Álgebra Linear I - Aula 1. Roteiro

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1 Álgebra Linear I - Aula 1 1. Resolução de Sisteas Lineares. 2. Métodos de substituição e escalonaento. 3. Coordenadas e R 2 e R 3. Roteiro 1 Resolução de Sisteas Lineares Ua equação linear é ua equação onde todas as incógnitas (que denotareos por x 1,x 2,...,x n, ou siplesente por x,y,z quando há apenas três ou enos incógnitas) que aparece tê todas grau igual a u. Por exeplo: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b é ua equação linear co n incógnitas. Por exeplo x 2 + y = 5 e xy = 3 não são equações lineares. Ua solução da equação anterior é qualquer conjunto ordenado (l 1,l 2,...,l n ) de n núeros tal que a 1 l 1 + a 2 l a n l n = b. E geral (eliinando os casos triviais, quais?) ua equação linear te sepre solução. Por exeplo, se supoos que a 1 0 teos que (b/a 1, 0,...,0) é ua solução da equação. Analogaente, se supoos que a 2 0 teos que (0,b/a 2, 0,...,0) tabé é ua solução. Poré, e geral há soluções ais coplicadas. Por exeplo, se consideraos a equação x + y = 1 é siples verificar que as soluções são da fora (t, 1 t), onde t R. Usando o étodo anterior, obteriaos (apenas) as soluções (1, 0) e (0, 1). 1

2 U sistea linear de equações co n incógnitas é u conjunto de equações lineares co as esas n incógnitas x 1,x 2,...x n. Ua diferença iportante entre os sisteas e as equações lineares é que (novaente eliinando os casos triviais) os prieiros ne sepre tê solução. Por exeplo, as duas equações lineares x = 1 e x = 2 tê solução. Poré o sistea linear de duas equações x = 1, x = 2 não te solução. Ao longo do curso (e nesta aula) vereos casos ais interessantes de sisteas lineares se solução. O objetivo desta aula é relebrar coo resolver sisteas lineares de fora siples. Existe dois tipos de sisteas lineares, os que não adite solução (ipossíveis) e os que adite solução. Estes últios se subdivide e deterinados (a solução é única) e indeterinados (existe infinitas soluções). Vejaos alguns exeplos: Ipossível: x + y = 1, x + y = 2. Co solução única (deterinado): x + y = 1, x y = 1. Co infinitas soluções (indeterinado): x + y = 1, 2x + 2y = 2. Mostrareos dois étodos de resolução de sisteas: étodo de substituição e de escalonaento ou de eliinação gaussiana. Observaos que no caso e que o sistea não te solução estes étodos fornece esta inforação. 1.1 Método de substituição Neste étodo isolaos ua das variáveis e a escreveos e função das outras. Exeplo 1. Resolva o sistea x + y = 2, x y = 1. 2

3 Resposta: Da prieira equação teos, x = 2 y. Substituindo o valor de x na segunda equação, 2 y y = 1, logo y = 1/2. Portanto, x = 3/2. Neste exeplo, teos u sistea (co solução) deterinado (única). Lebre sepre de verificar que o resultado está certo! Exeplo 2. Resolva o sistea linear de duas equaçẽs x + y = 2, 2x + 2y = 4. Resposta: Da prieira equação obteos x = 2 y. Substituindo o valor de x na segunda equação, 4 2y + 2y = 4, 4 = 4. Isto é, a segunda equação não ipõe nenhua condição nova (de fato, é obtida ultiplicando a prieira por 2 (!)). As soluções do sistea são da fora x = 2 y, (2 y,y), onde y pode ser qualquer valor de R. Isto é as soluções do sistea deterina ua reta no plano R 2. Logo o sistea adite infinitas soluções (indeterinado). Para verificar que a solução está correta substituios nas equações: (2 y) + y = 2, 2 = 2, 2(2 y) + 2y = 4, 4 2y + 2y = 4, 4 = 4. A resolução do exeplo agora está copleta. Exeplo 3. Resolva o sistea linear x + y = 2, x + y = 3. Resposta: Da prieira equação teos x = 2 y. Substituindo na segunda, 2 y + y = 3, isto é, 2 = 3(!), o que é absurdo. Portanto, o sistea não adite solução (ipossível). 3

