Valter B. Dantas. Geometria das massas

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1 Valter B. Dantas eoetria das assas 6.- Centro de assa s forças infinitesiais, resultantes da atracção da terra, dos eleentos infinitesiais,, 3, etc., são dirigidas para o centro da terra, as por siplificação são sepre consideradas paralelas. Z Y d Y X d d Varignon. ara se obter a localização do ponto, centróide, utiliza-se o teorea de ( o oento e relação a u ponto O da resultante de várias forças concorrentes é igual à soa dos oentos das diversas forças e relação ao eso ponto O ). Os oentos de relativaente aos eios,, são iguais às soas dos oentos de cada força infinitesial, relativaente aos respectivos eios. M : M :.. * + * + * *

2 No liite e que o núero de eleentos tende para infinito, ou seja a diensão de cada eleento é uito pequena, a força total será dada por: corpo d a ) d b) corpo corpo d No caso de corpos lineares, (araes), será de realçar o facto de eventualente o centro de assa não se situar sobre o corpo. 6.- Centróide centro geoétrico No caso de u corpo hoogéneo co características geoétricas constantes, noeadaente ua placa co espessura constante, te-se que: ρ e co ρ a assa especifica do corpo, e a espessura e a área infinitesial. Soando todos os eleentos infinitesiais teos: substituindo a epressão e a) e b); ρe corpo d corpo d Válidas apenas para corpos co assa específica constante e espessura constante Se a placa for constituída por dois diferentes ateriais, então o centróide pode não coincidir co o centro de assa.

3 ara o caso de araes hoogéneos de secção transversal unifore, pode-se escrever; ρ a L e a é a área da secção e L copriento o eleento corpo dl L corpo dl L 6.3- Moentos de prieira orde (oentos estáticos) de superfícies e curvas O integral d é conhecido pelo oento de prieira orde da superfície e relação ao eio, e d e relação ao eio. Q d Q d Estes parâetros geoétricos serão considerados para o cálculo de tensões de corte e vigas (resistência do ateriais). 6.- Sietria aterial onto, eio ou plano, que é de sietria geoétrica e cujos partes geoetricaente siétricas tê assas específicas iguais.

4 6.5- Sietria geoétrica Eiste sietria geoétrica sse a u ponto corresponde u ponto tal que o segento seja ortogonal ao eleento espelho. Desta fora: - u corpo que possua sietria geoétrica terá o centróide no eleento espelho. - U corpo que possua sietria aterial terá o centro de assa no eleento espelho Corpos copostos Tendo u corpo copleo, é possível decopor o eso nu conjunto de corpos ais siples e que seja conhecida a localização do centróide e/ou centro de assa. ela aplicação do teorea de Varignon e decopondo u eio contínuo e vários: Eeplo: ii ii z z Deterinar a posição do centro de assa deste corpo, sabendo que:- a aba vertical é ua chapa etálica co assa específica de 5(kg/^), enquanto que o aterial da base possui ua assa específica de 0 (kg/^). O veio de copriento 50 (), possui ua assa específica de 7,83 (g/c^3). i i Solução:

5 Considerar corpo coposto por 5 coponentes: - placa sei-circular, - placa vertical, 3- placa triangular a retirar, - placa horizontal, 5- veio circular. or definição de centro de assa, (,, z ), onde 5 i i i Então, para cada corpo deve ser calculado: Corpo ρ Massa i() i() zi() i (N) 5(Kg/^) 0, ,0 0,963 5(Kg/^) 0, ,075 5,58 3 5(Kg/^) -0, ,00-0,90 0(Kg/^) 0,6 0 0,05-0,50 5, ,8(g/c^3),8 0 0,075 0,8 total 5,93 or eistir sietria aterial, X0 Y0,053 () Z-0,06 () Cálculo auiliar - centróide do sei-circulo. d r. Sin( Θ). r. dr. dθ. R π. R / 3π corpo corpo c 6.7- Moentos de inércia ou oentos de ª orde Caracteriza ou quantifica a resistência dos eleentos estruturais.

