Tópicos para a resolução do exame de Álgebra de 11 de Janeiro de 2000 (1ª Chamada)

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Marco Antônio da Conceição
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1 6 & ' 6 a Tópicos para a resolução do eame de Álgebra de de Janeiro de 000 (ª Chamada) Im z z - - z Re b c d ( artg ) ( artg ) ; 9 6 ; z e z e e z e 6 6 p e z e z z ( )e ( ) e ( ) ( ) i z z z z z 6 Re( ) z Re( ) Re (! " ) # $ % $ & ' % & ' ( + ) -/ ) 0, ( + ) -- ), ( -- * ( * q ze ze ze ze ze ze e Re " ( ) cos sen # Re + " ( ) / 0 #, / a Se calcularmos o determinante da matriz dos coeficientes, ; : < = = podemos concluir imediatamente que o sistema é possível e determinado para > >? e Considerando agora cada um dos casos separadamente temos que:

2 N i i _ C G GK e r Q _ h B D H J H f s V R e r C G GK O Q T B D H J H g l X t l P R R 0 a 0 E F A F A I I I I b b b 0 0 b Podemos concluir que o sistema é impossível se b L 0 (ª equação), mas é possível e indeterminado quando b M 0 (a ª e a ª equações são linearmente independentes) O P Q R a Q 0 a R Q 0 R S T U Q 0 T R b 0 b U Q 0 T 0 R W T T T Q R b Q R WQV 0 0 a b Como é evidente, para que o sistema sea possível, as ª e ª equações devem ser b iguais, pelo que S X b a b, ou sea, Y bz a[ Y bz a[ bz Y a Portanto, o sistema é possível e indeterminado se bz Y a e impossível \ ] quandob a Em resumo: ^ e - ` ` a Sistema possível e determinado b c h d e bh 0 oum h i e bh i an Sistema possível e indeterminado, com grau de indeterminação igual a o p h q e bu 0 oum h i e bu i an Sistema impossível r h h h b Resolução do sistema para, a, b 0 Como vimos na alínea anterior, nestas circunstâncias o sistema deve ser possível e v determinado w v w v w 8 0 y y y 0 0y y 0y y y y z { z { z { 0 Resolvendo o sistema usando a regra de Cramer temos:

3 ˆ ~ } } } } } } } ; 0; ( ) } } } } } 0 ƒ ƒ ƒ 0 ƒ 0 ƒ 0 0 ƒ ƒ } ƒ 0 0 ƒ 0 0 ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ c Resolução do sistema para, a, b 0 0 Como se pode verificar, o sistema é impossível pois as ª e ª equações são incompatíveis, pois } (ª equaçao) e } (ªequaçao) a Para provar que S gera independentes (a dimensão de basta provar que S contém vectores linearmente é ) Considerando, por eemplo, os vectores (, 0, ), (0,, ) e (-,, ), podemos 0 ˆ Š calcular o determinante 0 0 para verificar que a independência linear destes vectores Portanto, uma vez que S contém uma base para podemos afirmar que S gera Outra possibilidade é provar que é possível gerar o elemento genérico de, (, y, z), isto é, representá-lo como combinação dos elementos de S, quaisquer que seam os valores de, y e z ( yz,, ) a(,0,) a(0,,) a(,,) a(,,), o que dá origem ao sistema,

4 «««Œ a a Ž a y a a a z a a a a š š š 0 œ 0 œ 0 œ 0 yœ 0 y œ 0 y œ ž Ÿ œ ž Ÿ œ ž Ÿ œ z 0 z 0 0 z y Dado que este sistema é sempre possível, podemos concluir que S gera b Por eemplo, o subconunto {(, 0, ), (0,, ), (-,, )}, referido na resolução da alínea anterior, é uma base para ( vectores linearmente independentes, como foi provado antes) Eistem, no entanto, outras possibilidades como {(, 0, ), (0,, ), (,, )} ou {(0,, ), (,, ), (-,, )} c O subconunto W não é um subespaço de pois não se verifica qualquer uma das condições necessárias ( W não contém o vector zero, (0, 0, 0), de ; a soma de dois elementos de W não pertence a W; o produto de um escalar por um elemento de W não pertence a W) a A representação de T(+) na base canónica de pode ser obtida multiplicando a matriz T pela representação de ( + ) na base Dado que + = -() ª + (+), ª verifica-se que ª T(+) Finalmente, T ( + ) = (,, -) 0 T ± b A característica da transformação pode ser determinada a partir da matriz, pois ² é igual à respectiva característica, que é ª ª ª ³ µ «µ µ Uma base para R(T) pode ser obtida a partir do conunto das imagens de uma base de P (R) Uma vez que T() = (,, ) e T(+) = (,, 0) ¹ (resultados obtidos directamente da matriz dada) e estes dois vectores de são linearmente independentes, o conunto {(,, ), (,, 0)} é uma base para R(T)

5 Á ¾ Ë ½ ¾ Ã Ç Ì Ä À Ê Ã À Ç Ë Ä È Á Ã Ç Á Ä ¾ À - c Sabe-se que º» º» ¼ Dado que Â T P T Q, onde Q é a matriz de mudança da base ' ' ' é a base canónica, podemos determinar directamente depois inverter para obter - Q = 0 È e Q= 0 È A matriz P é a matriz identidade de Ã Ä Ã Ä ordem pois não há alteração da base no conunto de chegada 0 À Ã Ä Ã Ä - - Ê TË Ê TË À À 0 ' Ç È 0 Ç È Ç È 0 Ç È 0 a Para calcularmos os valores próprios do operador podemos usar uma qualquer das suas representações matriciais Se, por simplicidade, usarmos a 0 0 representação na base canónica de Calculando o polinómio característico,, obtemosê TË T ti t 0 0 t 0 0 t t 0 t t t t t t t t t À À Í 8 6 ( )( ) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) t, obtemos Como pode ser verificado, este polinómio só tem duas raizes reais (iguais a zero) Portanto, o operador só tem um valor próprio real, que é o valor 0, com multiplicidade algébrica b O operador não é diagonalizável pois não é factorizável em Ì Ã Ä Ã Ä Ã Ä Ã Ä c Para determinar o subespaço próprio associado ao valor próprio zero basta y y 0 resolver o sistema Ê T 0I À À z 0 0 z 0 Ç È Ç È Ç È Ç È t t 0

6 Ô Ø Õ Î Ò Ï Ó A solução geral deste sistema é 0 0, onde e são dois parâmetros reais Assim, o subespaço próprio associado ao valor próprio 0 é o subconunto de Ö, E (0,0,, ),, Este subespaço é também o núcleo do operador linear T, isto é, o conunto de vectores de cua imagem por T é o vector nulo de

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