Produto interno no espaço vectorial R n

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Produto interno no espaço vectorial R n"

Transcrição

1 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se ao espaço R n esta noção e outras noções associadas. Produto interno euclidiano O produto interno ou escalar de dois vectores u e v em R ou R foi de nido pela expressão: u v kuk kvk cos ] (u:v) : Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vectores e a amplitude do ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e se perde a interpretação geométrica dos vectores, essas medições não são possíveis. Para generalizar a de nição de produto interno aos outros espaços R n utiliza-se a expressão, também já conhecida, do produto escalar usando as coordenadas dos vectores. No caso do espaço R, por exemplo, sendo u (u ; u ) e v (v ; v ) dois vectores o produto interno é: (u ; u ) (v ; v ) u v + u v Assim, se u (u ; u ; : : : ; u n ) e v (v ; v ; : : : ; v n ) são vectores de R n, o produto interno euclidiano (ou usual) u v é de nido por u v u v + u v + + u n v n Como casos particulares desta de nição temos os produtos internos já conhecidos em R e R : A partir da de nição obtêm-se sem di culdade as seguintes propriedades: Propriedades do produto interno: Se u; v; w são vectores de R n e R, então:. u v v u.. u (v + w) u v + u w:. 8 R; (u) v (u v) u (v) : 4. 8u; u u 0 5. u u 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0). Nota: Pode-se de nir produto interno de uma forma mais geral, como sendo qualquer aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as cinco propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que Para o produto interno de dois vectores u e v também se usam a notações ujv e hu; vi :

2 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno se de ne, para vectores de R n ; x (x ; : : : ; x n ) e y (y ; : : : ; y n ), e sendo k ; k ; : : : ; k n números reais positivos, pela fórmula: x y k x y + k x y + + k n x n y n : Neste curso só vamos considerar o produto interno euclidiano, a que também se costuma chamar produto interno usual. Norma euclidiana A norma de um vector em R ou R dá-nos o seu comprimento. Embora os vectores em R n não tenham uma visualização geométrica, a de nição seguinte, que generaliza a de nição já conhecida de norma, permite de nir o "comprimento" de um vector em R n : A partir da de nição de norma de ne-se também a noção de distância entre vectores. Sejam u e v vectores de R n : De ne-se:. Norma euclidiana de u : kuk p u u p u + u + + u n.. Distância entre os vectores u e v : d (u; v) ku vk. Exemplo: Em R 5 : k(; ; ; 4; 5)k p p 55 d ((; ; ; 4; 5) ; (5; 4; ; ; )) k(; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; )k k( 4; ; 0; ; 4)k p 40 Propriedades da norma: Sejam u e v vectores de R n e R, então:. kuk 0 e kuk 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0) :. d (u; v) 0 e d (u; v) 0 se e só se u v:. kuk jj kuk : 4. ku + vk kuk + kvk (desigualdade triangular). 5. ju vj kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz ). Estas propriedades da norma podem ser deduzidas, com mais ou menos manipulações algébricas, a partir da de nição de norma e das propriedades do produto interno. A desigualdade triângular traduz a bem conhecida propriedade sobre os comprimentos dos lados de um triângulo: "Num triângulo o comprimento de qualquer lado é menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois" e pode ser facilmente visualizada em R como se mostra na seguinte gura: Augustin Louis Cauchy, matemático francês (89-85). Hermann Amandus Schwarz, matemático alemão (84-9)

3 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 Ângulo de dois vectores A desigualdade de Cauchy-Schwarz permite generalizar a R n a de nição de ângulo entre dois vectores u e v; mesmo considerando que não é possível, acima da dimensão, visualizar geometricamente esse ângulo: Através da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se, para u e v não nulos, ju vj kuk kvk,, ju vj kuk kvk,, u v kuk kvk : () Como é sabido, se é um ângulo cuja medida varia entre 0 e, então cos percorre todos os valores entre e. Este facto e as desigualdades () permitem a seguinte de nição: Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ] (u; v) ; é o ângulo ; 0 ; tal que cos u v ; isto é, o ângulo tal que kuk kvk cos ^ (u; v) u v kuk kvk Esta era a de nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R ou de R. De () obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores: u v kuk kvk cos ] (u; v) : () Exemplos:. Em R 5 ; vamos calcular o ângulo dos vectores (; ; ; 0; ) e ; ; ; p ; 0 cos ] (; ; ; 0; ) ; ; ; ; p ; 0 (; ; ; 0; ) ; ; k(; ; ; 0; )k ; ; ; p ; 0 ; p ; 0 p 4 p 9

