INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

2 Eenta Noções Básicas sobre Erros Zeros Reais de Funções Reais Resolução de Sisteas Lineares Introdução à Resolução de Sisteas Não-Lineares Interpolação Ajuste de funções Integração Nuérica

3 Introdução Corrente (i) Resistência (R) Circuito elétrico Lei de Kirchoff V = ir Tensão (V) Corrente (i) Resistência (R) Circuito elétrico Diodo V Ri kt q i ln + 1 = I s 0 Tensão (V) precisaos resolver ou encontrar o zero da função 3

4 Introdução Assi, vaos iniciar o estudo de étodos nuéricos que nos peritirão resolver probleas coo o citado anteriorente 4

5 Zeros ou Raízes de Funções Dada ua função f(x), dizeos que α é raiz, ou zero de f se e soente f(α)=0. Graficaente, os zeros de ua função corresponde ao ponto x e que a função intercepta o eixo do gráfico. 5

6 Zeros ou Raízes de Funções A função g(x) acia te 5 raízes no intervalo [a,b]: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. As raízes de ua função pode ser encontradas analiticaente, ou seja, resolvendo a equação f(x)=0 de aneira exata. 6

7 Exeplos Vejaos os seguintes exeplos: a) b) c) Podeos se grandes dificuldades deterinar os zeros das funções acia 7

8 Exeplos Poré, ne sepre é possível encontrar analiticaente a raiz de ua função, coo nos casos abaixo: a) b) c) Nestes casos precisaos de u étodo nuérico para encontrar ua estiativa para a raiz da função estudada 8

9 Métodos Nuéricos para Deterinação de Zeros de Funções Coo obter raízes reais de ua equação qualquer? A idéia central destes étodos é partir de ua aproxiação inicial para a raiz e e seguida refinar essa aproxiação através de u processo iterativo. Por isso, os étodos consta de duas fases: FASE I: Isolar cada zero que se deseja deterinar da função f e u intervalo [a,b], sendo que cada intervalo deverá conter u e soente u zero da função f. FASE II: Calcular a raiz aproxiada através de u processo iterativo até a precisão desejada. 9

10 Processo Iterativos Existe u grande núero de étodos nuéricos que são processos iterativos. Estes processos se caracteriza pela repetição de ua deterinada operação. A idéia nesse tipo de processo é repetir u deterinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração u resultado ais preciso que aquele obtido na iteração anterior. Cabe ressaltar que a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior coo parâetro de entrada para o cálculo seguinte. 10

11 Processo Iterativos Existe diversos aspectos couns a qualquer processo iterativo: Estiativa inicial: Para iniciar u processo iterativo, é preciso ter ua estiativa inicial do resultado do problea. Essa estiativa pode ser conseguida de diferentes foras (depende do problea). Convergência: Para obteros u resultado próxio do resultado real esperado, é preciso que a cada passo ou iteração, nosso resultado esteja ais próxio daquele esperado. Critério de Parada: Obviaente não podeos repetir u processo nuérico infinitaente. É preciso pará-lo e u deterinado instante. O critério adotado para parar as iterações de u processo nuérico é chaado de critério de parada (depende do problea e da precisão que desejaos para obter a solução). 11

12 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função Dada ua função f : R R deliitar os zeros de f significa deterinar intervalos [a, b] que contenha os zeros de f. Sendo que cada intervalo deverá conter u e soente u zero da função f. Existe dois étodos para resolver este problea: 1) Método Gráfico 2) Método Analítico 12

13 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função 1) Método Gráfico: Coo já foi observado, deterinar os zeros de f é equivalente a deterinar as raízes da equação f(x) = 0. Tendo coo base esta observação o étodo gráfico consiste e : Escrever f coo a diferença de funções g e h ou seja f = g h onde possaos se uito esforço esboçar os gráficos das funções g e h; Usar f(x) = 0 g(x) = h(x); Esboçar, da elhor aneira possível, os gráficos de g e h e deterinar por inspeção os intervalos onde estão os pontos de interseção de g(x) e h(x) ou seja os pontos x onde g ( x) = h( x). 13

14 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função Vejaos os seguintes exeplos: a) 14

15 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função 15

16 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função 16

17 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função 17

18 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função b) 18

19 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função c) 19

20 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função 1) Método Analítico: Este étodo é baseado no seguinte teorea, Teorea de Bolzano: Seja ua função f(x) contínua e u intervalo [a,b], tal que, f(a).f(b)<0. Então a função f(x) possui pelo enos ua raiz no intervalo [a,b]. O teorea assegura que se f troca de sinal nos pontos a e b então f te pelo enos u zero entre estes pontos 20

21 FASE I: Deliitação dos Zeros de ua Função Vejaos o seguinte exeplo: Exeplo 1: Seja a função f(x)=x ln(x) 3,2. Podeos calcular o valor de f(x) para valores arbitrários de x, coo ostrado na tabela abaixo: Pelo teorea de Bolzano, concluíos que existe pelo enos ua raiz real no intervalo [2,3]. 21

