ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução da Repetição do 2º Teste

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução da Repetição do 2º Teste 30 de Junho de 2014 Ano Lectivo: Semestre: Verão

2 Aceda aqui à página de ALGA ISEL è ADMat Secção de Álgebra ç ALGA

3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 3 PARTE 1 1 ç Considere, no espaço cartesiano real dotado do produto interno canónico, o vector?tœ "ß" e ainda o tal œ œ $ 1 e ang. % a ç Calcule a área do triângulo de lados?t e a projecção ortogonal sobre?t. b ç Determine um vector ortogonal a?t com norma igual a $. c ç Determine uma base ortonormada de contendo um vector colinear com?t. Resposta 1a ç Determinaremos a área do paralelogramo de lados?t por dois processos: ç Processo ": A norma de?t é igual a A área do paralelogramo de lados?t é:?t œ?t?t œ "ß " "ß " œ " " œ Área $ sin ) œ % sin œ % œ % % ç Processo : Se atendermos a que?t œ % $ 1 cos ) œ cos œ œ %, temos, usando o determinante de Gram @t œ œ % œ œ "' @t % "' Seja qual for o processo de cálculo da área do paralelogramo, a área do triângulo de lados Quanto à projecção de " " œ œ % sobre?t, ficamos com: œ œ %?t?t?t "ß " œ ß?t é Observe-se que, com os dados do problema, o não é único: de facto, existem dois vectores $ œ +ß, com norma igual a % e fazendo um ângulo ) œ com?t (ver figura no fim œ % "ß " +ß, œ % +, œ% Í œ % +ß, œ % +, œ "' % Ano Lectivo: Semestre: Verão 2014 Junho 30

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste Resolvendo o sistema anterior pelo método de substituição, vem +, œ%, œ+% Í Í +, œ "' +, œ "', œ +%, œ +% Í Í + +% œ "' + )+ "' œ "', œ +%, œ +% Í ++% œ! Í +œ! +œ% +œ! +œ%,œ%,œ! Existem, pois, soluções (ver figura mais œ!ß% œ %ß! " 1b ç Seja At œ +ß, o vector pedido. Então, teremos?t Atœ! "ß" +ß, œ! +, œ! Í Í At œ $ +ß, œ $ +, œ * O vector At tem, pois, por componentes as soluções do anterior sistema não linear nas incógnitas reais +ß,. Resolvamo-lo pelo método de substituição: +, œ!, œ+, œ+ +, œ* Í +, œ* Í + œ* Í, œ + * + œ Í,œ+ +œ œ Í +œ $ $ $ $,œ Assim, existem duas soluções para At (ver figura na página seguinte): At œ $ ß $ œ $ "ß" At œ $ ß $ œ $ " "ß" e 1c ç Em consequência do resultado da alínea anterior, as listas? tß A t" e? tß At são ortogonais, bastando tomar os versores destes vectores para se obter um total de % bases ortonormadas contendo um vector colinear com?t, como o enunciado pede. A título de exemplo, determinamos os versores de? t e de At " : vers? t œ "?? t œ " "ß" œ t "ß" " " $ vers At" œ At " œ "ß " œ "ß " At $ " 2014 Junho 30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 5 Calculando os restantes versores como ilustrámos na página anterior, as quatro bases são (vectores a vermelho na figura abaixo): "ß " ß "ß " "ß" ß "ß" "ß " ß "ß " "ß " ß "ß " A figura seguinte ilustra geometricamente o problema que acabámos de resolver, com os triângulos de lados e e os dois ângulos 5 ) 4 v proj ( ) v u k w v 2-1 u -2 w Ano Lectivo: Semestre: Verão 2014 Junho 30

