Modelagem Numérica de Terreno. Carlos Alberto Felgueiras

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1 Modelagem Numérica de Terreno Carlos Alberto Felgueiras

2 Modelo Numérico de Terreno Definição Um MNT descreve a variação espacial contínua de uma grandeza sobre uma região. Dados de entrada arquivos pontuais (X,Y,Z) ou isolinhas ( { (x,y) }, z ) Geração de distribuição contínua problema de interpolação Tipos de Interpoladores não-paramétricos (média móvel local) ajuste global de superfície triangulação geo-estatística (krigeagem)

3 Modelo Numérico de Terreno (representações) Estruturas de representação computacional: (a) pontos cotados (b) isolinhas (c) grade triangular (d) grade retangular (a) pontual (c) grade triangular (b) isolinhas (d) grade retangular

4 Modelo Numérico de Terreno O processo de Modelagem Numérica Amostragem: dados de entrada nas representações pontos 3D isolinhas linhas de restrição (características) Modelagem propriamente dita: criação de estruturas de grades regulares de grades irregulares Aplicações ou análises: uso dos modelos projeção planar, imagens, declividade fatiamento, visibilidade, contornos, volumes, drenagens, etc... Mundo Real Amostragem Modelagem Aplicações

5 Entrada e Edição

6 Entrada e Edição (Amostragem) Fontes de amostras: Bases topográficas, Levantamentos em campo, GPS s, Importação de outros sistemas (formatos DXF, Generate, etc..) Classificação quanto a distribuição: Espaçamento regular (grade retangular) Espaçamento não regular (amostras esparsas) Redução das amostras: Problemas de super-amostragem (generalização) Organização das amostras: Otimização para buscas de vizinhos Definição da vizinhança: Raio de influência e # de vizinhos + próximos

7 Entrada e Edição (Organização das amostras) Partição do espaço A C 2 4 B C 4 D E D 3 E A B Árvore 2kD

8 Entrada e Edição (Definição da vizinhança) Raio de influência Número de vizinhos Ponto da grade Ponto amostral Amostra vizinha

9 Modelagem Numérica por Grades Grade retangular Grade triangular Ponto da grade Ponto amostral Modelagem Numérica de Terreno

10 Modelagem por Grade Regular Interpolação Espacial (Interpolação Espacial) processo de estimar grandezas a partir de amostras na área de estudo (usualmente) grandeza deve ser quantizada Lei de Tobler para SIG pontos vizinhos no espaço tem valores mais correlacionados que pontos distantes Uso de Interpolação Espacial em SIG calculo de contornos (isolinhas) calcular propriedades das superfícies Modelagem Numérica de Terreno

11 Modelagem por grade regular (Interpoladores:: por ponto x por área) Interpolação pontual dado um conjunto de pontos de localização e valor conhecidos, determinar o valor em localizações predeterminadas usada para dados coletados pontualmente (dados meteorológicos, topografia) uso em algoritmos de gerar contorno Interpolação por área dados mapeados por zonas de entrada produzir dados mapeados por zonas distintas de habitantes por zonas urbana / rural para eleitores por zona eleitoral Modelagem Numérica de Terreno zona urb. 128a. ZE 127a. ZE zona rural.

12 Modelagem por grade regular (Interpoladores: global x local) Interpoladores globais função única mapeada em toda a área mudança em um valor afeta todo o modelo usado quando se conhece a forma da superfície (análise de tendência) Interpoladores locais algoritmos aplicados localmente mudanças em um valor tem efeitos dentro da janela de interpolação Modelagem Numérica de Terreno

13 Modelagem por Grade Regular (Interpoladores: exatos x aproximados) Interpoladores exatos mantém os valores dos pontos de entrada superfície passa em todos os pontos conhecidos ex; B-splines, triangulação Interpoladores aproximados incerteza sobre os dados de entrada hipótese: dados tem tendências globais (que variam lentamente) e flutuações locais amaciamento reduz erro na superfície resultante Modelagem Numérica de Terreno

14 Modelagem por Grade Regular (Interpoladores:: superfície de tendência) Interpolador global, aproximado, estocástico supõe que a tendência geral da superfície é independente de erros aleatórios em cada ponto filtra variações locais ex: correção geométrica imagens Superfície é aproximada por um polinômio z = a + bx + cy + dx 2 + exy + fy 2 Problemas efeitos de borda produz superfícies arredondadas (incomum na natureza) Modelagem Numérica de Terreno

15 Modelagem por Grade Regular (visualização em projeção planar) Modelagem Numérica de Terreno

16 Modelagem por Grade Regular: Vizinho mais próximo Média simples Média Ponderada 1/d 2 Média Ponderada Quadrante Média Ponderada por Cota e Quadrante Interpoladores Locais Modelagem Numérica de Terreno

