Para um sistema elétrico, com NB barras, as equações básicas do fluxo de carga para

Transcrição

1 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente II Fluxo de carga não linear: algoritos básicos II. Forulação do problea básico Para u sistea elétrico, co NB barras, as equações básicas do fluxo de carga para,, L, NB são: P ( G θ cos (II. ( G θ sen (II. constituindo u sistea de NB equações e NB variáveis co as seguintes características: NB equações do tipo (II.; NB equações do tipo (II.; NB variáveis (para ua dada barra associa-se:, θ, P e O fluxo de carga básico e redes de energia consiste e resolver este problea definindo (ecificando parte das variáveis ( NB variáveis e calculando as deais ( NB variáveis. Na forulação clássica, a definição das variáveis que são ecificadas e calculadas encontra-se na Tabela II... Tabela II. Tipos de barra no fluxo de carga convencional. Tipo de barra Notação Dados Incógnitas Barra de carga P P e e θ Tensão controlada P P e θ e Referência θ e θ P e Se a barra está representando u ponto do sistea onde é conhecida a injeção líquida de potência (coo S S G S D, deve-se conhecer a potência gerada S G e a potência deandada S D, esta pode ser ecificada, restando calcular e θ. Este tipo de barra é denoinado barra de carga ou P. Se a barra está representando u ponto do sistea onde é possível o controle da agnitude da tensão, através do controle da injeção líquida de potência reativa ou por interédio do ajuste do tap de algu transforador, esta tensão pode ser ecificada, restando calcular θ e denoinado barra de tensão controlada ou P. G D. Este tipo de barra é Coo as perdas não são conhecidas a priori, deve-se deixar pelo enos ua barra onde a injeção líquida de potência S S G S D seja calculada. Este tipo de barra é denoinado referência ou θ, sendo definidos e θ. Observar que pelo enos ua injeção líquida de potência ativa P PG PD e outra de potência reativa G D precisa ser calculadas para fechar os balanços de potência ativa e reativa. Ebora geralente tais injeções de balanço seja associadas à barra de referência angular, não é andatório que seja associadas a ua única barra. Ua vez resolvido o problea do fluxo de carga, é conhecido o estado da rede, ou seja, são conhecidos os fasores tensão (, θ de todas as barras (,, L, NB. Isto torna possível o cálculo de outras variáveis de interesse coo as injeções de potência nas barras e os fluxos de potência nos raos (linhas e transforadores. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

2 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Seja NP e NP, rectivaente, o núero de barras P e P da rede. O fluxo de carga pode ser decoposto e dois subsisteas de equações algébricas: Subsistea (diensão NP + NP Neste subsistea são dados: P i e P j e e i, i { barras P} : j, { barras P} θ, { barra θ} : j : e deseja-se deterinar: i e i i barras j barras P θ, { P} θ, { } j resultando e u sistea de P i P i P j P j i i j j θ θ NP + NP equações algébricas não-lineares (funções quadráticas e trigonoétricas onde parte das incógnitas aparece de fora iplícita ( θ θ θ é constituído pelas seguintes equações: ( S P ( G { barras P e P} ( G { barras P}. O Subsistea Subsistea (diensão NP + É resolvido após a solução do Subsistea. No Subsistea são dados: e θ,,, L, NB e deseja-se deterinar: P e i barra θ i i, { }, j { barras P} j resultando e u sistea de NP + equações algébricas não-lineares onde todas as incógnitas ( P e aparece isoladas de fora explícita. O Subsistea é constituído pelas seguintes equações: ( S P ( G { barra θ} ( G { barras P e θ} A Tabela II. resue as características dos dois subsisteas. Observar que o Subsistea pode ser facilente resolvido após a solução do Subsistea, ou seja, após a deterinação do estado (, θ da rede. Por outro lado, a solução do Subsistea exige u processo iterativo pois este é forado por equações não-lineares. Assi, os étodos de resolução do problea do fluxo de carga concentra-se na solução do Subsistea. Subsistea S Tabela II. Características dos subsisteas que constitue o fluxo de carga. Diensão NP + NP P i e P e j e S NP + e θ, Especificadas i barras P i, { } j, j { barras P} θ, { barra θ},, L, NB ariáveis i e i j Calculadas θ, i { barras P} θ, { barras P} j P i e i, i { barras θ}, j { barras P} j Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