4 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 9 O ângulo cujo co-seno é e tal que 0 é : Assim, ] (; ; ; 0; ) ; ; ; ; p ; 0 :. Os vectores (; ; ; 0; ) e ( ; ; ; 0; ) são simétricos. Embora sem representação geométrica podemos imaginar que representam vectores com a mesma direcção e sentidos contrários e que, portanto, formam entre si um ângulo de 80 o. De facto, cos ] ((; ; ; 0; ) ; ( ; ; ; 0; )) (; ; ; 0; ) ( ; ; ; 0; ) k(; ; ; 0; )k k( ; ; ; 0; )k p p O ângulo cujo co-seno é e tal que 0 é ( 80 o ). Em R ; vamos calcular o ângulo dos vectores (; 0; ; 0; ) e (0; ; 0; ; 0) : cos ] ((; 0; ; 0; ) ; (0; ; 0; ; 0)) (; 0; ; 0; ) (0; ; 0; ; 0) k(; 0; ; 0; )k k(0; ; 0; ; 0)k 0 p p 0 O ângulo cujo co-seno é 0 e tal que 0 é ( 90o ) Ortogonalidade O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de R n que são ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de medida : Da igualdade () veri ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos ] (u; v) 0 se e só se u v 0: Isto motiva a seguinte de nição: De nição: Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais se u v 0: Nota: De acordo com a de nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois u (0; 0; : : : ; 0) 0; 8u R n : Exemplos:. Em R 4 os vectores u (; ; ; 4) e v (; ; 4; ) são ortogonais pois (; ; ; 4) (; ; 4; ) 0:

5 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 80. Os vectores (; ; ; ) e (; ; ; 0) ; R, são ortogonais para 0 ou pois (; ; ; ) (; ; ; 0) 0, 0, 0 ou A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço R n : Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de R n ; então ku + vk kuk + kvk : Representação geométrica em R Demonstração: Bases ortonormadas ku + vk (u + v) (u + v) (u u) + (u v) + (v u) + (v v) {z } {z } 0 0 kuk + kvk Um conjunto de vectores de R n diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do conjunto for. Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter a aprtir dele um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que, 8v R n n f(0; 0; : : : ; 0)g ; kvk v kvk kvk kvk ; kvk

6 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do vector v: Exemplos:. O conjunto de vectores f(0; ; 0) ; (; 0; ) ; (; 0; )g é ortogonal, pois (0; ; 0) (; 0; ) 0; (0; ; 0) (; 0; ) 0 e (; 0; ) (; 0; ) 0:. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo, basta normalizar os vectores. Como k(0; ; 0)k ; k(; 0; )k p e k(; 0; )k p o conjunto (0; ; 0) ; p (; 0; ) ; p (; 0; ) é ortonormado. De nição: Uma base de R n é ortogonal se é um conjunto ortogonal de vectores e é ortonormada se é um conjunto ortonormado de vectores. Exemplos:. A base canónica de R n é ortonormada.. O conjunto ortonormado de nido no exemplo acima, como é um conjunto linearmente independente com vectores em R ; é uma base ortonormada de R : Método de ortonormalização de Gram-Schmidt No espaço R n existe sempre uma base ortonormada, pois a base canónica é ortonormada para o produto interno euclidiano. No exemplo acima vimos uma outra base ortonormada para R. O que vamos mostrar de seguida é que existem bases ortonormadas para qualquer subespaço vectorial de R n. Isso pode ser feito a partir de qualquer base desse subespaço, utilizando um processo que se chama método de ortonormalização de Gram-Schmidt: A partir de uma base fu ; : : : ; u k g de um subespaço, constrói-se um novo conjunto de vectores fv ; : : : ; v k g da seguinte forma: v u ; v u u v kv k v ; v u u v kv k v u v kv k v ;. Xk v k u k j u k v j kv j k v j:

7 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 Normalizando o conjunto obtido fv ; : : : ; v k g ; que é ortogonal, obtém-se a base ortonormada de F Exemplo: v kv k ; : : : ; v k : kv k k Encontrar uma base ortonormada fv ; v ; v g para o subespaço de R 4 gerado pelos vectores u (; ; ; 0) ; u ( ; ; 0; 0) e u (; ; ; ) : Seguindo o processo acima tem-se v u (; ; ; 0) ; v u u v kv k v ( ; ; 0; 0) ( ; ; 0; 0) (; ; ; 0) k(; ; ; 0)k (; ; ; 0) ( ; ; 0; 0) v u u v kv k v u v kv k v (; ; ; ) (; ; ; 0) (; ; ; ) k(; ; ; 0)k (; ; ; 0) ; ; ; O conjunto é ortogonal. Como, kv k k(; ; ; 0)k p ; (; ; ; ) ( ; ; 0; 0) k( ; ; 0; 0)k ( ; ; 0; 0) v (; ; ; 0) ; v ( ; ; 0; 0) ; v ; ; ; kv k k( ; ; 0; 0)k p kv k ; ; ; p p ; normalizando os vectores obtem-se a base ortonormada v kv k ; v kv k ; v kv k ( p ; p ; p ; 0 ; p ; p ; 0; 0 ; p ; 4 p 4 ; p p!) p ; p Nota: O vector v obtido através da aplicação do método de Gram-Schmidt coincide com o vector inicial u ; o que não é surpreendente dado que os vectores u e u são ortogonais.

8 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 Produto externo e produto misto Ao contrário do produto interno, que pode ser de nido de forma muito geral em qualquer espaço vectorial de dimensão nita ou não nita, a de nição de produto externo e misto de vectores é limitada a espaços de dimensão três. Vamos apresentar aqui a de nição de produto externo de vectores em R. Ao longo desta secção todos os vectores considerados são vectores do espaço R : De nição de produto externo Se u (u ; u ; u ) e v (v ; v ; v ) são vectores de R então o produto externo de u e v é o vector: u v (u v u v ; u v + u v ; u v u v ) ou, em linguagem de determinantes, " u u u v det v v # ; det " u u v v # ; det " u u v v #! Sendo e (; 0; 0) ; e (0; ; 0) e e (0; 0; ) os vectores da base canónica de R ; para facilitar a memorização desta de nição, podemos encontrar u v fazendo o desenvolvimento ao longo da primeira linha do determinante simbólico: u v \ det " 4 e e e u u u 5 det " v v v # " u u e det v v u u v v # e + det " u u v v # e Exemplo: Se u (; ; ) e v (4; 5; ) u v \ det " 4 e e e " # " # " det (; 0; 0) det (0; ; 0) + det 5 4 (; 0; 0) ( ) (0; ; 0) + ( ) (0; 0; ) ( ; ; ) 4 5 # (0; 0; ) Veri ca-se que ( ; ; ) (; ; ) 0 e ( ; ; ) (4; 5; ) 0; ou seja, o vector u v é ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral, como vamos ver de seguida.

9 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 84 Propriedades do produto externo Sejam u; v; w R e k R.. Se existe R tal que u v ou v u, u v (0; 0; 0) : Em particular, u u (0; 0; 0) e u (0; 0; 0) (0; 0; 0) u (0; 0; 0) :. u v (v u) :. (u v) u 0 (u v é ortogonal a u) e (u v) v 0 (u v é ortogonal a v). 4. ku vk kuk kvksen] (u; v) : 5. Se u (u ; u ; u ), v (v ; v ; v ) não são colineares e u v (z ; z ; z ) então u u u det 4 v v v 5 > 0: z z z. u (v + w) (u v) + (u w) :. (u + v) w (u w) + (v w) : 8. k (u v) (ku) v u (kv) : De nição de produto misto Se u; v; w R ; então o produto misto de u; v e w é u (v w) : O produto misto de três vectores é, portanto, um número real que pode ser calculado, sendo u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) e w (w ; w ; w ), por: Propriedades do produto misto Sendo u; v; w R ; então u u u u (v w) det 4 v v v 5 w w w. u (v w) 0 se e só se o conjunto de vectores fu; v; wg é linearmente dependente.. u(v w) (u v)w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo a ordem dos vectores)

