= + + = = Este sistema é semelhante ao anterior mas o atraso do sistema é agora de 2 amostras. Pretende-se determinar o controlo de variância mínima.

Transcrição

1 38 Controlo de variância mínima: Exemplo 2 Considere-se o processo modelado por σ [ ] Este sistema é semelhante ao anterior mas o atraso do sistema é agora de 2 amostras. Pretende-se determinar o controlo de variância mínima.

2 39 Determinação dos polinómios e : Assim:

3 40 O controlador é ágora Em regime estocástico estacionário a saída tem uma variância [ ] Repare-se que neste caso a variância da saída do sistema controlado é substancialmente maior do que a do ruído que perturba o sistema.

4 41 Pólos do sistema em cadeia fechada com controlo de VM Comece-se por dar uma forma no operador avanço à expressão: ou seja "Multiplicando" ambos os membros por obtém-se:

5 42 Pretendemos analisar os modos dinâmicos do sistema controlado relativamente aos sinais y e u. e y u Em malha fechada o sistema pode ser descrito pela equação (matricial):

6 43 A equação característica, cujas raízes são os pólos deste sistema (com uma entrada e duas saídas) é: ou seja [ ]

7 [ ] 44 Assim, conclui-se que a equação característica do sistema em cadeia fechada com controlo de variância mínima é Repare-se que se o sistema em cadeia aberta for de fase não-mínima (tiver um ou mais zeros fora do círculo unitário) haverá modos instáveis devido ao cancelamento.

8 45 Considere-se o sistema em que: Exemplo 3 - Controlo de Variância Mínima Há um zero em o que origina um modo interno instável. O controlador é O modo associado ao zero em origina uma oscilação que é visível na entrada do sistema mas não na saída.

9 46 As respostas do exemplo x y u Como lidar com sistemas de fase não mínima?

10 47 Controlo de Variância Mínima de Sistemas com Inversos Instáveis 1 Factorizar o polinómio B(q) como: ( ) em que B contém as raízes estáveis e B - as raízes instáveis.

11 48 2- Usar a lei de controlo: ( ) ( ) em que: B -* é o polinómio recíproco de B - deg F d d deg B deg G d n - 1

12 49 Exemplo 4 CVM de um sistema com zero instável Considere-se o mesmo sistema do Exemplo 3: cujo zero em que origina um modo interno instável. Faça-se:

13 50 Os polinómios F d e G d são neste caso obtidos a partir de: Como d 1, fica: ( )( ) ( )( ) ( )( ) cuja solução é:

14 51 O controlador de variância mínima vem então dado por: Com este controlo o sinal de saída é dado por: A variância da saída pode ser calculada através de: Resultado final: ( ) ( ) σ ( ) σ Relembrar como se calcula!

15 52 Análise da malha fechada e y u Em malha fechada o sistema pode ser descrito pela equação (matricial):

16 A equação característica é: ou seja 53 A malha fechada tem polos i) nos zeros estáveis do sistema, ii) no recíproco dos zeros instáveis do sistema e iii) d-1 polos na origem.

17 Interpretação em termos de pole placement 54 O sistema de controlo de variância mínima pode ser interpretado como um problema de colocação de polos, em que se define a equação diofantina: com: cuja solução é dada por:

18 55 As especificações significam que se pretende que o regulador A m cancele os zeros estáveis do sistema e o recíproco dos zeros instáveis e que o observador A o utilize o modelo da perturbação C(q). Notar que o sistema tem d zeros em infinito cujos recíprocos aparecem na origem.