TRABALHO E ENERGIA. x =

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1 Trabalho e energia TRABALHO E ENERGIA Trabalho e energia cinética O conceito de energia é u dos ais iportantes e Física. De ua fora geral, dizeos que u corpo conté ua deterinada quantidade de energia quando ele te capacidade de eercer força e realizar trabalho sobre u segundo corpo. Para estabeleceros o conceito de energia, vaos inicialente definir trabalho e ua diensão coo: W F ( ) d que nada ais é do que a área da curva F () entre os pontos e. Esta força é a força total agindo sobre o corpo, isto é, ( ) F ( ) F N i i Veos que só há realização de trabalho quando a força e o deslocaento fore não nulos. Podeos ainda definir u trabalho infinitesial coo sendo: dw F ( ) d onde d é u deslocaento infinitesial no qual F () pode ser considerada constante. A unidade de trabalho é N. J ou dn.c erg (J 7 erg). A partir da definição de trabalho dada acia, podeos usar a a Lei de Newton para definir o que é energia cinética. W Fd dv d dv d d d

2 86 Trabalho e energia W v dv d d A quantidade K ( v ) d d d v ( ) v ( ) v p / é denoinada de energia cinética. O resultado ostrado acia, chaado de teorea do trabalho-energia, estabelece que o trabalho realizado por u sistea de forças é igual à variação da energia cinética do corpo no intervalo considerado. Mateaticaente, W K( ) - K( ) Eeplo: Vaos considerar u corpo ovendo-se sobre u plano co coeficiente atrito dinâico µ. Quereos deterinar, usando trabalho e energia, qual é a variação da velocidade do corpo co a distância e qual é a distância percorrida até ele parar. A condição inicial para este eeplo é que na orige ( ) a velocidade é v. A força agindo sobre o corpo é F at - µn - µmg de fora que o trabalho é W -µmg. Quando o trabalho é negativo significa que estaos retirando energia cinética do corpo. Pelo teorea trabalho-energia, teos: de onde encontraos: W µ Mg v Mv ( ) v g µ A posição para a qual o corpo pára é dada pela condição v(), isto v / g. é, ( ) µ Mv O enfoque que deos ao trabalho até este ponto foi baseado no caso unidiensional. Podeos generalizar a definição de trabalho para o caso tridiensional esqueatizado na Fig. 5. coo: S r r W F.ds K S K S S ( ) ( )

3 Trabalho e energia 87 S S r d s r Fig Realização de trabalho para o caso tri-diensional. e desta fora, apenas a coponente da força paralela ao deslocaento realiza trabalho. Lebrando da definição de produto escalar, podeos escrever: W F d + Fd + z z F dz de fora que o trabalho e três diensões pode ser entendido coo a sorna dos trabalhos e cada diensão. Este fato está de acordo co o princípio de Galileu da independência os ovientos que vios no Cap. 3. Coo o r produto F.d s r pode variar ao longo do cainho de integração, o cálculo de W pode uitas vezes ser coplicado. Coo eeplo deste tipo de cálculo, vaos toar o caso de u corpo descendo u plano inclinado se atrito e partindo do repouso, coo ostrado na Fig. 5.. z Mg N Mg senθ θ s Fig Corpo descendo u plano inclinado se atrito. Caso : Coo prieira aneira de resolver este problea vaos considerar u eio s paraleo ao plano e, conseqüenteente, tabé paralelo à coponente de força g senθ que realiza trabalho. As coponentes N e g

4 88 Trabalho e energia cosθ são perpendiculares ao deslocaento e, portanto, não realiza trabalho. Teos: W S gsenθ ds gsenθ s v v v gs senθ Caso : Podeos ainda escolher o sistea de coordenadas cartesianas tabé ostrado na Fig. 5.. Usando N g cosθ, as equações neste caso fica: F N senθ g senθ cosθ F N cosθ - g g (cos θ - ) - g sen θ e assi podeos calcular o trabalho nas duas direções: W F d g sen θcosθ v W F d gsen θ v de onde tiraos: v v + v g sen θ ( cosθ + sen θ). Coo s cosθ e -s senθ, teos: v gs senθ (cos θ + sen θ) e portanto, v gssen θ, que concorda co o resultado obtido anteriorente. Caso 3: Ua terceira aneira de se calcular o trabalho realizado sobre u corpo é através da paraetrização da trajetória, que se traduz no conheciento de (). Neste caso, de acordo co a Fig. 5.3, ds d + d d d + d S S ( ) d W F + S Sds F S S d d

5 Trabalho e energia 89 d s r d d trajetória Fig Paraetrização de ua trajetória S. No eeplo do plano inclinado que estaos tratando, d tgθ tgθ d d + + tg θ secθ d cosθ z F gsen W g ( sen s θ θ )d cosθ W g sen θ cosθ v Coo s cosθ v gssen θ, coo já havíaos encontrado. Resuindo, vios três aneiras de se calcular W. No caso ), escolheos ua coordenada natural para o problea e a solução foi siples. No caso ), escolheos coordenadas cartesianas e a solução já foi ais coplicada. No caso 3), a trajetória foi paraetrizada por (), as este étodo só é conveniente quando a trajetória for coplicada, coo por eeplo, 3 /3, etc. S S Ua outra situação que considerareos a seguir é a de u corpo vinculado a over-se sobre u cilindro se atrito e que é solto de u ângulo θ co velocidade nula, coo indica a Fig Ua análise rápida das forças agindo sobre o corpo indica que apenas a coponente tangencial g cosθ é capaz de realizar trabalho. N e g senθ são perpendiculares à trajetória. Neste