4 Exeplo 4. Resolva o sistea linear Resposta: prieira, x + y + z = 1, x y = 2. Da segunda equação, teos x = 2 + y, e substituindo na Portanto, as soluções são da fora 2 + 2y + z = 1, z = 1 2y. (2 + t,t, 1 2t), t R. Observe que estaos escolhendo y = t coo parâetro. Logo, para cada valor de t, obteos ua solução. As soluções fora ua reta. Verifiqueos que a resposta é correta: Substituindo nas equações: x + y + z = (2 + t) + t + ( 1 2t) = 1, x y = (2 + t) t = 2. Observaos que poderiaos ter escolhido outra variável coo parâetro. Por exeplo, escolhendo x coo parâetro, teos, x = t, y = x 2 = 2+t e z = 1 x y = 3 2t. Observe que não é possível escolher a variável z coo parâetro (tente!, justifique!). Exeplo 5. Deterine k para que o sistea o linear x + y = 1, 2x + 2y = k tenha solução. Estude se e tal caso o sistea é deterinado ou indeterinado. Resposta: Da prieira equação obteos x = 1 y. Substituindo na segunda, 2 2y + 2y = k, logo k = 2. O sistea te infinitas soluções (indeterinado): todo ponto da fora (1 t,t), t R é solução. Verifique sua resposta. 4

5 1.2 Método de escalonaento Este étodo consiste e, dado u sistea linear, encontrar outro sistea linear equivalente (co as esas soluções) tal que no novo sistea na segunda equação apareça (no ínio) ua incógnita a enos que na prieira, e assi sucessivaente. Desta fora, isolareos ua variável e a partir desta, obtereos sucessivaente as outras. Por exeplo o sisteas e x + y = 4, 2x + 3y = 11 x + y = 4, y = 3 são equivalentes (a única solução dos sisteas é x = 1 e y = 3, confira). Mas é uito ais siples resolver os segundo: já conheceos o valor de y. De fato, o segundo sistea já está e fora de escada. Vejaos o étodo de escalonaento co u exeplo, considere o sistea x + y + z = 2, 2x y + z = 5, x 2y + 3z = 9. E prieiro lugar, eliinareos a variável x das segunda e terceira equações. Para isto, efetuaos as seguintes operações: substituios a segunda equação pela segunda equação enos duas vezes a prieira equação, e substituios a terceira equação pela terceira equação enos a prieira. Assi obteos, x + y + z = 2, 3y z = 1, 3y + 2z = 7. Este sistea linear é equivalente ao prieiro (isto é, te as esas soluções). Para eliinar a variável y da terceira equação, considerareos a terceira enos a segunda, obtendo x + y + z = 2, 3y z = 1, +3z = 6. Portanto, z = 2. Da segunda equação, teos, y = 1 e finalente x = 1. Portanto, o sistea te solução única (deterinado). Verifique que a solução achada é correta. 5

6 Exeplo 6. Resolva o sistea linear de três equações x + y + z = 0, 2x + y = 4, x z = 4. Resposta: Eliinareos a variável x da segunda e da terceira equações. Para isto, subtraireos da segunda equação duas vezes a prieira e da terceira a prieira. Obteos, x + y + z = 0, y 2z = 4, y 2z = 4. Veos que as duas últias equações estão repetidas. Podeos supriir ua delas e obteos o sistea de duas equações nas três variáveis x + y + z = 0, y + 2z = 4. Isto significa que no sistea inicial ua das equações não fornece inforação algua: a terceira equação é a segunda equação enos a prieira. Neste ponto já não é possível fazer ais eliinações. Escolheos z coo parâetro e escreveos as outras variáveis e função de z = t R. Teos, y = 4 2t, x = y z = 4 + 2t t = 4 + t. Logo, a solução é da fora: (4 + t, 4 2t,t), t R. Portanto, o sistea é indeterinado (existe infinitas soluções). Exeplo 7. Resolva o sistea linear, x + y + z = 1, x y z = 2, 3x + y + z = 10. Resposta: Eliinareos x da segunda e da terceira equações (segunda enos prieira e terceira enos três vezes a prieira). Obteos, x + y + z = 1, 2y 2z = 1, 2y 2z = 7. Ao eliinar y da terceira equação teos, 0 = 6, o que é ipossível, logo o sistea é ipossível e por isso não adite solução. 6

7 k x = (,k) y = k Figure 1: Retas paralelas aos eixos Z z = Z y = Z Figure 2: Planos paralelos aos eixos 2 Coordenadas e R 2 e R 3 E prieiro lugar lebraos o significado geoétrico das equações x = k, y = k (e R 2 e R 3 ) e z = k (e R 3 ). Equações das retas e planos paralelos aos planos e os eixos coordenados. Exeplo 8. Seja P u paralelepípedo co faces paralelas aos planos coordenados. Sabendo que A = (1, 1, 1) e B = (3, 4, 5) são dois vértices deterine os outros 6. Resposta: (1, 1, 5), (1, 4, 1), (1, 4, 5), (3, 4, 1), (3, 1, 1) e (3, 1, 5). 7