximadamente zero Quando i = k, a covariância reduz-se a variância amostral Além disso, S ik = S ki, para todo i e k A última estatística descritiva a ser considerada é o coeficiente de correlação amostral Esta medida de associação linear entre duas variáveis não depende da unidade de mensuração O coeficiente de correlação amostral para i-ésima e k-ésima variável, é definido por: n s ik r ik = = (x ji x i )(x jk x k ) n sii skk (x n (18) ji x i ) 2 (x jk x k ) 2 Verifica-se que r ik = r ik para todo i e k O coeficiente de correlação amostral é a versão padronizada da covariância amostral, onde o produto das raízes das variâncias das amostras fornece a padronização O coeficiente de correlação amostral pode ser considerado como uma covariância amostral Suponha que os valores X ji e Xjk sejam substituídos pelos valores padronizados, (x ji x i ) sii e (x jk x k ) skk Esses valores padronizados são expressos sem escalas de medidas (adimensionais), pois são centrados em zero e expressos em unidades de desvio padrão O coeficiente de correlação amostral é justamente a covariância amostral das observações estandardizadas A correlação amostral r, em resumo, tem as seguintes propriedades: 1 Os valores de r devem ficar entre 1 e +1; 2 Se r = 0, implica em inexistência de associação linear entre as variáveis Por outro lado, o sinal de r, indica a direção da associação: Se r < 0 há uma tendência de um dos valores do par ser maior que sua média, quando o outro for menor do que a sua média, e r > 0 indica que quando um valor do par for grande o outro também o será, além de ambos valores tender a serem pequenos juntos; 3 Os valores de r ik não se alteram com a alteração da escala de uma das variáveis As estatísticas s ik e r ik, em geral, não necessariamente refletem todo o conhecimento de associação entre duas variáveis Associações não lineares existem, as quais, não podem ser reveladas por estas estatísticas descritivas Por outro lado, estas estatísticas são muito sensíveis a observações discrepantes (outliers) [?] Além destas, outras estatísticas como a soma de quadrados de desvios em relação à média (W ii ) e a soma de produtos de desvios (W kk), são muitas vezes de interesse Essas estão

11 7 apresentadas a seguir: n W kk = (x jk x k ) 2 k = 1, 2,, p (19) n W ik = (x ji x i ) (x jk x k ) i = 1, 2,, p k = 1, 2,, p (110) As estatísticas descritivas multivariadas calculadas de n observações em p variáveis podem ser organizadas em arranjos: 1 Matriz de médias da amostra X = X 1 X 2 (111) X p 2 Matriz de covariância amostral S = s 11 s 12 s 1p s 21 s 22 s 2p (112) s p1 s p2 s pp 3 Matriz de correlação amostral R = 1 r 12 r 1p r 21 1 r 2p r p1 r p2 1 (113) 131 Exemplo 12 - Estatísticas descritivas Mostre como calcula a média, covariância e a correlação