Mestrado Profissionalizante em Finanças as e Economia Empresarial FGV / EPGE Prof. Eduardo Ribeiro Julho Setembro 2007

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1 Projeções de Séries S Temporais Econometria dos Mercados Financeiros Mestrado Profissionalizante em Finanças as e Economia Empresarial FGV / EPGE Prof. Eduardo Ribeiro Julho Setembro 2007 Objetivo do curso Capacitar o aluno a realizar previsões de séries s de tempo financeiras e econômicas 1

2 Previsão de séries s Tipos de previsão E(Y t Ω t ) E(Y t Ω t-1 ) V(Y t Ω t-1 ) Previsão de séries s Exemplos E(Y t Ω t )= α + β x t E(Y t Ω t-1 ) = α + β x t-1 E(Y t Ω t-1 ) = α + β y t-1 V(Y t Ω t-1 ) = α + β σ 2 t-1 2

3 Modelo Clássico de séries s Decomposição da série s em Ciclo (C), Tendência(T), Sazonalidade (estacionalidade)) (S) e Irregular (I). Y = C + T + S + I (linear) Y = C T S I (multiplicativo) lny = lnc + lnt + lns + lni y = c + t + s + i Modelo Clássico de séries s Ciclo é relativamente pouco estudado pois exige séries s que envolvem décadas d (problema de quebras estruturais), ou é incluído na tendência (não linear). Modelo básico: b ruído branco Y = I onde ε t ~iid(0, σ 2 ) y t = α + ε t 3

4 Modelo Clássico de séries s Componentes fixos (não estocásticos): sticos): T= β t S = Σ α s d st onde d st =1 se mês / trimestre / dia da semana = s e d st =0 em outros casos. Modelo Clássico de séries s exemplo simples y t = α + β t + Σ α s d st + ε t Série sem tendência: z t = y t α + β t Série sem sazonalidade: z t = y t α Σ α s d st Série sem tendência nem sazonalidade ε t = y t α β t Σ α s d st 4

5 Modelo Clássico de séries s exemplo simples Gráficos Avaliação do Modelo de Previsão Considera-se se um bom modelo de previsão aquele Com previsões não viesadas; Eficiente (menor erro de previsão); Usa toda a informação disponível; Parcimonioso (lâmina de Occam). 5

6 Outro modo de ver o problema O Objetivo é exaurir a informação disponível em y,, a partir das informações de Ω,, de modo que o erro não tenha nenhuma informação sistemática. tica. Em outras palavras, para Ω=x, sabendo que V(y) = β 2 V(x) + V(ε) queremos ter um modelo onde: V( V(ε) ) <<V(y), e ε seja ruído branco. Medidas de avaliação de modelos Para avaliar se as previsões são não viesadas, avaliar graficamente; Para avaliar se o erro de previsão (dentro e fora da amostra) é pequeno, considera-se se as seguintes medidas: MSE = Σ (y t ÿ t ) 2 /T MAE =Σ = y t ÿ t /T AIC= T ln (SQR) + 2 k SIC= T ln (SQR) + k ln(t) 6

7 Medidas de avaliação de modelos Para avaliar se toda a informação está sendo empregada, usamos Testes de especificação (autocorrela( autocorrelação); e Teste de variáveis veis omitidas. Para avaliar se o modelo é parcimonioso, usamos critérios rios de informação como SIC e/ou R 2 -ajustado. Lembrando as Hipóteses do Modelo 1. Relacionamento linear entre as variáveis veis 2. E(ε i ) = 0 3. E(ε i2 ) = σ 2 (constante) 4. Os erros são independentes entre si: E(ε i ε j ) = 0, i j i j = 1, 2, Os erros e as variáveis veis explicativas são independentes: E(x ki ε i ) = 0 6. Distribuição Normal dos erros: ε ι ~iid N(0, σ 2 ) 7. As variáveis veis explicativas não podem ser combinações lineares entre si. 7

8 Testes dos Resíduos 1. Autocorrelação Correlação no tempo (ontem ajudando a prever hoje), i.e., Cor(e t, e t-s ) 0. Problemas da autocorrelação ão: : inferência errada (desvios padrões dos coeficientes calculados de modo errôneo). Diagnóstico: Correlograma Diagnóstico: Test Serial Correlation LM: significância da regressão de e t em função de e t-1, e t- 2,..., e t-p Solução: incluir termos autoregressivos,, MQG ou corrigir desvios padrões (Método Newey-West West.) Modelo de séries s Componentes aleatórios (não estocásticos): sticos): I = β 1 y t-1 + β 2 y t-2, onde β <1 <1 T= β y t-1, onde β=1 S = β s y t-s onde s=4, se dados trimestrais, s=12 se dados anuais, etc... 8

9 Modelo de séries s Modelo com tendência estocástica stica (random( walk): ou y t = α + y t-1 + ε t y t = y t - y t-1 = α + ε t (retornos, ao invés s de preços) Modelo de séries s Modelo com tendência e sazonalidade estocástica: stica: z t = y t z t = α + β s z t-4 + ε t ou (1- L)(1- β s L 4 ) y t = α + ε t A(L) y t = α + ε t Onde L é o operador de defasagens e A(L) é um polinômio em L. 9

10 Propriedades do operador de defasagem L i y t = y t-i L -i y t = y t+i Lc = c (L i + L j )y t = y t-i + y t-j L i L j y t = y t-(i+j) Se α <1, <1, (1-αL-α 2 L 2 -α 3 L )= 1/(1-αL) Se α >1, >1, (1-αL-α 2 L 2 -α 3 L )= -αl/(1-αl) L) Propriedades de uma série s de tempo Uma série s de tempo apresenta a peculiaridade de que temos amostras de tamanho 1 apenas para cada data t. Para podermos empregar o instrumental estatístico stico usual em uma série s de tempo, algumas condições tem de ser verificadas, para que a série s seja estacionária (fracamente estacionária / estac.. de 2a ordem / estac.. na covariância). 10

11 Estacionariedade de uma série de tempo Condições para estacionariedade E(y t )= µ V(y t ) = σ 2 Cov(y t, y t-s ) = γ s Note que a média, m variância e covariância não dependem da data em que está sendo avaliada (t).( Desta forma qualquer período é representativo do comportamento da série. s Estacionariedade de uma série de tempo As propriedades da série s de tempo A(L)y t = α + ε t dependem do polinômio A(L),, que faz com que a série s seja uma equação em diferenças. Uma equação em diferenças expressa o valor de uma variável vel em termos de seus valores defasados, do tempo e outras variáveis veis. As raízes do polinômio (propriedades) influenciam as propriedades estatísticas sticas das séries. s 11

12 Estacionariedade de uma série de tempo As propriedades da série s de tempo A(L)y t = α + ε t dependem do polinômio A(L), que faz com que a série seja uma equação em diferenças. Uma equação em diferenças expressa o valor de uma variável vel em termos de seus valores defasados, do tempo e outras variáveis veis. 12