ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução do 1º Teste

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMERIA ANALÍICA Resolução do 1º este 07 de Maio de 2012 Ano Lectivo: Semestre: Verão

2 ISEL è ADM Secção de Álgebra ç ALGA

3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 3 1 ç Sendo +ß,, considere os planos PARE 1 α BCDœ$, BC+Dœ! e BCDœ, a ç Discuta a posição relativa dos três planos em função de + e,. b ç Considere os valores dos parâmetros + e, para os quais os planos se intersectam segundo uma recta. Escreva as equações cartesianas (ou normais) dessa recta e indique um ponto e um vector director da referida recta. c ç Prove que, para e, os três planos se intersectam num único ponto e calcule as +œ!,œ)! coordenadas desse ponto. d ç Escreva a equação vectorial da recta perpendicular ao plano α e que passa pelo ponto!. Resposta 1a ç O problema é equivalente a discutir, em função de + e,, o sistema formado pelas três equações lineares dadas. Levemos a matriz completa deste sistema à forma escalonada: $ $ $ PPÄP +! µ P$ P! + $! + $,!,$ µ ÄP$ PPÄP $ $!! +,* Sendo < a característica da matriz simples, = a característica da matriz completa e 8 œ $ o número de incógnitas, temos (notando que +œ!í+œ,*œ!í,œ*):,œ*ê=œêsistema indeterminado de grau 8<œ +œ Ê<œÊ,Á*Ê=œ$Ê sistema impossível ( =Á< ; sem solução) +Á Ê<œ=œ8œ$ÊSistema determinado (uma e só uma solução) Em termos geométricos, a discussão será:,œ*êos três planos concorrem segundo uma recta (caso 1) +œ Ê,Á*ÊDois dos planos intersectam-se segundo uma recta e o terceiro é paralelo a essa recta (caso 2) +Á ÊOs três planos intersectam-se num único ponto (caso 3) As situações 1, 2e 3 anteriores ilustram-se a seguir: r = 2 s = 2 r = 2 s = 3 r = 3 s = 3 Ano Lectivo: Semestre: Verão 2012 Maio 07

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 1b ç A discussão anterior mostra que se trata do caso 1 : +œ e,œ*. Vamos então resolver o sistema, aproveitando a condensação já anteriormente realizada $ PPÄP! '! $ µ! $ Portanto, B e C são as incógnitas principais e D é secundária (livre), ou seja, o sistema tem uma infinidade simples de soluções, dadas, em função de D, por $ Bœ' D Cœ$ D DœD Bœ'$> D àd, ou ainda, fazendo >œ, Cœ$> à> Dœ> $ As equações normais são, pois, (resolvendo cada equação em ordem a obtidas para > ) B' C$ D! œ œ $ > e igualando as expressões rata-se, portanto da recta que passa pelo ponto 'ß $ß! e cujo vector director é $ß ß. Na forma vectorial, temos Bß Cß D œ ' $>ß $ >ß > œ 'ß $ß! > $ß ß à >, o que nos conduz ainda às equações paramétrica da recta, com > como parâmetro: Bœ'$> Cœ$> Dœ> 1c ç A discussão da alínea a mostra que, para +œ! e,œ), os planos se intersectam num ponto único! (caso 3). As coordenadas desse ponto obtêm-se mediante a resolução do sistema para aquele caso. $!!! % PPÄP! $ µ $ PPÄP!!!!!!!! µ PPÄP $ PÄP $ $!! Portanto,! œ %ßß. 1d ç O vector perpendicular ao plano α é 8t œ ß ß e a equação vectorial da recta pedida é: œ! - 8tÊ BßCßD œ %ßß > ßß œ %>ß>ß> à > o que corresponde às equações paramétricas seguintes: Bœ%> Cœ> à> Dœ> 2012 Maio 07 Ano Lectivo: Semestre: Verão