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 2 ç Considere os endomorfismos 0 e 1 de $ definidos por: 0Bß Cß D œ B Dß Cß B De 1Bß Cß D œ B Dß Cß B D. Sejam ainda J e K as matrizes de 0 e de 1, respectivamente, em relação à base canónica de $. a ç Determine J e K. b ç Verifique que 0 e 1 são automorfismos de $. c ç Prove que, para todo o BßCßD $, se tem 1BßCßD œ0 " BßCßD. Resposta 2a ç As colunas das matrizes pedidas são constituídas pelas coordenadas das imagens por 0 e por 1 dos vectores da base canónica em relação a esta mesma base: 0 "ß!ß! œß!ß " 1 "ß!ß! œ"ß!ß " 0!ß"ß! œ!ß "ß! 1!ß"ß! œ!ß "ß! 0!ß!ß" œ"ß!ß " 1!ß!ß" œ"ß!ß Assim, ficamos com:! " "! " Jœ! "! e Kœ! "! "! " "! 2b ç Basta verificar que os determinantes de J e de K não são nulos; vamos aplicar o teorema de Laplace às segundas linhas (também poderíamos usar as segundas colunas):! " " detj œ! "! œ œ " Á! " " "! " "! " " " detk œ! "! œ œ " Á! " "! Portanto, as características de J e de K são iguais a $, o mesmo se passando com as características de 0 e de 1: assim, as funções 0 e 1 são sobrejectivas, logo, são automorfismos de $ Junho 30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 7 2c ç Basta mostrar a correspondente igualdade KœJ " em termos das representações de 0 e 1na base canónica: " " J œ adjj œ adjj detj Em alternativa, pode também determinar-se "!!!! "! " " " "!! " "! œ! " " " "!! " "! "!!!! " T "! " "! " œ! "! œ! "! œk "! "! J " por condensação:! " "!!! " "!!! "!! "! µ! "!! "! µ "! "!! "!! " "! P P ÄP P P ÄP $ " $ " $ "!!! " "!! "! " PÄP " "! "!! "! µ! "!! "!!! " "!!! " "! Então, "! " " J œ! "! œ K Ê 1œ0 " "! T Ano Lectivo: Semestre: Verão 2014 Junho 30

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 3 ç Seja 2 o endomorfismo de $ cuja matriz, em relação à base canónica, é "!! Lœ! & " ' a ç Calcule os valores próprios de 2 e determine as respectivas multiplicidades algébricas. b ç Determine bases para os subespaços próprios de 2 e indique o valor da multiplicidade geométrica de cada um dos valores próprios calculados. c ç Diga, justificando, se 2 é diagonalizável e, em caso afirmativo, exiba uma representação matricial diagonal de 2 e uma base de $ associada a essa representação. Resposta 3a ç Aplicando o teorema de Laplace à " ª linha, o polinómio característico de 2 é dado por: "-!! - & : 2- œ detl -M$ œ - & œ -" " '- " '- œ-" - ' -& œ-& -" Conclui-se que o espectro de 2 é E2 œ "ß&. A multiplicidade algébrica do valor próprio - œ " é 7 " œ e a multiplicidade algébrica do valor próprio - œ& é 7 & œ" b ç Para determinar bases para os subespaços próprios de 2, temos que calcular os vectores próprios resolvendo os sistemas homogéneos L-M \ œs, para cada - 2: $ - E ç Para - œ":!!!! " &! B œ B PPÄP $ $ " &! µ!!!! Ê C œ B&D PÇP $ " &!!!!! D œ D A solução geral do sistema homogéneo duplamente indeterminado anterior é Bß B &Dß D œ B "ß ß! D!ß &ß " à Bß D O subespaço próprio associado ao valor próprio - œ" é, pois: I"2 œb "ßß! D!ß&ß" ÀBßD œp "ßß! ß!ß&ß" A multiplicidade geométrica de - œ" é 71 " œdimi" 2 œ a qual é igual à multiplicidade algébrica. ç Para - œ&: %!!! & &! & &! " PÇP " PPÄP " "! P ÄP & &! µ %!!! µ! "! "!! µ PPÄP $ " $ " " "! " "!! % %! % PÄP $ $ & &! PPÄP! " "! µ & &!!!! B œ! $ $ P" &P ÄP"! " "! µ! " "! Ê C œ D! " "!!!!!!!!! D œ D 2014 Junho 30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 9 A solução geral do sistema homogéneo simplesmente indeterminado anterior é D!ß"ß" à D. O subespaço próprio associado ao valor próprio - œ& é, pois: I&2 œ D!ß "ß " À D œ P!ß "ß " A multiplicidade geométrica de - œ & é 71& œ dim I & 2 œ ", a qual é também igual à multiplicidade algébrica. O quadro seguinte resume a situação de 2: - I " P "ß ß! ß!ß &ß " & P!ß"ß" " " 7 - œ $ - E2 1 3c ç Como a soma das multiplicidades geométricas dos valores próprios de 2 é igual a $ œ dim $, 2 é diagonalizável. Na base "ß ß! ß!ß &ß " ß!ß "ß " formada por vectores próprios de 2, a representação matricial de 2 é a matriz diagonal H œ diag"ß "ß & œ "!!! "!!! & Existem, neste caso, mais duas representações matriciais diagonais de 2, a saber: &!! H œ diag &ß "ß " œ! "!, em relação à base!ß "ß ", "ß ß! ß!ß &ß "!! " "!! H œ diag "ß &ß " œ! &!, em relação à base "ß ß!,!ß "ß " ß!ß &ß "!! " Observe-se que, para se obterem as representações matriciais diagonais indicadas, basta que se usem bases quaisquer de I"2 e I& 2, não sendo as bases indicadas as únicas que existem. Ano Lectivo: Semestre: Verão 2014 Junho 30

