6. Predição Linear e Controlo de Variância Mínima

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1 1 6. Predição Linear e Controlo de Variância Mínima Objectivo: Projectar controladores discretos lineares para sistemas com perturbações estocásticas. Preparação para o Controlo Adaptativo. Referência: AW, Cap. 12

2 2 O problema da predição Observa-se uma série temporal de números: Pretende estimar-se qual o valor que a "série" vai tomar passos à frente. Dados conhecidos no instante t Valor a estimar y(tm)? y(t-1) y(t-2) y(t-3) y(t)... t-3 t-2 t-1 t tm

3 3 O problema da predição tem várias motivações. A mais óbvia (e porventura mais atraente ) é constituída pelas aplicações em Economia e Gestão. Um outro exemplo diz respeito às aplicações em controlo de sistemas sujeitos a perturbações aleatórias. Este problema foi tratado pela primeira vez por Kolmogorov e Wiener. A. Kolmogorov ( ) Carácteres muito diferentes, ambos foram não só notáveis matemáticos que dedicaram a sua atenção aos sistemas estocásticos, mas também tiveram um amplo leque de interesses em áreas diversificadas. N. Wiener ( )

4 4 A resolução do problema da predição pressupõe: A existência de um modelo sobre o modo como os dados são gerados; Um critério que permita avaliar a qualidade da predição e escolher a melhor. Iremos considerar como classe de modelos sinais aleatórios obtidos pela passagem de ruído branco por sistemas lineares e invariantes no tempo. Como critério ir-se-á utilizar o erro quadrático médio de estimação.

5 5 O modelo ARMA O sinal estacionário y(t) é modelado como o resultado da passagem de ruído branco através do sistema linear C(z) / A(z): e(t) C(z) A(z) y(t) A este modelo dá-se o nome de ARMA (Auto-Regressivo, de Média Móvel).

6 6 Polinómio recíproco O modelo ARMA no operador atraso Multiplicando o modelo ARMA por q -n : q -n A(q) y(t) q -n C(q) e(t) A*(q -1 ) C*(q -1 ) O modelo ARMA no operador atraso unitário é A*(q -1 ) y(t) C*(q -1 ) e(t)

7 7 O problema de predição com custo de erro quadrático médio Determinar que depende apenas das observações de y feitas até ao instante t, que minimiza a variância em regime estacionário do erro de predição: E [(y(t m) - y (t m t)) 2 O t ] Observações Observações de y feitas até ao instante t t t m feitas até t Predição

8 8 Solução do problema de predição Expande-se C* / A* por divisão longa 1 C * ( q ) 1 1 f A * ( q ) 1 q f m-1 q -m1 f m q -m f m-1 q -m-1... F m *(q -1 ) q -m y(t m) e(t m) f 1 e(t m - 1)... f m-1 e(t 1) f m e(t) f m1 e(t - 1)... ε Depende apenas das Depende do ruído até amostras do ruído futuras ao instante t

9 9 A equação: F m *(q -1 ) q -m permite a separação dos termos que afectam y(tm) em duas parcelas: A parcela dos termos que já ocorreram até ao instante t; A parcela ε dos termos que ocorre de t1 para diante ε Repare-se que a média do produto destas duas parcelas é zero (porquê?).

10 10 Para obter a expressão do preditor óptimo, considere-se o custo: [ ] Tendo em conta a expressão obtida anteriormente: ε A B As parcelas A e B são independentes e de média nula, pelo que a média do seu produto é zero. Assim: [ ε ]

11 11 [ ε ] Tendo em conta a média condicionada, obtém-se (porquê?) Este termo é mínimo quando se anula [ ε ] Este termo não depende de O preditor óptimo é portanto

12 12 O preditor óptimo é assim dado por Esta expressão não é útil pois exprime o preditor no sinal { } que não é mensurável directamente. No entanto, como os polinómios A e C têm o mesmo grau, tem-se Pelo que o preditor óptimo em regime estacionário se escreve:

13 13 Preditor de erro quadrático médio mínimo para sinais ARMA Dado o modelo ARMA com [ ] σ o preditor óptimo passos à frente vem dado por em que sendo um polinómio de grau.

14 14 A variância do erro de predição é [ ε ] [ ] Dado que { } é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e de média nula, ao desenvolver-se o quadrado, os termos cruzados anulam-se, e: [ ε ] σ

15 15 Predição linear: Exemplo Determine os preditores 1, 2 e 3 passos à frente do sinal modelado por em que { } é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas, de média nula e variância unitária. Determine o desvio padrão das estimativas.

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18 18 Preditor 1 passo à frente: Variância do erro de predição 1 passo à frente σ

19 19 Preditor 2 passos à frente: Variância do erro de predição 2 passos à frente σ

20 20 Preditor 3 passos à frente: Variância do erro de predição 3 passos à frente σ

21 21 Preditor de erro quadrático médio mínimo para sinais ARMAX Queremos agora considerar o caso em a entrada externa é não nula: Seja d o atraso do sistema: No operador atraso, o sistema é dado por: Sejam: e tais que :

22 22 Modelo ARMAX no operador atraso: Multiplique-se o modelo por : Obtém-se: ( ) ou seja

23 23 Repare-se que exprimimos y(tm) como a soma de duas parcelas incorrelacionadas: Assim, o preditor óptimo passos à frente vem dado por: O preditor óptimo depende das saídas até ao instante corrente e da actuação do sistema até ao instante tm-d. preditor de y(tm) resíduo indep.