Controlo digital de um motor de corrente contínua

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1 43 Controlo digital de u otor de corrente contínua Pretende-se projectar u controlador digital para a posição de u pequeno otor de corrente contínua de ían peranente. u(k) D/A AP Motor y D/A y(k) Adite-se (siplificando) que a função de transferência do otor é s( s + )

2 44 Modelo do processo Função de transferência discreta entre a tensão aplicada e a posição: B( z) H( z) = = A( z) K( z b) ( z )( z a) h K = e + h a = ( h h e ) Note-se que b <, i. e., o zero está no seieixo real negativo. b e h = e h + h Se este zero for cancelado dará orige a u odo interno rapidaente oscilatório, que pode ser indesejável.

3 45 Especificações (co cancelaento do zero) A função de transferência desejada para a cadeia fechada é H ( z) B ( z) = = A ( z) ( + + ) z p p z + p z + p Os parâetros p e p do denoinador são escolhidos por fora a que os pólos corresponda à aostrage de u sistea de segunda orde co pólos co ζ e ζω n dados: ( ) ζ ω n n p = e ζω h cos h nh p = e ζω

4 46 H ( z) B ( z) = = A ( z) ( + + ) z p p z + p z + p A escolha do polinóio B ( z ) faz-se de odo a que: O ganho estático desejado para a cadeia fechada seja unitário, H ( ) = O atraso da cadeia fechada seja ínio. Sabe-se que, para que o controlador seja causal, o atraso da cadeia fechada é, no ínio, igual ao da cadeia aberta. E cadeia aberta o atraso (dado pela diferença de núero de pólos e zeros) é. Assi, para que o atraso da cadeia fechada tabé seja acrescenta-se u zero na orige.

5 Projecto do controlador de posicionaento de pólos 47 Factoriza-se B coo B = B + B e que B + é ónico e te todos os zeros a cancelar e B te os restantes teros de B Neste caso, coo B = K( z b) B + = z b B = K B B K = = ( + + ) z p p K Condição de causalidade no grau do polinóio observador: Escolhe-se + A A A B + λ = + = o Ao ( z) =

6 Grau das incógnitas na equação diofantina S < λ + A = + Escolhe-se para S( z) u polinóio genérico de grau : S( z) = sz + s Note-se que, após resolver a equação diofantina, podereos concluir que s =. Co esta escolha, te-se 48 R = A + A A λ= + = A equação diofantina é ( ) o λ o z AR+ BS = AA Introduze-se Rz ( ) = r e S( z) = sz + s obtendo-se ( )( ) ( ) z z a r + K s z + s = z + p z + p

7 49 Igualando os coeficientes de iguais potências de z, obté-se o seguinte sistea de equações lineares: r = ( + a) r + Ks = p ar + Ks = p cuja solução é + Te-se ainda R = B R( z ) λ = z b A lei de controlo é portanto z( + p + p ) r s s = T( z) = Ao( zb ) ( z) = = tz K a p = + + K p a = K u( k) = tr( k ) s y( k ) s y( k ) + bu( k )

8 Resultados co ζ =. 7, ωn = : h= h= Devido ao cancelaento do zero há ua oscilação rápida (indesejável) da variável anipulada, que se reflecte na saída quando o intervalo de aostrage auenta. Repare-se ainda que quando o intervalo de aostrage auenta a aplitude do controlo diinui.

9 5 Especificações (se cancelaento do zero) A função de transferência desejada para a cedeia fechada é agora: H ( z) B ( z) = = A ( z) z b z + p z + p + p +. b p O zero do processo é agora u zero da função de transferência desejada, pelo que não é cancelado. A( z) = z + p z + p p B ( z) = + + b p ( z b)

10 5 Factoriza-se B( z) coo Assi Projecto do controlador de posicionaento de pólos B + = B = K( z b) B + p + p + p + p B = =.( z b). = B b K z b K b O grau do polinóio A o é agora: ( ) ( ) Escolhe-se + A A A B + λ = + = o A ( o z ) = z

11 53 A escolha de todas as raízes de A o na orige significa que os transitórios de observação se extingue no ínio tepo possível. Esta escolha siplifica as contas as pode não ser a ideal do ponto de vista da robustez do projecto face à presença de erros de odelação ou da sensibilidade aos efeitos de ruído de alta frequência. Na prática, convé tornar o observador ais lento, pelo que as raízes de A o são deslocadas da orige. Adiante tornareos a este aspecto.

12 54 Grau das incógnitas na equação diofantina S < λ + A = + Escolhe-se para S( z) u polinóio genérico de grau Co esta escolha, te-se Assi, neste caso: S( z) = sz + s R = A + A A λ = + = o ( ) λ + R = BR z = R = z+ r

13 55 A equação diofantina é ( ) λ o z AR+ BS = AA ou seja: ( )( )( ) ( )( ) 3 z z a z + r + K z b s z + s = z + p z + p z (*) Para obter o sistea de equações lineares verificado pelas incógnitas r, s e s, utiliza-se o Princípio das Identidades: Dois polinóios de grau n não iguais se tivere o eso valor e n pontos distintos da variável independente. Faça-se z = b na equação (*). Obté-se r = b + ( + ) + b b p b p ( b )( b a)

14 56 ( )( )( ) ( )( ) 3 z z a z + r + K z b s z + s = z + p z + p z Fazendo sucessivaente z = e z verificado por s e s : Finalente: ( )( ) = a obté-se o sistea de equações lineares K b s + s = + p + p ( )( ) 3 K a b s a + s = a + p a + p a + p + K T( z) = AB o = z = tz p ( b)

15 57 Resultados co ζ =. 7, ω n = : A oscilação rápida da variável anipulada foi eliinada. A estrutura do controlador é igual à se cancelaento do zero as os ganhos são diferentes.

16 58 Influência do polinóio observador T A o + - A R o + + v. z- x Processo: H ( z ) x =. z Especificação: H ( z). = z λ =, o ( ) =. 8. = r + z 8.. ( z ) v ( z g)( z. 8) S A o y (. g) z +. 8g e ( z g)( z. 8) + + e A z z g

17 Efeito no ruído de observação, e 59 5 Bode Diagras Fro: U().5-5 g= -5dB g= Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() g= g= Frequency (rad/sec)

18 Efeito nas perturbações à entrada, v 6 Bode Diagras Fro: U().4 - g=.99. Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() g= g= g= Frequency (rad/sec) 5 5 5

19 6 A escolha do polinóio observador iplica neste caso u coproisso: Tornando o observador ais lento (retirando o pólo da orige): Diinui a sensibilidade ao ruído no sensor de edida da saída Auenta a sensibilidade à carga (perturbação) de baixa frequência

20 6 Exercício sobre projecto co colocação de pólos Dado o sistea co função de transferência B( z) = A( z) z. 4z z deterinar u controlador que cupra as seguintes especificações: Ganho estático do sistea controlado = Grau ínio do polinóio observador co todas as raízes na orige Cancelaento do zero do processo Polinóio característico desejado: A( z) = z. 7z +. 5 Considerar os casos co e se acção integral