17 Geração de Grade Retangular (SPRING - Média simples e ponderada) Z * n å i= 1 = n å i= 1 w z i w Média Local Ponderada i i w i = 1/d i k

18 Geração de Grade Retangular (média ponderada por quadrante) (a) (b) Ponto da grade Ponto amostral Amostra vizinha

19 Geração de Grade Retangular (média ponderada por quadrante e cota) Z a Z b

20 Modelagem por Grade Retangular (representação matricial)

21 Modelagem por Grade Retangular (interpoladores) Vizinho mais próximo Média Simples Média Ponderada

22 Modelagem por Grade Retangular (Interpoladores:: média móvel) Ampla margem para variação Problemas função de ponderação número e vizinhança de pontos variação dos valores interpolados limitada pelos dados de entrada nenhum valor pode ser maior que a entradas como incluir restrições espaciais na interpolação? Modelagem Numérica de Terreno

23 Modelagem por Grade Retangular (Interpolador - Média Móvel) Terreno 150 Amostras Modelagem Numérica de Terreno Interpol.

24 Modelagem por Grade Retangular (Refinamento da Grade) A M B u v z M = (1-u)z A + (u)z B P z N = (1-u)z C + (u)z D z P = (1-v)z M + (v)z N C N D u,v Î [0,1] Refinamento bilinear : 4 vizinhos Refinamento bicúbico : 25 vizinhos

25 Modelagem por Grade Retangular (Krigeagem linear) Krigeagem é uma coleção de técnicas de regressão linear generalizadas para minimizar uma variância de estimação a partir de um modelo de covariância definido a priori, Journel, A krigeagem estima um valor não amostrado a partir de um conjunto de valores vizinhos z(u a ), a = 1,...,n. Considerando-se um modelo de FA estacionária com média m e covariância C(h), o estimador linear para Krigeagem Simples (SK) é definido por: n ù la a ê é n = å SK + - å SK z * SK ( u) ( u) z( u ) 1 la ( u) ú m a = 1 ë a = 1 û Krigeagem ordinária (ko) não depende do valor da média n å a = 1 l OK a ( u ) = 1 Þ z * OK ( u) = å a = 1 Modelagem Numérica de Terreno n l OK a ( u) z( u a )

26 Modelagem por Grade Retangular (Estimador de Krigeagem linear) Eduardo C.G. Camargo Segundo Journel (1988): K.l = k => l = K -1 k l l l a 1 2 : n = C C...C n C C...C n : : : : C C...C 1 n1 n2 nn C C C : n0 Os elementos das matrizes de covariâncias são calcu- lados da seguinte forma (Journel,, 1988): C = C + C - g( h) ij 0 1 Substituindo os valores de C ij ij nas matrizes encontram-se os pesos l 1, l 2,..., e l n. n Estimador de Krigeagem (Journel, 1988): Z* x = å l o i i= 1, 1988): Z ( x ) i Variância de Krigeagem (Journel,, 1988): s ko Modelagem Numérica de Terreno 2 = ( ) - T C C l k

27 Modelagem por Grade Retangular (Estimador de Krigeagem linear) Modelos Teóricos para ajuste do Semivariograma Experimental Modelos Transitivos (Eduardo C.G.Camargo) EXPONENCIAL ì0, h = 0 ï g( h) = í é h 1-exp æ öù ïc o+ C 1 ç-, h 0 ë ê 3 è øû ú ¹ î a ESFÉRICO ì0, h = 0 ï ï é3æ h ö 1 h 3 g( h) = + ç - æ h 2è ø 2è ç ö ù íc C ê ú, 0 < a ï o 1 ëê a a ø ûú ï î C + C, h > a o 1 GAUSSIANO ì0, h = 0 ï g( h) = í é h 2 1-exp æ ö ù ïc o+ C 1 ê ç- ú, h ¹ 0 ëê è ø î a ûú Modelagem Numérica de Terreno

28 Modelagem por Grade Retangular (Estimador de Krigeagem linear) Imagem da continuidade espacial do teor de argila proveniente de um modelo de krigeagem anisotrópico Imagem da variância de krigeagem relativa ao teor de argila Modelagem Numérica de Terreno

29 Modelagem por Grade Retangular (Métodos Estocastico x Determinístico) Métodos Geoestatísticos os pesos são determinados a partir de uma análise de correlação espacial baseada no semivariograma. Métodos Determinísticos os pesos são determinados meramente em função da distância. l i = f (d i ) l i = f [g(h)] Área de influência na interpolação é raio de busca é arbitrário. indicada pelo alcance. Modela anisotropia, isto é, detecta as Anisotropia, em geral, é ignorada. direções de maior e menor continuidade espacial do fenômeno. Trata redundância automaticamente atribui pesos adequados para agrupamentos (clusters) de amostras. Redundância não tratata automaticamente podem ocorrer superestimação ou subestimação de valores. Modelagem Numérica de Terreno