3 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Exeplo II. Considerando o sistea elétrico utilizado no Exeplo I., cujos dados encontra-se na Figura II., forular as equações referentes ao Subsistea do fluxo de carga. pu θ I Z LT, + j, ( pu S Figura II. Sistea elétrico de duas barras. (,8, pu S + j Solução Exeplo II.: Confore as definições já apresentadas para o problea do fluxo de carga, a barra é ua barra de carga pois sua injeção de potência é conhecida; a barra é a referência. Assi, as variáveis ecificadas (conhecidas para o Subsistea são as seguintes: G D P P P,8,8 pu G D,,, pu θ rad A atriz aditância da rede é dada por: Y,99 j9,9 9,95 8,9 Z, + j, Y Y,99 Y G Y Y,99 As equações do Subsistea são as seguintes: P ( ( G + B + G S ( G B B pu [ ] [ ] o,99,99 (,99 + 9,9 +,99 (,99 9,9 + 9,9 pu e 9,9 B 9,9 9,9 9,9,8 ( S, Observar que o Subsistea é forado por duas equações não lineares e possui duas incógnitas: e θ. As expressões do Subsistea tê orige na equação de balanço de potência da Barra (a potência injetada enos a potência que flui através da linha de transissão é igual a zero e difere das equações obtidas na solução do Exeplo I., oriundas da aplicação de ua equação de alha (soa de tensões, entretanto, a solução de abos sisteas é esa :,96 pu.e o θ,8 rad,6. As incógnitas do Subsistea pode ser agrupadas no vetor x dado por: x θ } NP + NP } NP e que θ é o vetor dos ângulos das tensões nodais das barras P e P e é o vetor das agnitudes das tensões nodais das barras P. De fora ais copacta, o Subsistea pode ser rescrito coo: ( S P P P (, θ { barras P e P} (, θ { barras P} Isto pode ser coprovado substituindo este valor nas expressões anteriores. Coo os núeros apresenta alguns arredondaentos, o resultado fica próxio a zero, na orde de -. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

4 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente colocando as funções P P P P e (, θ (, θ na fora vetorial e que P é o vetor das injeções de potência ativa nas barras P e P e é o vetor das injeções de potência reativa nas barras P. Definindo a função vetorial g ( x : } P NP + NP g( x } NP o Subsistea pode ser rescrito de fora siplificada através da seguinte expressão: g ( x Este sistea de equações não-lineares pode ser resolvido por u núero uito grande de étodos, sendo que os ais eficientes são os étodos de Newton e o étodo Desacoplado Rápido. Exeplo II. Epregando a notação na fora vetorial, deterinar as variáveis e equações do Subsistea do problea definido no Exeplo II.. Solução Exeplo II.: As variáveis e equações do problea são dadas rectivaente por: θ θ P( x P ( θ, x g( x ( ( x θ, P ( θ,,8 (,99 + 9,9 +,99 ( θ,, (,99 9,9 + 9,9 Na figura a seguir encontra-se o gráfico das funções P ( θ, e ( θ, ponto ( θ, (,8 ;,96 que corronde a solução do problea, pois P (,8 ;,96 e (,8 ;,96 corronde aos valores para os quais a função P ( θ, ( θ. para valores e torno do. A linha pontilhada indica a intersecção entre as duas funções, ou seja,,.5 dp(theta, dpd -.5 d(theta, theta A figura anterior foi gerada utilizando o seguinte código MATLAB. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