10 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 85 De facto, u (v w) det 4 u u u v v v 5 w w w w w w det 4 v v v 5 det 4 u u u w w w u u u 5 v v v w (u v) (u v) w Analogamente se veri ca que:. u (v w) v (w u) 4. u (v w) (u (w v)) (v (u w)) (w (v u)) Aplicações do produto externo e produto misto. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, em R, um vector que seja simultaneamante ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente independentes). Exemplo: É sabido que a equação de um plano com a direcção de dois vectores dados u; v e que passe pela origem é da forma ax + by + cz 0 em que (a; b; c) é um vector perpendicular a u e a v: Para encontrar essa equação pode-se considerar para (a; b; c) o vector u v: Como foi visto no exemplo da página 8, o produto externo dos vectores u (; ; ) e v (4; 5; ) é ( ; ; ) : Assim, a equação do plano com a direcção dos vectores u (; ; ) e v (4; 5; ) e que passa na origem pode ser x + y z 0. A área do paralelograma de nido por dois vectores u e v é dada por ku vk :

11 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 Consideremos a seguinte gura, que representa o paralelogramo de nido por dois vectores u e v : Como é sabido, a área do paralelogramo da gura acima é dada pelo produto do comprimento da base, que é kvk ; pela altura, que é kuksen ; pois, o seno do ângulo formado por u e v; na gura designado por ; é dado pelo quociente da altura pelo comprimento de v Tem-se então area kuk kvk sen area kuk kvk sen] (u; v) : Da propriedade 4 do produto externo conclui-se que area ku vk Exemplo: A área do paralelogramo de nido por u (; ; ) ; v (; 0; ) é ku vk k(; ; ) (; 0; )k k(; ; )k p. O volume do paralelipípedo de nido por três vectores u; v e w é dado pelo módulo do produto misto dos três vectores. É natural que o resultado envolva o módulo de um número, pois um volume tem de ser sempre um número não negativo. Considerando que dados vectors x e y, se tem x y kxk kyk cos ](x; y); o produto misto entre u v e w pode ser expresso como (u v) w ku vk kwk cos ](u v; w):

12 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 00/0 - Produto Interno 8 Tendo em conta esta igualdade é fácil compreender, na gura abaixo, a relação entre o produto misto e o volume. Exemplo: O volume do paralelipípedo de nido por u (; ; ) ; v (; 0; ) e w (; ; ) é: ju (v w)j det 4 0 j 5j 5: 5

Produto interno no espaço vectorial R n

Produto interno no espaço vectorial R n ALGA - 00/0 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se

Leia mais

Produto interno, externo e misto de vectores

Produto interno, externo e misto de vectores MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto interno, externo e misto de vectores A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass.

Leia mais

Matemática /09 - Produto Interno 32. Produto Interno

Matemática /09 - Produto Interno 32. Produto Interno Matemática - 2008/09 - Produto Interno 32 Produto Interno A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass. Neste capítulo

Leia mais

Produto interno no espaço vectorial R n

Produto interno no espaço vectorial R n ALGA - 008/09 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se

Leia mais

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Geometria Analítica 89. Geometria Analítica

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Geometria Analítica 89. Geometria Analítica ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Geometria Analítica 9 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste

Leia mais

Produtos internos (Axiomas) com R e com C. Matriz de Gram G B. Duas Desigualdades: Cauchy-Schwarz e triangular. e v.

