Modelação, Identificação e Controlo Digital

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1 29 Adormecimento dos mínimos quadrados recursivos Se os dados forem adequados, os elementos do ganho de Kalman diminuem à medida que o tempo passa, tornando-se eventualmente muito reduzidos se o ruído for baixo. A partir daí, as estimativas tendem a tornar-se constantes. Se o sistema a identificar sofrer alguma alteração, será necessário muito tempo para que as estimativas convirjam para o novo valor. Diz-se que o algoritmo adormeceu.

2 30 Esquecimento exponencial O adormecimento dos mínimos quadrados recursivos acontece porque o algoritmo pesa igualmente os dados recentes e os do passado remoto. Para o evitar, pode modificar-se o funcional de custo por forma a pesar menos os pontos do passado: ( θ) λ [ ϕ θ ] Peso exponencial, menor nos dados mais antigos A λ dá-se o nome de factor de esquecimento. Tem-se < λ <

3 31 Memória assimptótica A memória assimptótica dá-nos uma ideia do número de dados que influenciam a estimativa actual. λ λ λ pequeno -> Poucos dados retidos; algoritmo "ágil" a seguir alterações λ grande-> Muitos dados retidos; algoritmo lento a seguir alterações mas mais preciso

4 32 RLS com Esquecimento Exponencial Minimiza o custo com esquecimento exponencial. [ ] θ θ θ ϕ ϕ λ ϕ ϕ [ ϕ ] λ Demonstre que estas equações minimizam o custo exponencial. Observe que a matriz de informação é actualizada por Λ λλ ϕ ϕ

5 33 Explosão da covariância (covariance windup) Pretende-se estimar os parâmetros e no modelo: O valor verdadeiro dos parâmetros é (este valor não se sabe na prática; aqui é usado apenas para comparação!) Usa-se RLS com factor de esquecimento exponencial e λ Consideram-se duas situações para a entrada: Entrada constante Entrada constante somada com ruído branco

6 Resultados com a entrada do sistema constante tr(p) traço de P diminui inicialmente e a estimativa aproxima-se do valor verdadeiro. No entanto, devido a o sistema não ser excitado e a usarse o algoritmo de esquecimento, P aumenta o que causa um aumento do ganho de Kalman e leva a fortes variações da estimativa.

7 35 Resultados com a entrada do sistema variável tr(p) Quando a entrada é suficientemente excitante, o traço de P não volta a subir devido ao esquecimento e a estimativa mantém-se próximo do valor verdadeiro.

8 36 Sistemas variantes no tempo Lbd0.95 Lbd O parâmetro muda em t100 de 0.6 para 0.8. A figura mostra os resultados que se obtêm com dois valores diferentes do factor de esquecimento. Quando este é mais baixo, a transição da estimativa para o novo valor é mais rápida, mas em regime estacionário as flutuações são maiores.

9 37 Outro tipo de algoritmos de esquecimento Para evitar os problemas com o esquecimento exponencial utilizam-se outros algoritmos. Dois exemplos importantes: Esquecimento variável no tempo. O factor de esquecimento é 1 quando a potência dos resíduos está abaixo de um dado limiar, sendo reduzido quando a potência aumenta. Deste modo eliminam-se os problemas com a explosão da covariância, permitindo esquecimento apenas quando existe evidência de alterações no modelo. Esquecimento direccional. O factor de esquecimento é diferente em diversas direcções do espaço de parâmetros, o que permite reduzir problemas devidos à não identificabilidade.

10 38 Algoritmos numericamente robustos As equações do algoritmo de RLS, tal como foram apresentadas, podem apresentar problemas numéricos (embora não no MATLAB em simulações de pequena duração). Há várias formas de evitar estes problemas. No chamado algoritmo UD propaga-se não a matriz P mas duas matrizes, U (triangular superior com 1's na diagonal) e D (diagonal), tal que. Deste modo é possível trabalhar com uma gama de números menor e garantir o carácter definido positivo de P. No capítulo 13 de AW pode ser visto um procedimento em PASCAL para este algoritmo.

11 Efeito do ruído colorido Ruído colorido Valor verdadeiro Ruído branco Em presença de ruído branco a estimativa de mínimos quadrados é centrada, i. e., a média do erro é nula. Isto deixa de ser verdade quando o ruído é colorido. Na figura mostra-se a estimativa do parâmetro em quando e quando

12 40 Variáveis Instrumentais Recursivas O estimador de variáveis instrumentais pode ser expresso recursivamente: ξ ϕ ϕ ξ ξ [ ] ϕ θ θ θ Exercício: Demonstre estas expressões de modo análogo ao feito para obter o algoritmo RLS.

13 41 Mínimos Quadrados Extendidos Generalização heurística do RLS a modelos ARMAX A estimativa ε de pode ser calculada a partir de [ ] θ ε ε ϕ ε θ ϕ

14 42 Sejam ϕ [ ϕ ε ε ] θ [ θ ] As equações dos Mínimos Quadrados Estendidos são: θ θ [ ] ϕ θ é o ganho de Kalman correspondente ao regressor ϕ ε ϕ θ

15 43 O facto de os mínimos quadrados fornecerem estimativas polarizadas em presença de ruído colorido pode parecer à partida uma limitação importante. Em classes importantes de controladores adaptativos de facto não o é. Isto é devido a, em cadeia fechada e sob certas condições, sistemas com ruído colorido admitirem um outro modelo com ruído branco. Como se verá, esta é a base do controlo adaptativo auto-sintonizável (self-tuning) descoberto no início dos anos 70 por Astrom e Wittenmark.