5 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II. (continuação: % disponivel e: clear all; theta -.5:.:-.5;.9:.:.; [T,] egrid(theta,; g *(-.99.*cos(T+9.9.*sin(T+.99.*; g -. -.*(-.99.*sin(T-9.9.*cos(T+9.9.*; zero zeros(size(,,size(theta,; figure( contour(theta,,g,; %colorbar; xlabel('theta'; ylabel(''; hold on contour(theta,,g,; % deterina pontos de interseccao entre as superficies g e g g []; g []; t []; v []; for :size(g, g [g g(,:]; g [g g(,:]; t [t T(,:]; v [v (,:]; end i find(abs(g-g<.5; tt t(i; vv v(i; gg g(i; plot(tt,vv,gg,''; Exeplo II. Para a rede de quatro barras cujos dados estão na Figura II. e nas Tabelas II. e II., deterinar as equações do fluxo de carga. Y S Y : a jb jb jb jb Y S S Y S jb jb jb : e jϕ Y Figura II. Sistea exeplo de barras. Tabela II. Dados das barras do sistea de barras. Barra Tipo [pu] θ [rad] P [pu] [pu] b [pu] θ,5, P,, P,95,,675 P,8, Tabela II. Dados dos raos do sistea de barras. Y [pu] b [pu] a [pu] ϕ [rad], j,,, j,, j,,5, j,, j,,95 Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 5 de 7

6 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II.: Coo já deterinado na solução do Exeplo I., a expressão da atriz aditância é dada por: jϕ Y + Y + Y + jb + jb Y Y e Y Y Y + Y + jb + jb Y Y Y Y Y Y ay jb jb jb ay jϕ e Y ay Y + Y Substituindo os valores da Tabela II., chega-se a:,6 j5,98, + j, + j,989 + j,9775, + j,5 j,97, + j Y, + j, + j,5 j,85 j,95,989 + j,9775 j,95 j,6,,,989 5,98,9775,,5, G e,97 B,,,5,85,95,989,9775,95 As atrizes anteriores pode ser obtidas co o seguinte código MATLAB. % disponivel e: raos [.-i.. ;.-i.. ; -i..5;.-i.. ; -i.95 ]; b [ ; ;.675; ]; nr size(raos,; y raos(:,; b i*raos(:,; a raos(:,5; fi raos(:,6; Y diag(i*b; for :nr raos(,; raos(,; Y(, Y(, - a(*exp(-i*fi(*y(; Y(, Y(, - a(*exp(i*fi(*y(; Y(, Y(, + a(*a(*y( + b(; Y(, Y(, + y( + b(; end Y G real(y B iag(y Para cada ua das quatro barras do sistea, pode ser escritas duas equações, ua para a injeção de potência ativa e outra para a injeção de potência reativa, da fora coo segue: P G P P ( ( G ( G ( G ( G ( G Ω {,,} K {,,, } Ω {,} K {,,} Ω {,,} K {,,, } Observar que devido à presença de u transforador defasador a atriz aditância não é siétrica. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 6 de 7

7 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II. (continuação: P G K ( ( G Ω {,} K {,, } Observar que as variáveis que se deseja calcular (incógnitas encontra-se tanto do lado direito ( θ, θ, θ, e quanto do lado esquerdo ( P, e da igualdade. O Subsistea, de diensão NP + NP 5, cujas incógnitas aparece do lado direito ( θ, θ, θ, e é dado por: P K ( G ( G K {,,} ( G + B θ K {,,, } P sen P K ( G ( G K {,, } As equações restantes constitue o Subsistea, de diensão NP +. Para este subsistea, as incógnitas aparece do lado esquerdo ( P, e sendo dado por: P ( G ( G K {,,,} ( G B θ K {,,, } cos Observar que após a deterinação das incógnitas do Subsistea ( θ, θ, θ, e, o estado da rede será copletaente definido pois o fasor tensão da Barra ( e θ θ e a agnitude da tensão da Barra ( são conhecidos, o que torna a solução Subsistea trivial (basta substituir os valores das tensões e ângulos e calcular os soatórios. Reescrevendo-se as equações do Subsistea, te-se u sistea de cinco equações não lineares e cinco incógnitas ( θ, θ, θ, e, das quais três aparece de fora iplícita (os ângulos de fase θ, θ e θ : [ ( G + B + ( G + B + ( G B θ ] [ ( G + B + ( G + B + ( G + B + ( G + B ] [ ( G + B + ( G + B + ( G B θ [ ( G B + ( G B + ( G B θ ] ( G + ( G + ( G B θ sen P + P + P + sen cos cos P P P, θ, θ [ ] Colocando na fora de diferenças de potência ( ( e ( considerando que cos θ e sen θ, te-se: [ ( G + B + G + ( G + B ] [ ( G + B + ( G + B + G + P P + ( G + B ] ( G θ + ( G + G [ ] P cos e Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 7 de 7