Produtos internos (Axiomas) com R e com C. Matriz de Gram G B. Duas Desigualdades: Cauchy-Schwarz e triangular. e v. Produtos internos (Axiomas) com R e com C Matriz de Gram G B Norma de u: kuk = q hu; ui Duas Desigualdades: Cauchy-Schwarz e triangular Ângulo entre u 6=0 e v 6=0 : = arccos hu;vi kukkvk Projecção ortogonal

Leia mais

ALGA /09 - Geometria Analítica 78. Geometria Analítica

ALGA /09 - Geometria Analítica 78. Geometria Analítica ALGA - 00/09 - Geometria Analítica 7 Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo faz-se um revisão desses conceitos

Leia mais

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE /11 - Geometria Analítica 88. Geometria Analítica

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE /11 - Geometria Analítica 88. Geometria Analítica ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo

Leia mais

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1

Leia mais

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 2012/2013

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 2012/2013 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA TÓPICOS DE RESOLUÇÃO do Teste Final 0/0 A) B) C) D) [,0]. Considere as seguintes a rmações: I. ~x

Leia mais

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2008/2009 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Espaços vectoriais com produto interno 1 / 19 Definição e propriedades ALGA 2008/2009 Mest.

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

Introdução à Geometria

Introdução à Geometria Introdução à Geometria - 2007-2008 Algumas noções 1. Norma de um vector Seja E um espaço vectorial real de dimensão finita E munido de um produto interno (u, v) u v. Dado um vector v E chama-se norma ou

Leia mais

Mínimos quadrados. A 2 M mn (R), b 2 R m. Como Au 2 C (A) para todo o u 2 R n e

Mínimos quadrados. A 2 M mn (R), b 2 R m. Como Au 2 C (A) para todo o u 2 R n e Mínimos quadrados Au b A M mn (R), b R m Como Au C (A) para todo o u R n e b P C(A) (b) kb Auk, u R n é a melhor solução aproximada ou solução de mínimos quadrados de Au b se u veri car Au P C(A) (b) kb

Leia mais

Ficha de Trabalho 06 e 07

Ficha de Trabalho 06 e 07 Ficha de rabalho 06 e 07 Produto Interno. (Aulas 1 a 18). Produto interno em R n. Vectores livres: Ângulo de dois vectores. Vectores ortogonais. Vectores em R n : Produto interno. Norma. Desigualdade de

Leia mais

Formas quadráticas. x y. forma quadrática associada à equação quadrática. real simétrica n n, B 2 M 1n (R) e escalar.

Formas quadráticas. x y. forma quadrática associada à equação quadrática. real simétrica n n, B 2 M 1n (R) e escalar. Formas quadráticas Equação quadrática em duas variáveis x e y: ax + by + cxy + dx + ey + f 0 h i a c x y c b A x y (A real simétrica). Q : R! R, + h d e i x y u Q (u) u T Au ax + by + cxy + f 0 forma quadrática

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

10 a Lista de Exercícios

10 a Lista de Exercícios Álgebra Linear Licenciaturas: Eng. Biológica, Eng. Ambiente, Eng. Química, Química 1 ō ano 2004/05 10 a Lista de Exercícios Problema 1. Decida quais das expressões seguintes definem um produto interno.

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ÁLGEBRA LINEAR AULA 9 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 11 1 Produto Interno 2 Módulo de um Vetor 3 Ângulo Entre Dois Vetores - Vetores

Leia mais

Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 1. Geometria a m: rectas e planos

Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 1. Geometria a m: rectas e planos 30 a : aula (1h) 19/05/2010 Aplicação da Álgebra Linear à Geometria (1/2) 30-1 Instituto Superior Técnico 2010 2 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics em Engenharia Informática e de Computadores e

Leia mais

ficha 6 espaços lineares com produto interno

ficha 6 espaços lineares com produto interno Exercícios de Álgebra Linear ficha espaços lineares com produto interno Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico o semestre 011/1 Notação

Leia mais

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ;

Leia mais

Sebenta de exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Curso: Eng. Topográ ca

Sebenta de exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica. Curso: Eng. Topográ ca Sebenta de exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Eng. Topográ ca Ano Lectivo 009/010 4 de Setembro de 009 (Versão: 1.0) Índice Notações e terminologia ii 1 Revisão sobre noções elementares

Leia mais

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Prof Marcelo Maraschin de Souza Vetor Definido por dois pontos Seja o vetor AB de origem no ponto A(x 1, y 1 ) e extremidade no ponto B(x 2, y 2 ). Qual é a expressão algébrica que

Leia mais

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 006/07 5 a Lista: Ortogonalidade Nos exercícios em que n~ao é especificado o produto interno, considere o produto interno

Leia mais

Produto interno e produto vetorial no espaço

Produto interno e produto vetorial no espaço 14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................