30 Modelagem por Grade Triangular Modelagem Numérica de Terreno

31 Modelagem por Grade Triangular: Conceitos Superfície definida por um poliedro faces triangulares vértices = pontos amostrados triangulação não é única. Triangulação de Delaunay- Critério do Circumcirculo Dados os pontos p a, p b e p c Î Conjunto Amostral P onde a¹b¹c, uma triângulação T é dita ser de Delaunay sse " t Î T, com vértices nos pontos p a, p b e p c, o circumcirculo que passa pelos vértices de t não contém nenhum outro ponto p d Î P / d ¹ a ¹ b ¹ c. Modelagem Numérica de Terreno

32 Modelagem por Grade Triangular: Triangulação de Delaunay T1 T2 T2 T1 Critério do Circumcírculo para definição da triangulação de Delaunay. Modelagem Numérica de Terreno

33 Modelagem por Grade Triangular: Inserção de Restrições T 1 T 1 T 2 T 2 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 (a) (b) Modelagem Numérica de Terreno

34 Modelagem por Grade Triangular: Inserção de Restrições Z 1 Z 1 Z 3 Z 3 Z 2 Z 2 (a) (b) Modelagem Numérica de Terreno

35 Geração de Grade Triangular: Visualização

36 Modelagem Numérica por Grades: Comparação Vantagens Problemas Grade triangular 1. Melhor representação de relevo complexo 2. Incorporação de restrições como linhas de crista 1. Complexidade de manuseio 2. Inadequada para visualização 3D Grade regular 1. Facilita manuseio e conversão 2. Adequada para geofísica e visualização 3D 1. Representação de relevo complexo 2. Cálculo de declividade

37 Aplicações: Geração de Imagem Imagem MNT Nível de Cinza - Mapeamento linear dos valor de cota (Z) para nível de cinza Zmin -> 1 e Zmax->255 Imagem MNT Sombreada - Valores dos níveis de cinza proporcionais à intensidade de iluminação que atinge o pixel.

38 Aplicações: Geração de Imagem Imagem em Nível de Cinza Imagem Sombreada

39 Aplicações Projeção Geométrica Planar Modelo Digital de Terreno 3D, representado por uma grade regular, é projetado no plano 2D juntamente com uma imagem de textura (imagem sombreada ou imagem de sensoriamento remoto)

40 Aplicações Projeção Geométrica Planar Projeção Paralela com Imagem Sombreada como Textura

41 Aplicações: Projeção Geométrica Planar Projeção Perspectiva do Modelo com Imagem de Sensoriamento Remoto

42 Aplicações: Fatiamento Classificação de um MNT através da definição de faixas de valores e associação desses valores com classes pré-definidas.

43 Aplicações: Fatiamento Imagem em Nível de Cinza Imagem de Alturas Fatiada ( )

44 Aplicações: Mapa de Declividade e Exposição A declividade e a exposição são obtidas a partir da definição do vetor gradiente. D = arctg {[( dz/dx ) 2 +( dz/dy ) 2 ] 1/2 } Z i-1,j+1 Z i,j+1 Z i+1,j+1 E = arctg [-( dz/dy )/ ( dz/dx )] ( -P< E < P ) Uma metodologia para grade regular Z i-1,j Z i,j Z i+1,j [dz/dx] i,j = [( Z i+1,j+1 + 2*Z i+1,j + Z i+1,j-1 ) ( Z i-1,j+1 + 2*Z i-1,j + Z i-1,j-1 )]/8*dX Z i-1,j-1 Z i,j-1 Z i+1,j-1 [dz/dy] i,j = [( Z i+1,j+1 + 2*Z i,j+1 + Z i-1,j+1 ) ( Z i+1,j+1 + 2*Z i,j-1 + Z i-1,j-1 )]/8*dY

45 Aplicações: Mapa de Declividade Grade regular de declividade Imagem de declividade fatiada (0-2, 2-5, 5-10 e >10)

46 Aplicações: Análise de Perfis Determinação das trajetórias

47 Aplicações: Análise de Perfis

48 Aplicações: Mapas de Visibilidade Modelo de Grade Regular Mapa de visibilidade

49 Aplicações: Mapas de isolinhas Interpolações nas arestas das células retangulares ou triangulares. Isolinhas mais suaves dependem de modelo (a) Grade Regular (b) Malha triangular mais refinado.

50 Aplicações: Outras - Cálculo de volumes Volumes de corte e aterro em relação à uma cota Z base. - Geração automática de drenagem (em desenvolvimento) - Outras