8 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II. (continuação: G B B + G B [ ( ( ] ( G θ + ( G B sen [ ] Substituindo-se os valores conhecidos ostrados na Tabela II. e pela atriz aditância, tê-se as seguintes equações que constitue o Subsistea :, [,5(, + +,5 +,95(, + ],,95,5, + +, + +,5,95 + [ ( ( + ( +,95 ],8 [,5(,989 +,9775 sen θ +,95( +,95 + ], [,5(, +,97 +,95(, ], [,5(,989,9775 +,95(,95 + ] Agrupando as variáveis do Subsistea no vetor x e as equações do Subsistea e utilizando ( x ( x para representar as injeções de potência ativa e reativa calculadas e função das variáveis x, te-se: P P P ( x θ θ P P P ( x P P ( P P x x θ ( S ( x ( x P } NP + NP + equações ( S g ( x } NP equações Na fora copacta, as expressões das equações do Subsistea são dadas por: P P ( x } { barras θ} { } ( S ( x { } { } barras P e θ, ( x { barras P e P} {,,} { barras P} {,} P e Exeplo II. (alternativo, se transforador defasador Para a rede de quatro barras cujos dados estão na Figura II. e nas Tabelas II.5 e II.6, deterinar as equações do fluxo de carga. Y S Y : a jb jb jb jb Y S S Y S jb jb jb : a Y Figura II. Sistea exeplo de barras (alternativo. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 8 de 7

9 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Tabela II.5 Dados das barras do sistea de barras (alternativo. Barra Tipo [pu] θ [rad] P [pu] [pu] b [pu] θ,5, P,, P,95,,675 P,8, Tabela II.6 Dados dos raos do sistea de barras. Y [pu] b [pu] a [pu], j,,, j,,, j,, j,,95 j,,9 Solução Exeplo II.: Coo já deterinado na solução do Exeplo I., a expressão da atriz aditância é dada por: Y + Y + Y + jb + jb Y Y ay Y Y + Y + jb + jb Y Y Y Y Y Y ay jb jb jb ay ay ay ay + Y Substituindo os valores das Tabelas II.5 e II.6, chega-se a:,6 j5,98, + j, + j j,8, + j,5 j,97, + j Y, + j, + j,5 j,85 j,95 j,8 j,95 j,6,6,, 5,98,8,,5, G e,97 B,,,5,85,95,8,95,6 As atrizes anteriores pode ser obtidas co o seguinte código MATLAB. % disponivel e: raos [.-i.. ;.-i.. ;.-i.. ; -i.95 ; -i.9 ]; b [ ; ;.675; ]; nr size(raos,; y raos(:,; b i*raos(:,; a raos(:,5; fi raos(:,6; Y diag(i*b; for :nr raos(,; raos(,; Y(, Y(, - a(*exp(-i*fi(*y(; Y(, Y(, - a(*exp(i*fi(*y(; Y(, Y(, + a(*a(*y( + b(; Y(, Y(, + y( + b(; end Y G real(y B iag(y Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 9 de 7