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 5 2 ç Sejam E e F as matrizes reais!! Eœ! àfœ!! a ç Sem efectuar quaisquer cálculos, prove que o determinante de EF é nulo. b ç Calcule o determinante da matriz F E e, atendendo ao resultado obtido, conclua que F E é invertível. c ç Calcule a matriz real \ tal que M \ œ F E Resposta 2a ç Sejam c e c $ß $ß$ E EF as características de E e de EF, respectivamente. Como a característica do produto de duas matrizes é inferior ou igual às características de ambos os factores e c E Ÿ (por ser E do tipo $ ), temos c EF Ÿ ce Ÿ Ê c EF Ÿ Isto implica, por sua vez, que EF é singular (por ser EF do tipo $ $ ) e portanto, detef œ!, q.e.d. 2b ç A matriz F E ß é dada por Então, det $ F E œ œ $.!! $ F E œ! œ!!!! 2c ç Invertendo ambos os membros da igualdade dada, obtém-se M \ œ F E Ê \ œ F E M +,., Ora, atendendo a que œ (com ), vem: -. +.,- +.,- Á! - + $ F E œ œ!! $ $ Portanto,! % \œ F E M œ\œ œ $! $! '! ' Ano Lectivo: Semestre: Verão 2012 Maio 07

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 3 ç No espaço vectorial real $, considere o subconjunto J definido por JœBßCßDÀBDœ! e a sequência 1œ ß!ß ß!ßß! ß ßß de vectores daquele espaço. a ç Mostre que é possível escrever o vector ß $ß de duas formas diferentes como combinação linear dos vectores de 1. b ç Sendo K o subespaço de $ gerado por 1, determine uma base e a dimensão de J e de K. c ç Determine J Ke a respectiva dimensão. Será J K um subespaço de $? Justifique. d ç Construa uma base de $ contendo o maior número possível de vectores de 1. Resposta 3a ç Determinemos os escalares reais +,, e - tais que ß $ß œ + ß!ß,!ß ß! - ß ß œ + -ß, -ß + - A igualdade vectorial anterior equivale ao sistema de $ equações lineares e $ incógnitas +ß,ß- seguinte +- œ,- œ$ + - œ Resolvamos os sistema anterior, por condensação vertical, levando a matriz à forma escalonada reduzida:!! PPÄP $ $! $ µ! $!!!!! As incógnitas principais são + e,, sendo - secundária: o sistema é simplesmente indeterminado e a sua solução geral é +ß,ß- œ -ß$-ß-à- Portanto, o vector ß $ß exprime-se de uma infinidade de formas diferentes como combinação linear dos vectores de 1, a saber, todas as seguintes: ß $ß œ - ß!ß $ -!ß ß! - ß ß à - Em particular, podemos fazer (por exemplo) -œ e -œ&, obtendo-se as duas combinações lineares distintas pretendidas: ß $ß œ % ß!ß &!ß ß! ß ß œ $ ß!ß!ß ß! & ß ß O resultado obtido mostra que: ç O vector ß $ß pertence ao subespaço K gerado por 1 (porque o sistema foi possível). ç A lista 1 é linearmente dependente (porque o sistema foi indeterminado) Maio 07 Ano Lectivo: Semestre: Verão

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 7 3b ç O conjunto JœBßCßDÀBDœ! é formado pelas soluções de uma equação linear homogénea (com $ incógnitas e que será duplamente indeterminada), pelo que se trata de um subespaço de $. Para determinar uma base de J, basta escrever as soluções do referido sistema na forma vectorial J œ Bß Cß DÀ B D œ! œ Dß Cß DÀ C D œ D ß!ß C!ß ß! à C D œ P ß!ß ß!ß ß! A lista 0 œ ß!ß ß!ß ß! é escalonada e não tem vectores nulos, pelo que é linearmente independente; por outro lado, a igualdade anterior mostra que 0 gera J, pelo que constitui uma base de J. A dimensão de J será, portanto, igual a. Para determinar uma base de K, basta condensar a matriz cujas linhas são os vectores de 1!!! PPÄP $ $ PPÄP $ $!! µ!! µ!!!!!!! Concluímos, assim, que 1 é linearmente dependente (o que já sabíamos) e que K œ P 1 œ P ß!ß ß!ß ß! œ P1 Como os vectores da lista 1 œ ß!ß ß!ß ß! são linearmente independentes e geram K, 1 é uma base de K. Conclui-se ainda que dimk œ. Podemos ainda caracterizar os vectores Bß Cß D K por meio de uma equação linear homogénea em BßCßD, basta notar que BßCßD Ksse a matriz!!! B C D tiver característica igual a. Para tal, condensamo-la e determinamos a condição para que tal suceda:!!! PBPÄP $ $ PCPÄP $ $!! µ!! µ!! B C D! C BD!! BD É agora evidente que a característica é sse BD œ!, donde K œ Bß Cß DÀ B D œ! œ Bß Cß B À B C Ano Lectivo: Semestre: Verão 2012 Maio 07