22 Exeplo 2: Isolar as raízes positivas da equação: f x = x 5 + 6x 4 14x x x 180 = 0. Sabendo-se que elas são e núeros de três e estão situadas no intervalo (0, 7). 22

23 FASE II: Refinaento Estudareos vários étodos nuéricos de refinaento de raiz. A fora coo se efetua o refinaento é que diferença os étodos. Todos eles pertence à classe dos étodos iterativos. Os étodos iterativos para refinaento da aproxiação inicial para a raiz exata pode ser colocados nu diagraa de fluxo. 23

24 FASE II: Refinaento Início Dados iniciais Cálculos iniciais K=1 está próxia o suficiente da raiz exata? s Cálculos finais Cálculos interediários fi K=K+1 24

25 Critérios de Parada Existe duas interpretações para raiz aproxiada que ne sepre leva ao eso resultado. x i) ii) é raiz aproxiada x ou f ( x) co precisão se: Coo efetuar o teste i) se não conheceos? Ua fora é reduzir o intervalo que conté a raiz a cada iteração. Ao se conseguir u intervalo [a,b] tal que: [ a, b] e b a 25

26 Métodos de Refinaento (Iterativos) Método da Bissecção; Método do Ponto Fixo (MPF); Método de Newton-Raphson; Método da Secante. 26

27 Método da Bissecção

28 Método da Bissecção O processo consiste e dividir o intervalo que conté o zero ao eio e por aplicação do Teorea de Bolzano, aplicado aos subintervalos resultantes, deterinar qual deles conté o zero. O processo é repetido para o novo subintervalo até que se obtenha ua precisão prefixada. Desta fora, e cada iteração o zero da função é aproxiado pelo ponto édio de cada subintervalo que a conté. Este étodo é noralente utilizado para diinuir o intervalo que conté o zero da função, para a aplicação de outro étodo, pois o esforço coputacional cresce deasiadaente quando se auenta a precisão exigida. 28

29 29 Método da Bissecção Iteração 1: 2 1 b a + = 0 ) ( ) ( ], [ 0 ) ( ) ( ], [ a f f b f a f a = fixo a 1

30 30 Método da Bissecção Iteração 2: a + = 0 ) ( ) ( ], [ 0 ) ( ) ( ], [ f f f a f a = fixo 2 1

31 31 Método da Bissecção Iteração 3: = 0 ) ( ) ( ], [ 0 ) ( ) ( ], [ f f f f = fixo 3 1

32 Método da Bissecção Continua até: i j 32

33 Coo Deterinar o Núero de Iterações Coo e cada passo, dividios o intervalo por 2, teos: 33

34 Coo Deterinar o Núero de Iterações Se o problea exige que o erro coetido seja inferior a u parâetro, deterina-se a quantidade n de iterações encontrando o aior inteiro que satisfaz a inequação: Isto pode-se resolver coo: b a n 2 ln ( b a) b a ln n 2 nln2 ln n ln ln ln ( b a) ( b a) ln2 ln ln2 n ln 34

35 Método da Bissecção (ALGORITMO) Seja f(x) contínua e [a,b] e tal que f(a).f(b)<0. 1) Dados Iniciais: a) Intervalo inicial [a,b] b) Precisão 2) Se (b-a) <, então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM 3) K=1 4) M=f(a) 5) x= (a+b)/2 6) Se M.f(x)>0, faça a=x. Vá para o passo 8. 7) b=x 8) Se (b-a) <, então escolha para x qualquer x [a,b]. FIM 9) K=k+1. Volte para o passo 5. 35

36 Exeplo 1: Deterine ua aproxiação para 3 co erro inferior a

37 Exeplo 1: Deterine ua aproxiação para 3 co erro inferior a

38 Exeplo 2: Dada a equação f x = x 5 2x 4 7x 3 + 9x 2 + 8x 6 = 0, pede-se: (a) Isolar as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos (-4, 0) e (0, 8), respectivaente. (b) Considerar o intervalo que conté a enor raiz positiva e estiar o núero, k, de iterações necessário para calculá-la utilizando o étodo da bisseção co precisão 0,040. (c) Utilizando o étodo da bisseção, calcular a sua enor raiz positiva co precisão 0,040e u áxio de (k+ 1) iterações. 38

39 Exeplo 2: As figuras a seguir ostra u recipiente na fora de u cilindro circular reto que deve ser construído para conter 1000c³. O fundo e a tapa, confore é ostrado na figura 4.2.a, deve ter u raio 0,25c aior que o raio do cilindro, de odo que o excesso possa ser utilizado para forar u lacre co a lateral. A chapa do aterial usado para confeccionar a lateral do recipiente, coo apresentado na figura 4.2.b, deve ser, tabé, 0,25c aior para que o lacre possa ser forado. Utilizar o étodo da Bisseção, co precisão 0.040, áxio de 10 iterações e nu intervalo de [0, 7], para deterinar a quantidade ínia de aterial a ser utilizada para construir o recipiente. 39

40 Exercícios 40