Equações Diofantinas + = polinómios conhecidos polinómios desconhecidos

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1 24 Considere-se a equação Equações Diofantinas + = polinómios conhecidos polinómios desconhecidos Há soluções? Quantas soluções há para uma dada equação? Em geral, a equação pode ser definida num anel (exs. anel dos inteiros, anel dos polinómios) Vamos começar com um exemplo no anel dos inteiros.

2 25 Uma equação diofantina no anel dos inteiros Quais são os valores de x e y (inteiros) que satisfazem: + = = = é uma solução. Além disso, se é uma solução, é possível gerar outras soluções por = + = com um inteiro arbitrário De facto, todas as soluções são geradas deste modo.

3 26 Exemplo: Uma equação diofantina sem soluções + = Sempre par Número ímpar A não existência de soluções é devida ao facto de o máximo divisor comum de 4 e 6 (que é 2) não dividir o segundo membro. Este facto é geral.

4 27 Divisão de Polinómios Diz-se que o polinómio A divide o polinómio B, se existir um polinómio Q, denominado "quociente" tal que: = Nem sempre é possível encontrar um Q que verifique isto, sendo em geral = + em que o polinómio R (denominado resto) verifica < e o símbolo representa o grau do polinómio.

5 28 Divisão de polinómios: Exemplos = + + = + = + O polinómio é divisível por dado que para = + se tem = O polinómio não é divisível por. Para este, tem-se = +

6 29 Máximo divisor comum O máximo divisor comum dos polinómios e é um polinómio que divide simultâneamente e e cujo grau é máximo. Representa-se por. Por exemplo, dados os polinómios = e = + + o máximo divisor comum é: ( ) = + + O polinómio + também divide e mas o seu grau é inferior.

7 30 Equações diofantinas com polinómios A solução da equação em que A, B, C, X, Y são polinómios + = tem solução sse o máximo divisor comum de A e B dividir C. Se A e B são coprimos (i. e. se não tiverem raízes comuns), então tem solução (e.g. 1 divide C). Todas as soluções podem ser expressas por = + = em que e verificam a equação (são denominadas uma solução particular) e é um polinómio arbitrário.

8 31 Assim, há infinitas soluções para a equação diofantina AX+BY=C se A e B não têm factores comuns. A solução será única se fôr imposta uma condição no grau adequada. Considere-se a equação em que A e B não têm factores comuns: + = Há uma solução única que verifica a condição < ou, alternativamente <

9 32 Solução da Equação Diofantina Demonstração construtiva baseada na existência de solução (baseada no algoritmo de Euclides) Redução a uma equação matricial algébrica linear; Método dos coeficientes indeterminados (dada a ordem dos polinómios incógnita, supor polinómios gerais e igualar os coeficientes das potências correspondentes).

10 33 Caso A e B coprimos podemos resolver os problemas mais simples AX+BY = G (G escalar) AU+BV = 0 Encontrando as soluções X, Y, U e V para este problema, as soluções do problema completo podem ser calculadas através de (mostre!): Solução Particular: X 0 = XC div G, Y 0 = YC div G Solução Geral: X = X 0 + QU, Y = Y 0 QV Solução Mínima: Q= -X 0 div U ou Q= -Y 0 div V

11 34 Para resolver o problema: AX+BY = G (G escalar) AU+BV = 0 Escrita Matricial: = = A partir da matriz utilizar operações elementares nas linhas para chegar à matriz, usando algoritmo de Euclides (ver adiante).

12 35 Inicialização: Iterar: Algoritmo de Euclides A 0 = A B 0 = B A n+1 = B n Parar quando: B n+1 = A n mod B n B n+1 = 0

13 36 De volta ao problema de colocação de pólos Considere-se a equação diofantina que surge no posicionamento de pólos ( ) λ + = Tem solução se e não têm raízes comuns e não tiver raízes em 1. Com efeito, neste caso (pressuposto desde o início) o seu máximo divisor comum é 1, que divide. Para além disso, há uma solução única tal que < λ +

14 37 No caso mais geral temos: Neste caso, pode ainda mostrar-se que = + λ (1) = + λ (2) Considera-se o caso: = = (3) A factorização de R conduz a: λ + = + + (4)

15 38 De (1), (3) e (4), vem: Introduzindo 2, temos: = + λ = + Logo, conclui-se: + + λ = + = + λ Esta equação dá-nos o grau mínimo de A o para cumprir as restrições de ordem tomadas.

16 39 Se e ainda Condições de causalidade + + λ Significa que o atraso não pode ser reduzido pelo controlador. O grau do polinómio observador deve ser suficientemente elevado Então, há um controlador causal que resolve o problema de posicionamento de pólos.

17 40 Dados: Algoritmo de projecto de colocação de pólos Modelo do processo Especificações: Modelo desejado para a cadeia fechada (modelo de referência): Deve satisfazer Número de integradores do controlador: λ

18 41 1) Factorizar Pole Placement Design Algorithm (cont.) = + em que todos os zeros a cancelar, dados pelas raízes de +, devem estar dentro do círculo unitário. 2) Calcular que satisfaz = 3) Escolher que satisfaz a condição de causalidade + + λ

19 42 4) Calcular = 5) Resolver a equação diofantina para obter os polinómios e : em que λ + = ( ) < λ + = + λ + 6) Calcular = ( ) λ

20 43 Exercício Calcular os polinómios R,S,T de um controlador discreto com acção integral para um sistema do tipo integrador duplo. Faça o período de amostragem igual a 0.5 s. Coloque os polos desejados para o sistema em malha fechada nas localizações z = j e z = j. Coloque todos os polos de um eventual observador em z = 0.