Representação De Modelos de Sistemas Dinâmicos:

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1 Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência 03 Representação De Modelos de Sisteas Dinâicos: - Equação Input-Output (I/O) - Função de Transferência INTRODUÇÃO Vereos, agora, dois outros tipos de representação do odelo ateático de u sistea dinâico: () Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída) () Representação por Função de Transferência REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÃO I/O Trata-se da representação do odelo ateático do sistea por ua só EDOL, na qual, no lado direito da equação aparece a entrada e suas derivadas teporais e, no lado esquerdo, a saída e suas derivadas teporais No caso ais geral, tereos: y (n) (n ) () ( ) + ay + + an y+ an y = b0u + bu + + b u+ b u n () onde a i (i =,,, n) e b k (k =,,,) são coeficientes constantes u(t) é a entrada y(t) é a saída Para u sistea co apenas u grau de liberdade, a obtenção da equação I/O é bastante natural Por exeplo, para o sistea -c-k padrão, o odelo ateático é dado pela EDOL de a orde x+ cx+ kx = f(t) () que, após divisão pela assa, constitui u caso particular bastante siplificado da eq () Entretanto, quando o sistea te vários graus de liberdade, torna-se bastante coplicado fundir todas as equações diferenciais e ua só equação, co a fora da eq () Isso se deve ao fato de que, na aioria dos casos, as coordenadas generalizadas estão acopladas, ou seja as próprias coordenadas e suas derivadas aparece siultaneaente e

2 Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência alguas das equações que constitue o odelo ateático Para suplantar essa dificuldade podeos usar u enfoque alternativo que usa a transforada de Laplace: Estratégia: () Toar a transforada de Laplace de cada ua das equações diferenciais, considerando condições iniciais nulas (sistea inicialente e repouso), obtendo, assi, u conjunto de equações algébricas e teros das transforadas das coordenadas; () Eliinar as variáveis que não representa a entrada e a saída, através de étodos algébricos, tais coo a Regra de Craer, de odo a obter ua só equação e teros das transforadas da entrada e da saída; (3) Finalente, levar essa equação para o doínio do tepo e interpretá-la coo ua equação diferencial na fora da eq () Exeplo : Obter a equação I/O correspondente ao odelo dado pela eq (), considerando f(t) coo entrada e o deslocaento x(t) coo saída Solução c k No caso, y = x e u = f(t), logo a equação I/O fica y+ c y+ ky = u(t), ou x+ x+ x = f(t) Portanto, n =, = 0, a = c/, a = k/ e b 0 = / Exeplo : Obter a equação I/O correspondente ao odelo de u sistea ecânico co GDL, dado pelas EDOL s abaixo, considerando coo entrada f(t) e coo saída o deslocaento x (t) x + c x c (x x ) + k x k (x x ) = 0 x + c (x x ) + k (x x ) = f(t) Solução Coo agora são GDL, deveos aplicar a estratégia acia: () Toando as transforadas de Laplace e organizando e fora atricial: s + (c c + c s k )s + k + k c s s k + c s + k X (s) 0 = X (s) F(s) () Coo a saída é x, aplicaos a regra de Craer para obter X (s):