6 Âbito: Mecânica dos ateriais (Fleão de vigas,etc.) d O oento de inércia é dado por; d d [ L ] Moento polar de nércia Âbito: Mecânica dos ateriais (Torção de veios,etc.) O oento polar de inércia é obtido por; r d J o r d [ L ] O 6.8- Cálculo dos oentos de inércia por integração h b Y d h / d bd [ ] 3 hb L h / [ ] 3 bh L d

7 Relação entre os Moentos ( + ) d J o r d Raio de iração O raio de giração de ua área, relativaente ao eio, é definido coo a k distância k, e que k. O k k ko JO 6.0- Teorea de Steiner ou eios paralelos O teorea dos Eios aralelos deterina que o B d c B oento de inércia de ua área relativaente a u eio arbitrário é igual ao oento de inércia segundo o eio que passa no centróide da área (BB ) ais o produto da área pelo quadrado da distância entre eios. ' BB' + d Eercício: a a a Deterine os oentos de inércia segundos o eio e. a 0. a

8 Deterine os oentos de inércia segundos o eio e, que passa no centróide da secção. Deterine os oentos de inércia segundos o eio e, que passa no centróide da secção. i i i 6.- roduto de inércia O produto de inércia de ua superfície relativaente ao eios de coordenadas OXY, obté-se ultiplicando as coordenadas e pela superfície eleentar d integrando ao longo do seu doínio; d O significado fisico do produto de inércia relaciona-se co a distribuição geoétrica segundo os eios. Se u ou abos os eios são de sietria, o produto de inércia é nulo. Teorea dos eios paralelos: roduto de inércia Neste caso, o produto de inércia de ua superfície eleentar d relativaente ao sistea de eios Oé definido pela seguinte relação ' ' +

9 6.- Eios principais de inércia e oentos principais de inércia Considere u novo eio O que sofreu ua rotação de θ segundo z relativaente ao eio O. Recorrendo às relações geoétricas, pode-se definir os oentos de inércia e o produto de inércia relativaente ao novo sistea de eio, o qual toa a fora: Estas epressões corresponde às equações paraétricas dua circunferência centrada e éd. de raio R, que relaciona os oentos de inércia co os produtos de inércia relativaente a u fio que passa no ponto O. Este é designado de Círculo de Mohr para oentos e produtos de inércia. Considere a secção; pós a representação do criculo de Mohr os oentos principais de inércia e as direcções principais são obtidas por,

10 + a,in ± + tg ( θ ) figura representa ua secção recta de u eleento estrutural responsável pelo suporte de cargas. Tendo e consideração a geoetria representada, deterine: Os oentos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. Os produtos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. orientação dos eios principais de inércia da secção na orige. Os valores dos oentos principais de segunda orde da secção na orige. d d d d 3 (7.7) / (.50.7) (.7 / ) (.7 / ).7 (76/ ) d 3 d d a) Moento de inércia segundo o eio. + d 3.7 *(7.7) 6 + d + (.7 *(7.7))* *(.7) 6 + d + (76*.7)* Moento de inércia segundo o eio..5 0

11 + 3 (7.7) * d3 + (.7 * (7.7)) * (.7) * d + (76 *.7) * b) roduto de inércia * 5.35* (.7 * (7.7)) ( 8.95) * ( 38.5) * (76 *.7) c) Direcção principal de inércia ed tg(θ ) ( ) ( ) θ 39.3 ed θ 9.56º d) Moentos principais de inércia R a in + ed ed Eercícios: ( ed ) R R 0. 0 figura representa ua secção recta de u eleento estrutural responsável pelo suporte de cargas. Tendo e consideração a geoetria representada, deterine: a) Os oentos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. b) Os produtos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. c) orientação dos eios principais de inércia da secção na orige. d) Os valores dos oentos principais de segunda orde da secção na orige.

12 figura representa ua secção recta de u eleento estrutural responsável pelo suporte de cargas. Tendo e consideração a geoetria representada, deterine: e) Os oentos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. f) Os produtos de inércia, relativaente aos eios 0X e 0Y. g) orientação dos eios principais de inércia da secção na orige. h) Os valores dos oentos principais de segunda orde da secção na orige Moentos de nércia de Massas Considere-se u corpo de assa total M e rotação e torno de u eio iaginário. O corpo pode ser considerado coo forado por u conjunto de pequenas partículas de assa situadas à distância r do eio de rotação. O produto da assa de cada partícula pela quadrado da distância ao eio é designado de oento de inércia da assa. r d O raio de giração é definido por: k Os oentos de inércia relativaente aos eios coordenados são; z ( ( ( + z + z + ) d ) d ) d O teorea dos Eios paralelos tabé é aplicável a oentos de inércia de assa; + d Os oentos de inércia de placas finas pode ser obtidos pelos oentos de inércia das suas áreas:

13 CC a + BB BB ( + b ) a b BB r CC + BB r Os produtos de inércia são: d z z d z z d

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