10 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II. (continuação: Coo os tipos das barras e as conexões existentes são as esas, as expressões obtidas no exeplo anterior peranece válidas, havendo diferença apenas nas expressões cujos valores nuéricos fora substituídos. Para os valores das Tabelas II.5 e II.6 que define a atriz aditância, tê-se as seguintes equações que constitue o Subsistea : P :, [,5(, + +,5 +,95(, + ],,95[,5(, + + (, + +,5,95 + P : + +,95 ( ] P :,8 [,5( +,8 sen θ +,95( +,95 + ] :, [,5(, +,97,95(, ] :, [,5(,8 + (,95 +,6 ] II. Resolução de sisteas algébricos não lineares pelo étodo de Newton- Raphson Considere, inicialente, u sistea unidiensional (neste caso, os vetores g ( x e x possue apenas u coponente e pode ser representados por escalares forado por ua equação do tipo: g x (II. ( Resolver este sistea significa deterinar o valor de x tal que a função g ( x seja nula. Sendo ( x g ua função contínua co suas derivadas contínuas a expansão e série de Taylor e torno de u ponto conhecido x é dada por : g ( ( ( x ( g( x + + ( g x g x x x x x + K!! Drezando-se todos os teros após a derivada prieira, isto é, aproxiando-se a função g ( x por ua reta, confore ostra a Figura II., chega-se a: g ( ( ( x ( g x g x + x x (II. A partir da expressão da aproxiação linear (II. é possível deterinar o ponto x no qual o valor desta aproxiação é nulo, ou seja, g ( x (vide Figura II. da seguinte fora: g ( ( ( x ( x g x + x x g (II.5 x x g ( x g( x g( x g(x Equação da reta tangente por x : g ( ( ( x ( g x g x + x x g ( x g( x + x Ponto no qual a reta tangente por x é nula: x x x x x x Figura II. Interpretação geoétrica do étodo de Newton. x Ebora a função seja de apenas ua variável x, adotou-se a notação de derivada parcial para facilitar a extensão para o caso ultidiensional. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

11 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Definindo-se x x x x x + x e substituindo-se na expressão (II.5, te-se: x} ( + x 67 ( g( x ( x8 g x g x + x x g ( ( ( x g x + x g x + x (II.6 ( x g( x g x (II.7 onde x é a aproxiação inicial e x x + x ua prieira aproxiação. Observar que x não é a solução da equação inicial (II. e si a solução de ua aproxiação linear dada por (II.. A solução da equação (II. é obtida repetindo-se este processo até que o ódulo da função g ( x esteja suficienteente próxio de zero (dentro de ua tolerância definida. Isto sugere o seguinte algorito denoinado étodo de Newton-Raphson. Algorito do étodo de Newton-Raphson unidiensional i. Fazer e escolher ua aproxiação inicial ii. Calcular o valor da função g ( x, no ponto x x. x x : g ( x iii. Coparar o valor calculado g ( x co a tolerância ecificada ε: se g ( x ε solução procurada (dentro da faixa de tolerância ±ε; se g ( x > ε iv. Linearizar a função ( x derivada vide equação (II.6: ( x g v. Calcular a correção x g g e torno do ponto ( x, g( x, prosseguir., então x x será a. Isto se resue na deterinação da seguinte x que resolve o problea linearizado (II.6 vide equação (II.7: ( x g( x vi. Deterinar a nova estiativa de x passa a ser: vii. Fazer + e voltar para o Passo (ii. + x x + x Exeplo II.5 Utilizando o étodo de Newton-Raphson, deterinar a solução para a equação x sen x, considerando ua tolerância ε,. Solução Exeplo II.5: Inicialente, faz-se: g x x + sen x ( g( x ( x + sen x + cos x Considerando ua solução inicial x obtê-se os resultados ostrados na Tabela II.7. x e radianos. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