Leia mais

1 Espaços Vectoriais

1 Espaços Vectoriais Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um

Leia mais

Valores e vectores próprios

Valores e vectores próprios ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 5 Valores e vectores próprios Neste capítulo, sempre que não haja especi cação em contrário, todas as matrizes envolvidas são quadradas

Leia mais

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas. Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo.

Leia mais

Produto interno, externo e misto

Produto interno, externo e misto Produto interno, externo e misto Definição: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmento de recta [OP ] e representa-se por u. Definição: Sejam a = OA e b = OB dois vectores não

Leia mais

CVGA Edezio 1. k e v = x2. u, v = u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

CVGA Edezio 1. k e v = x2. u, v = u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 CVGA Edezio 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Produto de Vetores Produto Escalar (ou Interno) Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores x 1 i + y1 j + z1 k e x2 i + y2

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais Espaços Vectoriais - Matemática II - 2004/05 40 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o

Leia mais

Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno

Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto interno Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 Definir a noção de ângulo

Leia mais

Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita.

Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita. 6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Definição Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E, com E de dimensão finita, e seja B uma base arbitrária de E. Chamamos polinómio

Leia mais

Vectores e Geometria Analítica

Vectores e Geometria Analítica Capítulo 1 Vectores e Geometria Analítica 1.1 Vectores em R 2 e R 3. Exercício 1.1.1 Determine um vector unitário que tenha a mesma direcção e sentido que o vector u e outro que que tenha sentido contrário

Leia mais

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Engenharia Informática e de Computadores Teoria dos Sinais e dos Sistemas O procedimento de Gram-Schmidt: definição, exemplos e aplicações Artur Ferreira {arturj@isel.pt}

Leia mais

Exercícios de Álgebra Linear 2 o Semestre 2008/2009 LEIC, LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom e MEC

Exercícios de Álgebra Linear 2 o Semestre 2008/2009 LEIC, LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom e MEC Exercícios de Álgebra Linear o Semestre 008/009 LEIC, LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom e MEC João Ferreira Alves/Ricardo Coutinho Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Exercício Resolva por eliminação de Gauss

Leia mais

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores.

Objetivos. em termos de produtos internos de vetores. Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes

Leia mais

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas. Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo.

Leia mais

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática

Capítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula

Leia mais

1 Vetores no Plano e no Espaço

1 Vetores no Plano e no Espaço 1 Vetores no Plano e no Espaço Definimos as componentes de um vetor no espaço de forma análoga a que fizemos com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no

Leia mais

1.1 Fundamentos Gerais

1.1 Fundamentos Gerais 1.1 Fundamentos Gerais EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Classi que as a rmações em verdadeiras ou falsas, justi cando sua resposta. (a) ( ) (b) ( ) (c) ( ) (d) ( ) (e) ( ) (f) ( ) (g) ( ) (h) ( ) (i) (

Leia mais

3 Espaços com Produto Interno

3 Espaços com Produto Interno 3 Espaços com Produto Interno 3.1 Produtos Internos em Espaços Vetoriais Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função, : V V R que satisfaz P1) = v, u para todos u, v V ; P2) u, v +

Leia mais

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 1. Terceiro Ano - Médio

Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 1. Terceiro Ano - Médio Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 1 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Módulo de um vetor O módulo

Leia mais

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Matrizes 1. Matrizes

ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE / Matrizes 1. Matrizes ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 011/01 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::;

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Aula 5 - Produto Vetorial

Aula 5 - Produto Vetorial Aula 5 - Produto Vetorial Antes de iniciar o conceito de produto vetorial, precisamos recordar como se calculam os determinantes. Mas o que é um Determinante? Determinante é uma função matricial que associa

Leia mais

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido:

Capítulo 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 é assim definido: Capítulo 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r é assim definido: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, se as retas são concorrentes, isto é, r1

Leia mais

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares Módulo 6 ALGA I Representação matricial das aplicações lineares Contents 61 Matriz de uma aplicação linear 76 62 Cálculo do núcleo e imagem 77 63 Matriz da composta 78 64 GL(n Pontos de vista passivo e

Leia mais

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana

Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Lista de Exercícios de Cálculo 3 Primeira Semana Parte A 1. Se v é um vetor no plano que está no primeiro quadrante, faz um ângulo de π/3 com o eixo x positivo e tem módulo v = 4, determine suas componentes.