10 10 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste PARTE 2 1 ç Seja 0À Ä o endomorfismo de cuja matriz em relação à base canónica é Jœ " " % %. Apenas uma das seguintes proposições é verdadeira. Indique-a: ú - œ! não é valor próprio de 0. ú "ß " é um vector do núcleo de 0. ú 0 é injectiva. ú 0 ß$ œ"ß&. Resposta ç Como detj œ!, 0 não é um automorfismo de, pelo que o núcleo de 0 contém Á9t. Estes vectores satisfazem a igualdade œ!@tœ9t, o que mostra que - œ! é um valor próprio de 0. Assim, a proposição é falsa. ç As coordenadas de 0 "ß" na base canónica são, com Z œ " " T : " " "! JZ œ œ % % "! Então, 0 "ß" œ!ß!, o que mostra que "ß" é um vector do núcleo de 0: a proposição verdadeira. ç Já vimos que 0 não é um automorfismo de, logo não é injectiva: a proposição falsa. ç As coordenadas de 0ß$ na base canónica são, com Zœ $ T : " " " JZ œ œ % % $ % Então, 0 ß$ œ "ß%, o que mostra que a proposição dada é falsa. Em face do exposto, a resposta correcta é a segunda Junho 30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

11 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 2º Teste 11 2 ç Seja 1À Ä um endomorfismo de vectores próprios de 1 associados aos valores próprios - œ" e - œ". Atente agora nas seguintes proposições envolvendo 1: " + ç é vector próprio de 1Þ, ç 1 é diagonalizávelþ - ç -" - é valor próprio de 1Þ. ç O núcleo de 1 é constituído apenas pelo vector!ß! Þ A lista completa formada pelas proposições verdadeiras é: ú +ß, ú -ß. ú,ß. ú,ß-ß. Resposta +ç são vectores próprios de 1 associados a valores próprios são linearmente fosse ainda um vector próprio de 1 associado a algum valor próprio -, ter-se-ia: œ œ @t œ " " " " " " Então, seria " -@t " -@t œ 9t ". Se - Á", será "- Á! e, por seriam linearmente dependentes, o que é absurdo! Se fosse - œ", @t, ou œ 9t, o que é, de novo, absurdo! " não é vector próprio de 1 e a proposição é falsa.,ç Os valores próprios -" e - de 1terão necessariamente multiplicidade algébrica (e geométrica) igual a ", pelo que a soma das multiplicidades geométricas vale e coincide com a dimensão de, o que mostra que 1 é diagonalizável. A proposição é verdadeira. -ç Se -" - œ "" œ! fosse valor próprio de 1, a função 1 teria $ valores próprios distintos, o que é impossível, visto tratar-se de endomorfismo de um espaço com dimensão. Assim, a proposição é falsa..ç Como - œ! não é valor próprio de 1, segue-se que o núcleo de 1é constituído apenas pelo vector!ß! e a proposição é verdadeira. Em face do exposto, a resposta correcta é a terceira. Ano Lectivo: Semestre: Verão 2014 Junho 30