3 Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência 3 X (s) = s + (c 0 F(s) + c )s + k c s k c s k s + + k c s + k c s + k + c s + k Calculando os deterinantes e após anipulações algébricas, obteos { s 4 + [ c + (c + c )]s 3 +[ k + c c + (k + k ) ]s + (c k + c k )s + k k } X (s) = = (c s + k )F(s) (3) Voltando ao doínio do tepo: (4) x + [ c + (c k + c k ) x + k k x + (c + c )]x + [ k + c c = c f+ k f + (k + k ) ]x + a qual está na fora de equação I/O dada pela eq () Portanto, obtiveos ua EDOL que relaciona apenas a entrada f(t) e a saída x (t) Entretanto, o sistea de duas equações diferenciais de a orde foi transforado e ua só EDOL de 4 a orde Veos que ua equação I/O fornece u relação entre ua entrada e ua saída, o que é o caso de sisteas SISO (Single Input Single Output = Siples Entrada Siples Saída) Contudo, para sisteas MIMO (Multi Input Multi Output = Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas), existirá ua equação I/O para cada par de entrada e saída Assi, se no exeplo tivésseos ua entrada f(t) e duas saídas x (t) e x (t), teríaos então duas equações I/O, ua relacionando f(t) e x (t) e outra relacionando f(t) e x (t) E geral, portanto, se tiveros p entradas e q saídas, tereos p x q equações I/O 3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA Considereos, novaente, a eq () Definios Função de Transferência do sistea, G(s), coo sendo a razão da Transforada de Laplace da saída (resposta) para a Transforada de Laplace da entrada (excitação), considerando condições iniciais nulas (sistea inicialente e repouso): G(s) = Y(s) ci nulas U(s) (3) Evidenteente, para deterinar funções de transferência de sisteas dinâicos teos que ter à ão tabelas co as transforadas de Laplace ais conhecidas Coo subsídio, podeos utilizar os quadros e, apresentados no final desta nota de aula Para o caso geral da eq (), podeos aplicar a transforada de Laplace na esa e obter a função de transferência do sistea: G(s) = Y(s) U(s) ci nulas + n b0s b s + + b = n s + a s + + a s + a n n (4)

4 Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência 4 Exeplo 3: O odelo ateático de sisteas ecânicos co GDL co apenas ua assa, ua ola k e u aortecedor c é dado pela EDOL x+ c x+ kx = f(t) onde x(t) é a resposta no tepo e f(t) é a excitação Achar a função de transferência Solução Transforada de Laplace da EDOL (usando a Tab ), para condições iniciais nulas: (s + cs + k)x(s) = F(s) Pela definição de Função de Transferência: Logo: G(s) = X(s) G(s) = F(s) s + cs + k ci nulas Podeos aplicar o étodo da Transforada de Laplace para resolver a eq (4), ou seja, para achar a resposta no tepo do sistea, calculando antes a função de transferência G(s) e colocando a eq (4) na fora Y(s) = G(s)U(s) (5) que pode ser ilustrada pelo diagraa de blocos da fig : Fig Diagraa de Blocos A resposta do sistea no doínio do tepo é obtida através da aplicação da transforação inversa de Laplace na eq (5): y(t) = L - [G(s)U(s)] (6) As transforadas inversas pode ser buscadas nas tabelas de transforadas de Laplace, coo as apresentadas a seguir E geral, antes de usar as tabelas, é necessário fazer o desenvolviento do ebro direito da eq (6) e frações parciais pelos étodos usuais

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7 Representação de Modelos de Sisteas Dinâicos: Equação I/O; Função de Transferência 7 EXERCÍCIOS Considere u sistea ecânico rotacional cujo odelo ateático é dado pelas EDOL s J θ J θ + Kθ Kθ Kθ + Kθ = T(t) = 0 e que T(t) é a entrada e θ (t) é a saída Sendo J = kg, achar a equação I/O para esse sistea (4) 4 Resp: θ + K θ + 3K θ = KT(t) O odelo ateático do sistea ecânico da fig é dado por x+ c x+ kx = c y+ ky, onde x(t) é a resposta no tepo e y(t) é a excitação do tipo deslocaento da base Achar a função de transferência Resp: G(s) = s cs + k + cs + k 3 A fig representa u sistea ecânico co dois graus de liberdade, x (t) e x (t) O odelo ateático é dado pelo sistea de EDOL's x + c x c x + kx kx x c x + c x kx + kx = f (t) = f (t) onde f (t) = 0 Considerando f (t) coo entrada e x (t) e x (t) coo saídas, achar as funções de transferência X (s)/f (s) e X (s)/f (s) Resp: X(s) s + cs + k G (s) = = F (s) (s) X(s) cs + k G(s) = = F (s) (s) onde (s) = ( s + cs + k)( s + cs + k) (cs + k)