16 44 Controlador Adaptativo Pode obter-se um controlador adaptativo acoplando um algoritmo de identificação recursivo a uma lei de controlo. Adaptador Estimador RLS Cálculo dos ganhos Parâmetros do modelo ganhos F Controlador u Processo y

17 45 O objectivo de um controlador adaptativo é o de calcular os ganhos do controlador em tempo-real por forma a que as caracteristicas do sistema em malha fechada se mantenha constantes apesar de alterações das características do sistema. É possível utilizar várias leis de controlo, por exemplo a colocação de polos com técnicas polinomiais ou controlo de variância mínima. Duas formas são comuns para abordar o problema: adaptação explícita (ou indirecta), onde se estima primeiro o modelo do sistema e depois se calculam os ganhos do controlador, ou adaptação implícita (ou directa) onde os o controlador é estimados sem requerer a obtenção do modelo do sistema

18 46 Projecto explícito com colocação de polos 1. Para o modelo A(q)y(k) B(q)u(k)C(q)e(k), estimar os coeficientes dos polinómios A(q), B(q) e C(q) por um dos métodos estudados. 2. Dados os polinómios desejados para o sistema em malha fechada (B m, A m, A o ), projectar os polinómios do controlador R(q),S(q),T(q): 3. Calcular o sinal de controlo: R(q)u(k) T(q)r(k) S(q)y(k) 4. Repetir os passos anteriores para todos os instantes de amostragem

19 47 Projecto explícito com controlador de variância mínima No caso explícito, podemos obter o controlo de variância mínima fazendo: Projecto Implícito com colocação de polos Multiplicando a equação diofantina por y, obtém-se:

20 48 Substituindo a expressão do modelo, vem: ( ) ( ) Podemos considerar esta expressão como o modelo de um processo parameterizado em B -, S e R. Podemos estimar directamente esses parâmetros, sem ter que estimar o modelo do sistema!

21 49 Projecto Implícito com controlador de variância mínima Conseguem-se soluções simples se o processo for de fase mínima. Neste caso, em regime estacionário a saída do processo é uma Moving Average Por outro lado a lei de controlo geral é dada por: Portanto, o controlador de variância mínima verificará, em estacionaridade:

22 50 Controlador de variância mínima autossintonizado Com base na expressão anterior: ε o controlador de variância mínima autossintonizado baseia-se na estimação dos polinómios R e S, que minimizem a variância da saída. Verifica-se que este controlador tende para a lei óptima de CVM mesmo desconhecendo o modelo da perturbação (envolvido em F d *).

23 51 Algoritmo Controlo de variância mínima autossintonizado 1. Estimar os coeficientes de R e S no modelo: em que: ε utilizando o método dos mínimos quadrados com: [ ] [ ] ϕ θ

24 52 2. Calcular o sinal de controlo a partir de: 3. Repetir os passos 1 e 2 para todos os instantes de amostragem. O parâmetro r 0 pode ser estimado ou assumido conhecido.

25 53 Processo real modelo ARMAX: Exemplo: Para o processo real, a lei de controlo de variância mínima é (mostre!): Modelo para CVM autossintonizado - ARX:

26 54, e

27 55 Repare-se que como no processo real o ruído não é branco, as estimativa de mínimos quadrados de s 0 e r 0 não vão convergir para os valores do processo real (a e b). No entanto, o ganho do controlador (u -s 0 /r 0 ) vai se aproximar do ganho óptimo dado por:! No exemplo anterior, o ganho "aproxima-se" do óptimo :. Quer dizer que, embora as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros do modelo estejam polarizadas (devido ao ruído não ser branco), o ganho do controlador é ainda o ganho de variância mínima. É a esta propriedade que se dá o nome de autossintonização (self-tuning).

28 56 Estudo Assimptótico Considere-se o sistema: θ " A estimativa de mínimos quadrados de θ é (rever capítulo 4): θ ( ) # # # # ( ) ( ) ( ) # ( ) # As equações normais são: ( ) ( ) θ ( ) ( ) ( ) ( ) # # # # # # # #

29 Se a lei de controlo for de variância mínima ( θ ), obtêm-se: 57 ( ) ( ) θ ( ) θ ( ) ( ) # # # # # # O lado direito da equação anterior converge para zero porque: θ ( ) converge quando. A saída tem energia limitada se a perturbação tiver energia limitada. Portanto: # # # O controlador tende a descorrelacionar amostras consecutivas do sinal de saída.

30 Resultados Gerais 58 Teorema (14.1 do Astrom Adaptive Control ) Se B - 1, e as estimativas dos parâmetros dos polinómios R e S, de ordem n r e n s, convergem, então o sistema em malha fechada tem as propriedades: $ τ τ $ τ τ Teorema (14.2 do Astrom Adaptive Control ) Se a estimação dos parâmetros do regulador converge e a ordem dos polinómios S e R são e, respectivamente, então converge para o regulador de variância mínima do processo.