12 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II.5 (continuação: Tabela II.7 Resultados parciais do processo iterativo étodo de Newton-Raphson ( x. x ( g( x g x x,585,5,9,9,6,5,,6, -6 Portanto, para ua tolerância ε,, a solução x, 6 foi obtida após iterações, seguindo o processo ilustrado na Figura II.5. g(x x Figura II.5 Processo de convergência para x. Observar que a escolha da solução inicial afeta o processo de convergência confore pode ser coprovado pela coparação entre os resultados obtidos co x e co x, quando fora necessárias iterações (vide Tabela II.8 e Figura II.6. Tabela II.8 Resultados parciais do processo iterativo étodo de Newton-Raphson ( x. x ( g( x g x x,99,588,557,6,9,96,59,57,,599,689,6,,95,,6 9, -7 g(x x Figura II.6 Processo de convergência para x. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

13 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Ua variante do étodo de Newton-Raphson é obtida considerando-se a derivada constante, isto é, o Passo (iv do algorito é realizado ua única vez, na prieira iteração quando : ( x g( x g Utilizando-se derivada constante, e geral, o núero de iterações (para ua tolerância definida é aior que no étodo de Newton original, as cada ua das iterações se torna ais rápida pois não é necessário recalcular a derivada. Exeplo II.6 Utilizando o étodo de Newton-Raphson co derivada constante (on Mises, deterinar a solução para a equação x sen x, considerando ua tolerância ε,. Solução Exeplo II.6: Considerando ua solução inicial x obtê-se os resultados ostrados na Tabela II.9. Tabela II.9 Resultados parciais do processo iterativo étodo de on Mises. x g g ( x ( x x,585,79,79,9,96,988,5,5,,9, 5,55,8 Portanto, para ua tolerância ε,, x, 55. Coo erado, co a utilização de derivada constante, foi necessário realizar u núero aior de iterações (5 ao invés de. Exercício II. Utilizando os étodos de Newton-Raphson e de on Mises, deterinar, co ua tolerância ε,, o valor de x tal que e x sen x x + 5. Considere-se, agora, a resolução do seguinte sistea n-diensional: g x (II.8 ( onde g ( x é ua função vetorial e x é o vetor das incógnitas, isto é: g ( x g ( x g g ( x M ( x n x x x M x n A solução do sistea de equações (II.8 é obtida a partir de ua extensão do algorito de Newton- Raphson anterior, descrito a seguir. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

14 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Algorito do étodo de Newton-Raphson n-diensional i. Fazer e escolher ua aproxiação inicial ii. Calcular g ( x, no ponto x x : g ( x iii. Testar convergência: se g i ( x ε para i [, n] caso contrário, prosseguir. iv. Linearizar a função vetorial ( x x x. g e torno do ponto ( x, g( x seguinte atriz de derivadas, denoinada atriz Jacobiana: g ( ( ( x g x g x L n g ( ( x g ( ( ( x g x g x J x L n ( ( ( M M O M g n x g n x g n x L n v. Calcular a correção vi. x x que resolve o problea linearizado: [ J ( x ] g( x Deterinar a nova estiativa de x que passa a ser: + x x + x vii. Fazer + e voltar para o Passo (ii., então o processo convergiu para a solução x x ;. Isto se resue na deterinação da Exeplo II.7 Utilizando o étodo de Newton-Raphson, deterinar a solução considerando ua tolerância ε ε,, para o seguinte sistea de equações: x + y x y x + y 6 Solução Exeplo II.7: Inicialente, faz-se: g ( x, x x + x g( x J g ( x, x x + x 6 g g g g x Considerando ua solução inicial x e x obtê-se os resultados ostrados na Tabela II.. Tabela II. Resultados parciais do processo iterativo étodo de Newton-Raphson n-diensional. x g ( x x g ( x [ ( ] x,9,,99,,999977,6 x J x,6,,9,,,8,67,7,9,6,9, 9,88,665,65,586,5,,,7,7 Portanto, para ua tolerância ε ε,, x x, e y x, 6. x y Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página de 7