Leia mais

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 200 - ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios

Leia mais

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Vetores, Retas e Planos

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Vetores, Retas e Planos universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 3 Vetores, Retas e lanos roduto interno em R n [3 01] Dados os vetores X =

Leia mais

Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA

Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos

Leia mais

Planificação Anual. 0,5 Geometria no plano e no espaço II. 32 Avaliações escritas e respetivas correcções. 5 Auto-avaliação

Planificação Anual. 0,5 Geometria no plano e no espaço II. 32 Avaliações escritas e respetivas correcções. 5 Auto-avaliação 3º Período 2º Período 1º Período AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE CASTRO DAIRE Escola Secundária de Castro Daire Grupo de Recrutamento 500 MATEMÁTICA Ano lectivo 2012/2013 Planificação Anual Disciplina: Matemática

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL REGIME NOCTURNO - º SEMESTRE - º ANO - 7 / 8 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA º FREQUÊNCIA de Janeiro de 8 Duração:

Leia mais

7 temos que e u =

7 temos que e u = Capítulo 1 Complementos de Álgebra Linear 11 Introdução Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n e pensemos na transformação linear R n! R n que a cada cada vector u R n faz corresponder um vector

Leia mais

Vetores no plano Cartesiano

Vetores no plano Cartesiano Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu www.est.ip.pt/paginaspessoais/lucas lucas@mat.est.ip.pt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

Capítulo 7: Espaços com Produto Interno

Capítulo 7: Espaços com Produto Interno 7 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 7: Espaços com Produto Interno Sumário 1 Produto Interno.................... 178 2 Ângulos entre Vetores e

Leia mais

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Exame Final

ÁLGEBRA LINEAR. Exame Final UNIVERSIDADE DE AVEIRO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR Exame Final 9/0/00 DURAÇÃO: 3 horas Nome: N o Aluno: Observação: Declaro que desisto: (Justifique sempre as suas respostas) Folha. (4,0

Leia mais

Aula 6 Produto interno

Aula 6 Produto interno MÓDULO 1 - AULA 6 Objetivos Aula 6 Produto interno Estabelecer os conceitos de norma de um vetor e de ângulo entre dois vetores do espaço. Definir o produto interno de vetores no espaço e estabelecer suas

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica em R 3

Álgebra Linear e Geometria Analítica em R 3 Módulo 2 Álgebra Linear e Geometria Analítica em R 3 Neste segundo módulo vamos generalizar os conceitos aprendidos no módulo 1, e também no ensino secundário, estudando Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Um curso rápido de ALGA apenas em R 2

Um curso rápido de ALGA apenas em R 2 Módulo 1 Um curso rápido de ALGA apenas em R 2 Neste primeiro módulo vamos retomar alguns conceitos ensinados no ensino secundário, e fazer uma ponte para os assuntos mais sofisticados que precisamos de

Leia mais

Lista de exercícios cap. 3. um produto interno no IR²:

Lista de exercícios cap. 3. um produto interno no IR²: Lista de exercícios cap. 3 1) Sejamu = (x, y ) e v = (x, y ). Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no IR²: a) u. v = x x + y y b) u. v = 2x x + 5y y c)u. v = x x + x y + x y + 2y

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04. v = x 2 + y 2. v = x1 x 2 + y 1 y 2. v = 0. v = x 2 + y 2 + z 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04. v = x 2 + y 2. v = x1 x 2 + y 1 y 2. v = 0. v = x 2 + y 2 + z 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 04 Assunto:Produto escalar, bases canônicas do R 2 e R 3, produto vetorial, produto misto, equação da reta no R 2 Palavras-chaves: Produto

