Representação esquemática de estruturas de dados

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP Instituto de Química de São Carlos - IQSC Grupo de Química Medicinal do IQSC/USP 1 Representação esquemática de estruturas de dados 2 1

2 Tipos de variáveis Contínua Concentração, volume ocupado, coeficiente de partição Discreta Estrutural (0) meta-substituído (1) sem substituição em meta Qualquer método que incorpore informações de amostras de treinamento no planejamento de um classificador emprega aprendizado. Usamos o aprendizado porque todos os problemas de reconhecimento são tão difíceis que não podemos adivinhar a classificação antes do tempo. 2

3 Abordagem: Assuma alguma forma geral de modelo Use padrões de treinamento para aprender ou estimar os parâmetros desconhecidos. Aprendizagem supervisionada O professor fornece um rótulo para cada padrão em um conjunto de treinamento. Objetivo: reduzir a soma dos custos desses padrões Problemas: como se certificar de que o algoritmo de aprendizagem pode aprender a solução? Será estável a variação de parâmetros? Convergirá em tempo finito? Escalar com padrões de treinamento e # de parâmetros de entrada. 3

4 Aprendizagem não supervisionada Não existe um professor explícito. O sistema forma "agrupamento natural" dos padrões de entrada. Inteligência artificial Aprendizado e adaptação Compostos Atividade biológica 1, 2, j, m Descritores químicos 1, 2, 3...k...p Classe 1... i... n Yij Fontes múltiplas Xik Aprendizado e classificação Classe 2 Série teste 4

5 Apresentação dos dados Exemplo: 53 Medições de sangue e urina (química úmida) de 65 pessoas (33 alcoólicos, 32 não-alcoólatras). H-WBC H-RBC H-Hgb H-Hct H-MCV H-MCH H-MCHC A A A A A A A A A Em formato de matriz Value Em formato gráfico Measurement measurement Apresentação dos dados... 5

6 Apresentação dos dados... Melhor apresentação do que os eixos de coordenadas? Precisamos de um espaço de 53 dimensões para visualizar os dados? Como encontrar o "melhor" espaço de baixa dimensão que fornece informações úteis máximas? Uma resposta: encontre as "Componentes Principais " 6

7 Objetivos Desejamos explicar/sumariar a estrutura subjacente de variância-covariância de um grande conjunto de variáveis através de algumas combinações lineares dessas variáveis. Usos: Visualização de dados Redução de dados Classificação de dados Análise de tendências Análise de fatores Redução de ruído 7

8 Exemplos: Quantos "subconjuntos" exclusivos estão na amostra? Quão semelhantes/diferentes? Quais são os fatores subjacentes que influenciam as amostras? Quais as tendências são (anti)correlacionadas? Quais as medidas necessárias para diferenciação? Como melhor apresentar o que é "interessante"? Qual "subconjunto", essa nova amostra pertence legitimamente? Sumário de dados com muitas variáveis (p) em um conjunto menor de variáveis (k) sintéticas ou compostas p k n A n X 8

9 Ato de equilíbrio entre: (i) clareza de representação, facilidade de compreensão; (ii) simplificação excessiva: perda de informações importantes ou relevantes. Análise de Componentes Principais, PCA Provavelmente o mais utilizado e conhecido dos métodos multivariados Inventado por Pearson (1901) e Hotelling (1933) Primeiro aplicação em ecologia por Goodall (1954) sob o nome "análise fatorial" ("análise do fator principal" é um sinônimo de PCA). 9

10 (i) Toma uma matriz de dados de n objetos por variáveis p, que podem estar correlacionadas e sumaria em eixos não correlacionados (componentes principais ou eixos principais) que são combinações lineares das variáveis p originais (ii) os primeiros k componentes exibem o máximo possível da variação entre os objetos. (i) Os objetos são representados como uma nuvem de n pontos em um espaço multidimensional com um eixo para cada uma das variáveis p (ii) O centróide dos pontos é definido pela média de cada variável (iii) A variância de cada variável é o desvio quadrático médio de seus valores n em torno da média dessa variável. V i 1 n 1 n X im X i m

11 O grau em que as variáveis são linearmente correlacionadas é representado por suas covariâncias. O objetivo do PCA é rotacionar rigidamente os eixos do espaço p- dimensional para novas posições (eixos principais) que possuem as seguintes propriedades: (i) o eixo principal 1 tem a maior variação (ii) o eixo 2 tem a seguinte variância mais elevada,... e o eixo p tem a menor variação (iii) a covariância entre cada par dos eixos principais é zero (os eixos principais não são correlacionados). 11

12 Representação geométrica dos dados 12

13 Truque: Gire os eixos das coordenadas Suponhamos que tenhamos uma população medida em p variáveis aleatórias X1,..., Xp. Note-se que essas variáveis aleatórias representam os p-eixos do sistema de coordenadas cartesianas em que a população reside. Nosso objetivo é desenvolver um novo conjunto de p-eixos (combinações lineares dos p-eixos originais) nas direções de maior variabilidade: Em outras palavras, dados m pontos em um espaço dimensional n, como projetar para um espaço de 1 dimensão? Escolha uma linha que se encaixe nos dados para que os pontos sejam espalhados bem ao longo dessa linha! 13

14 Interpretação algébrica 1D Formalmente, minimize a soma dos quadrados das distâncias até a linha. Por quê a soma dos quadrados? Porque permite uma minimização rápida, assumindo que a linha passa por 0 Minimizar a soma de quadrados de distâncias para a linha é o mesmo que maximizar a soma dos quadrados das projeções nessa linha, graças a Pitágoras. 14

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16 Amostras em espaço bidimensional Dois agrupamentos de amostras 1, 2, 3 e 4, 5, 6 0 representa o centróide dos dados, i.e., os valores médios de cada variável 16

17 Projeção dos dados em novos eixos K N A X PCA K N... A... T, Escores P, Pesos 17

18 Exemplo Exemplo Matriz de dados originais 18

19 Gráfico dos dados Média e variância dos dados escalonados 19

20 Gráfico dos dados escalonados Matriz de pesos 20

21 Gráfico dos pesos Gráfico dos escores 21

22 PCA. Espécies em um espaço Normalização 1. Subtrai a média e divide pelo desvio padrão 2. Centróide é zero 3. Localização relativa dos pontos é mantida 22

23 Gradiente entre as espécies 1 e 2 Rotação: eixo PC1 sobre eixo X eixo PC2 sobre eixo Y t W d,a c b b, m, n, u, r, t x y z 23

24 Quantos eixos interpretar? PC1: 63% PC2: 33% PC3: 4% = 3! Contribuição das espécies para os eixos Pesos ou pesos dos fatores Espécies PCA 1 PCA 2 PCA 3 S1 0,969 0,066-0,239 S2 0,970 0,041 0,239 S3-0,104 0,994 0,006 PC1 = 0,969(P 1 ) + 0,970(P 2 ) 0,104(P 3 ) PC2 = 0,066(P 1 ) + 0,041(P 2 ) + 0,994(P 3 ) PC3 = -0,239(P 1 ) + 0,239(P 2 ) + 0,006(P 3 ) 24

25 Conclusões A PC representa novos eixos no espaço de medida das variáveis As PCs são determinadas a partir da distribuição das amostras no espaço de variáveis Refletem a estrutura dos dados Usualmente, poucas PCs são suficientes para modelar os dados No. PCs << No. variáveis Sugestão de Leitura 25