15 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II.7 (continuação: Observar que a partir da prieira iteração a função ( x g passa a apresentar valor nulo. Isto ocorre porque a aproxiação linear epregada para representar esta função corronde à própria função pois esta é de prieira orde nas variáveis x e x. Exeplo II.8 Utilizando o étodo de on Mises, deterinar a solução do sistea de equações do exeplo anterior. Solução Exeplo II.8: Considerando ua solução inicial x e x obtê-se os resultados ostrados na Tabela II.. Tabela II. Resultados parciais do processo iterativo étodo de on Mises n-diensional x g ( x x g ( x [ ( ] x,9,,96,7,986,78,995,95,9978,6,999,7,99965,69,99986,8 x J x,6,,9,,,8,6,,6,6,,,8,6,,,,,,,6,,8,86,,,68,6,,,97,,,66,6,,,9,,,6,6,,5,5,,,,6,,,8,,,,8 Portanto, para ua tolerância ε ε,, x x, e y x, 8. x y Exercício II. Utilizando os étodos de Newton-Raphson e de on Mises, deterinar, co ua tolerância ε,, a solução do seguinte sistea de equações: x + xy xy y 5 II. Fluxo de carga pelo étodo de Newton-Raphson O étodo de Newton-Raphson é aplicado para a resolução do Subsistea (S sendo dado por: ( S P P P (, θ (, θ P P P (, θ { barras P e P} (, θ { barras P} De acordo co o algorito de Newton-Raphson deseja-se deterinar o vetor das correções a resolução do sistea linear dado por: x (II.9, o que exige Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 5 de 7

16 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente onde ( x J ( x x x [ J ( x ] g( x g g x J ( x P θ ( x ( x g P P + P P P + P ( P ( P x ( ( P P + P P Considerando as expressões dos vetores pode ser rescrita da seguinte aneira: J ( x P (, θ P(, θ (, θ (, θ P + P P e e que P + P P θ P e P + P P são constantes, a atriz Jacobiana P + P P sendo as subatrizes representadas por: P(, θ P(, θ (, θ (,θ H N M L Assi, a equação que define a aplicação do étodo de Newton ao fluxo de carga fica sendo: P H N θ (II. M L Considerando que: P G G + B ( Ω ( G ( G + Ω ( G as subatrizes que copõe a atriz Jacobiana são dadas por: (, θ P H H H H l l P P l l Ω ( G + B ( G l l l l l Ω l Ω Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 6 de 7

17 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente (, θ P N (, θ M (, θ L N N N l l M M M L L L l l l l P G P l l + Ω l l B l l Ω ( G l ( G l l ( G ( G + l Ω l ( G l l l l Ω l Ω ( G l l l Ω l Ω l Ω l Ω Assi, os passos a sere executados para solução do fluxo de carga pelo étodo de Newton são os seguintes: i. Fazer Fluxo de carga pelo étodo de Newton-Raphson Algorito e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras P e P ( θ θ θ as agnitudes das tensões das barras P (. ii. Calcular: P (,θ para as barras P e P iii. iv. (,θ para as barras P e deterinar o vetor dos resíduos ( isatches Testar a convergência: se solução (, θ ax P ε e { } P { P+ P} ; caso contrário, continuar. Calcular a atriz Jacobiana: ( ( ( H, θ N, θ ( ( J, θ M, θ L, θ + v. Deterinar a nova solução ( +, θ sendo θ + + e θ + θ +, onde: P e. { } { } P ax θ obtidos co a solução do seguinte sistea linear: (, θ N(, θ ( ( θ, θ L, θ P H M vi. Fazer + e voltar para o Passo (ii. e ε, o processo convergiu para a Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 7 de 7