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 3c ç Por definição de intersecção, temos J K œ Bß Cß DÀ Bß Cß D J Bß Cß D K œ Bß Cß DÀ B D œ! B D œ! rata-se, portanto, do conjunto das soluções de um sistema linear homogéneo de incógnitas, cuja matriz completa é equações e $!!!! PPÄP!!!!! $ PÄP PPÄP µ µ µ!!!! $!!!!!!! O sistema é simplesmente indeterminado e, com C livre, vem BßCßD œ!ßcß! œc!ßß! àc Portanto, temos: J K œc!ßß! ÀC œp!ßß! O que mostra que o vector!ß ß! constitui uma base de J K e que dimj K œ Þ J K não é um subespaço de $, porque nem J Kß nem K J, o que pode mostrar-se por absurdo: J KÊJ KœJÊdimJ K œdimj Êœ (absurdo!) K JÊJ KœKÊdimJ K œdimk Êœ (absurdo!) Em alternativa, pode mostrar-se, por meio de um contra-exemplo, que J K adição vectorial: Por exemplo, não é fechado para a ß!ß J K ß ß J K ß!ß ß ß œ $ß ß!  J K 3d ç Vimos, na alínea b, que a lista 1 œ ß!ß ß!ß ß! formada pelos dois primeiros vectores de 1 constitui uma base de K œ P 1. Como as bases de $ são formadas por quaisquer $ vectores linearmente independentes, bastará acrescentar a 1 um qualquer vector de $ que não pertença a K œ Bß Cß D À B D œ!, isto é, tal que B D Á!, por exemplo,!ß!ß ou ß ß $. Assim, a base de $ pedida poderá ser ß!ß ß!ßß! ß!ß!ß ou ainda ß!ß ß!ßß! ß ßß$ Maio 07 Ano Lectivo: Semestre: Verão

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 9 PARE 2 1 ç Sejam Eß F e G matrizes reais quadradas de ordem 8 e Q e \ matrizes-coluna do tipo 8. Atente nas seguintes proposições envolvendo aquelas matrizes: + ç αeœm Êα œ EœM 8 8, ç E œ M Ê E é invertível 8 - ç E œ M Ê E\ œ Q é um sistema de Cramer 8. ç EFG œefge A lista completa de proposições verdadeiras é: úç +ß. úç,ß. ú ç,ß- úç -ß. Resposta ç A implicação dada é falsa: Por exemplo, com α œ Á e E œ M Á M, tem-se αe œ M ç A implicação dada é verdadeira : Se E œ M8, então dete œ detm8. Isto equivale a dete œ, ou seja, dete œ Á!, o que mostra que E é invertível (c E œ 8). ç A implicação dada é verdadeira : Vimos acima que E é quadrada e que a condição E œ M8 implica que c E œ 8, o que mostra que o sistema E\ œ Q tem 8 equações e 8 incógnitas e é determinado, logo, é de Cramer. ç A implicação dada é falsa, porque pode ser GE Á EG. A igualdade verdadeira, quaisquer que sejam as matrizes E, F e G quadradas de ordem 8, é EF G œ EF EG. A igualdade dada será verdadeira sse E e G forem permutáveis. Em face do exposto, a resposta correcta é a terceira,,ß -. Ano Lectivo: Semestre: Verão 2012 Maio 07

10 10 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º este 2 ç Considere a seguinte equação na incógnita real B:! B! œ!! B! B O conjunto das soluções da equação anterior em é: úç úç ß ß! úç ß ç ú ß Resposta Uma observação atenta do determinante anterior mostra que, se Bœ, a segunda e a quarta linhas ficam iguais, pelo que o determinante será nulo e uma das soluções será Bœ. No entanto, poderá haver outros valores reais de B que tornem nulo o determinante (isto é, que tornem linearmente dependentes as respectivas linhas), pelo que devemos calcular o determinante:!! B! PPÄP % % B! ª de Laplace œ œ!! segundo a 4ª linha B! B!!! B! Regra de Sarrus œ B B! œ B B! Ora B B œ!íbœ! Bœ!ÍBœ Bœ. A resposta correcta é, pois, a quarta, ß Maio 07 Ano Lectivo: Semestre: Verão