Leia mais

Sebenta de exercícios de Álgebra Linear

Sebenta de exercícios de Álgebra Linear Sebenta de exercícios de Álgebra Linear Curso: Eng. a do Ambiente Ano Lectivo 006/007 7 de Setembro de 006 (Versão: 1.0) Conteúdo Notações e terminologia ii 1 Introdução 1 1.1 Noções elementares sobre

Leia mais

Capítulo Propriedades das operações com vetores

Capítulo Propriedades das operações com vetores Capítulo 6 1. Propriedades das operações com vetores Propriedades da adição de vetores Sejam u, v e w vetores no plano. Valem as seguintes propriedades. Comutatividade: u + v = v + u. Associatividade:

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-2011/2012- Determinantes 32. Determinantes

ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-2011/2012- Determinantes 32. Determinantes ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Permutações Determinantes Seja n N. Uma permutação p (p ; p ; : : : ; p n ) dos elementos do conjunto f; ; ; ng é um arranjo dos n números em alguma

Leia mais

ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral

ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Módulo 9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Contents 9.1 Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos) 136 9. Teorema espectral para operadores auto-adjuntos...........

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução da Repetição do 2º Teste

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução da Repetição do 2º Teste ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução da Repetição do 2º Teste 30 de Junho de 2014 Ano Lectivo: 2013-2014 Semestre: Verão Aceda aqui à página de ALGA ISEL è ADMat Secção de Álgebra ç ALGA Álgebra

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

Introdução ao Cálculo Vetorial

Introdução ao Cálculo Vetorial Introdução ao Cálculo Vetorial Segmento Orientado É o segmento de reta com um sentido de orientação. Por exemplo AB onde: A : origem e B : extremidade. Pode-se ter ainda o segmento BA onde: B : origem

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V!

Leia mais

Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004)

Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004) ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Ano Lectivo de 2004/2005 Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004) 1 Considere o subconjunto

Leia mais

Lista de exercícios para entregar

Lista de exercícios para entregar Lista de exercícios para entregar Nos problemas abaixo apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear Geometria Analítica e Álgebra Linear por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UATA 2011 Conteúdo 1 Vetores 4 1.1 Introdução..................................... 4 1.2 Vetores no Plano.................................

Leia mais

Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica Vetores e Geometria Analítica Vetores ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 28 de março de 2016 Sistema de coordenadas e distâncias Nesse curso usaremos o sistema de coordenadas cartesiano destro em três

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7.

ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6. Por definição do determinante de uma matriz 3 3, tem-se det A = 7. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 20/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 6 SOLUÇÕES SUMÁRIAS DOS EXERCÍCIOS ÍMPARES Propriedades dos Determinantes

Leia mais

Indicação de uma possível resolução do exame

Indicação de uma possível resolução do exame Eame de Álgebra Linear e Geometria Analítica Eng Electrotécnica e Eng Mecânica 3 de Janeiro de 7 Duração horas, Tolerância 5 minutos (Sem consulta) Indicação de uma possível resolução do eame Considere

Leia mais

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se

Leia mais

(b) { (ρ, θ);1 ρ 2 e π θ } 3π. 5. Representar graficamente

(b) { (ρ, θ);1 ρ 2 e π θ } 3π. 5. Representar graficamente Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática isciplina : Geometria nalítica (GM003) ssunto: sistemas de coordenadas; vetores: operações com vetores, produto escalar, produto vetorial, produto

Leia mais

Ficha Prática nº 5: Espaços Vectoriais. a11 a 12 a : a 11, a 12, a 21 R

Ficha Prática nº 5: Espaços Vectoriais. a11 a 12 a : a 11, a 12, a 21 R Álgebra Linear e Geometria Analítica Eng. Electrotécnica e Eng. Mecânica Ano lectivo: 2006/07 Ficha Prática nº 5: Espaços Vectoriais 1. Considere o espaço vectorial real V = {x, y, z : 2x + 3y + 5z = 0.

Leia mais

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE / ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os

Leia mais

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. Observação. Neste capítulo considera-se o produto interno

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. Observação. Neste capítulo considera-se o produto interno Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Observação. Neste capítulo considera-se o produto interno usual. De nição. Chama-se transposta conjugada de uma matriz A à matriz A T e denota-se por

Leia mais

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Ano Versão Nome: Nº Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias Quando,

Leia mais