18 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Após a deterinação do fasor tensão de todas as barras, a solução do Subsistea (S é trivial, sendo obtida através das expressões: P ( G + B { barra de referência} ( S (II. ( G B { barras P e referência} Exeplo II.9 Utilizando o étodo Newton, deterinar a solução do problea do fluxo de carga corrondente ao sistea elétrico de duas barras utilizado no Exeplo II., considerando ua tolerância ε ε,. P Solução Exeplo II.9: Confore já deterinado, as incógnitas e equações do Subsistea são as seguintes: θ x P,8 (,99 + 9,9 +,99 ( S, (,99sen θ 9,9 + 9,9 Ω : Para este problea a atriz Jacobiana apresenta os seguintes eleentos, para os quais { } P(, θ P H H ( G + B ( G B θ (, θ + cos Ω P P N N (, θ ( G G + ( G B θ G + + sen Ω M M (, θ ( G ( G B θ + sen Ω L L ( G B + ( G B θ B + cos Ω Levando e conta a atriz aditância da rede (já calculada na solução do Exercício II., e os valores ecificados para pu e θ θ rad, tê-se os seguintes eleentos: H cos (,99 + 9,9 θ + (,99 + 9,9 (,99 + 9,9 θ + (,99 9,9 N,98 M sen L 9,8 Neste caso, coo a atriz Jacobiana é dada por: H N J M L então sua inversa é dada por: J N H M L H L N M L M N Considerando ua solução inicial θ rad e pu H, obtê-se os resultados ostrados na Tabela II.. Portanto, para ua tolerância ε ε,, a solução do Subsistea é dada por: P,96 pu e o θ,8 rad,6, eso valor obtido na solução do Exeplo I.. Na Tabela II. é iportante observar os valores obtidos nas subatrizes que constitue o Jacobiano. Enquanto os eleentos das subatrizes H e L possue aior valor absoluto e apresenta variações pequenas ao longo do processo iterativo, os eleentos das subatrizes N e M possue enor valor absoluto e varia de fora significativa. Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 8 de 7

19 Modelage e Análise de Sisteas Elétricos e Regie Peranente Solução Exeplo II.9 (continuação: Tabela II. Resultados parciais do processo iterativo fluxo de carga Newton. θ,76,95,8,96 P ( x ( x,8 9,9,99,,99 9, 9 [ J ( x ] [ ( x ] θ J,,,76,,,8,8 9,7,6,69,7,,6,6555 9, 5,95,,59,, Os resultados ostrados na Tabela II., fora obtidos executando-se a seguinte rotina e MATLAB. % disponivel e: clear all; saidafopen('saida.txt','w'; p-.8; q-.; v; t; v; t; x[t; v]; G.99; G-.99; G-.99; G.99; B-9.9; B9.9; B9.9; B-9.9; for :5, dpp-v*(v*(g*cos(t+b*sin(t+g*v; dqq-v*(v*(g*sin(t-b*cos(t-b*v; gx[dp; dq]; hv*v*(-g*sin(t+b*cos(t; n*v*g+v*(g*cos(t+b*sin(t; v*v*(g*cos(t+b*sin(t; l-*v*b+v*(g*sin(t-b*cos(t; Jac-[h n l]; Jac-inv(Jac; dxjac*gx; y[ x( gx( Jac(, Jac(, Jac(, Jac(, dx(]; fprintf(saida,'%.f %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f\n',y; y[x( gx( Jac(, Jac(, Jac(, Jac(, dx(]; fprintf(saida,' %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f %8.f\n\n',y; xx+dx; tx(; vx(; end pv*(v*(g*cos(-t+b*sin(-t+g*v; qv*(v*(g*sin(-t-b*cos(-t-b*v; y[p q]; fprintf(saida,'%8.f fclose(saida; %8.f',y; Por outro lado, o Subsistea corronde ao cálculo da injeção de potência na barra de referência: P ( G + B ( S ( G B P [ ( G + B + G ] ( S [ ( G B B ] Substituindo os valores conhecidos, chega-se a: P,889 pu ( S,89 pu Fluxo de carga não linear: algoritos básicos Sérgio Haffner ersão: /9/7 Página 9 de 7