6 9 Trabalho e energia problea, a coordenada natural é o ângulo θ. Veos que: F S g cosθ e ds - Rdθ, já que s e θ auenta e sentidos opostos. Assi, R θ S M Mg cosθ Fig Corpo vinculado a over-se sobre u cilindro se atrito. W θ θ gcosθ Rdθ gr(sen θ sen θ ) W K v gr ( sen θ sen θ) ( θ) gr( sen θ sen θ) v 5. Potência Quando u agente eterno realiza trabalho sobre u corpo, podeos definir potência coo sendo a taa teporal de energia que ele é capaz de r r fornecer ao corpo. Assi, no caso de ua força constante, dw F.d s e r r P dw / F. ds r r F.v. A unidade de potência é energia/tepo: P J / s Watt W. [ ] ( ) 5.3 Energia potencial Ne sepre o trabalho realizado sobre u corpo por u agente eterno é convertido totalente e energia cinética. Muitas vezes o trabalho dá orige a u outro tipo de energia, chaada energia potencial. Analogaente à energia cinética, u corpo co energia potencial te a

7 Trabalho e energia 9 capacidade de realizar trabalho. E geral, nesta situação eiste u agente eterno realizando trabalho sobre o sistea de interesse. Através da realização deste trabalho, o agente eterno transfere energia para o sistea, que a arazena de algua fora. Quando o agente eterno é retirado, o sistea libera a energia arazenada (energia potencial) através da realização de trabalho e converte esta energia e energia cinética. Dentre os vários tipos de energia potencial, os ais couns são a gravitacional, elástica (ola) e elétrica (Coulobiano). Coo eeplo de energia potencial gravitacional, vaos considerar u corpo que se desloca ua altura h h h. Para isto é necessário u agente eterno trabalhando contra a força peso, coo indicado na Fig Neste caso, F et g e o trabalho realizado é: W et F et h g h U U onde U gh é definido coo energia potencial gravitacional. O trabalho feito pela força peso é W p g h ( U U ) Se soltaros o corpo, a energia potencial U g h se transforará e energia cinética. Na verdade, o que fazeos é dar condições para a força peso realizar trabalho: W g h v v g h h F et h g h Fig Corpo sob a ação da força gravitacional.

8 9 Trabalho e energia 5.4 Forças conservativas Coo vios na secção anterior, a energia potencial está associada à eistência de ua força à qual deos condições de realizar trabalho. Coo eeplo, teos a força gravitacional, força eletrostática e força elástica (de ola). Estas forças são denoinadas conservativas. Quando as forças conservativas são as únicas eistentes no sistea, a soa das energias cinética e potencial (chaada de energia ecânica total) peranece constante. Se ua força é conservativa, o trabalho total realizado sobre u corpo é nulo do ele efetua ua trajetória fechada e retorna à posição inicial. Isto quer dizer na trajetória fechada a força conservativa não retira e ne cede energia ao sistea. Mateaticaente, F r.ds r Iagineos que u corpo está indo do ponto S ao ponto S pela trajetória C, sob ação de ua força conservativa, coo ostra a Fig Ao atingir S, o corpo retorna ao ponto inicial S pelo cainho C. C S S C Fig Trajetória fechada seguida pelo corpo sob a ação de força conservativa. Nestas condições teos: r r r r F.ds F.ds + r r F.ds C C C C r r F.ds r r F.ds

9 Trabalho e energia 93 Por outro lado, se inverteros o sentido de percurso do cainho C, a integral uda de sinal e assi, r r F.ds C C r r F.ds Conseqüenteente, concluíos que o trabalho realizado por ua força conservativa independe do cainho que conecta os pontos e. Ele só depende da posição dos pontos inicial e final do oviento, o que torna lógico associar-se ua energia potencial a cada ponto do percurso. Lebrando-e do caso da força peso, r r W F.ds ( U U ) U r r e para u deslocaento infinitesial, dw F.d s. As energias potenciais ais couns são: r r r a) gravitacional (próio à superfície da Terra): F gŷ, ds d U U Portanto, U() g + C r r r b) Elástica (de ua ola): F k ˆ, ds d U ( g) d g g ( ) U( ) k d ( ) U( ) k + C r c) Eletrostática: F α rˆ r e r rˆ.ds r U( r ) ( ) U r α dr U( r) α α + C r r r r r dr

10 94 Trabalho e energia 5.5 Deterinação da força a partir da energia potencial Corno vios anteriorente, à toda força conservativa está associada ua energia potencial. Muitas vezes conheceos a energia do sistea e a partir dela quereos encontrar a força e o oviento do corpo. Considerando apenas o caso unidiensional, du F d F du d ou seja, o conheciento da energia potencial perite o cálculo da força que age sobre o corpo. No caso de forças radiais, é fácil verificar que: F r du dr O uso desta epressão é iportante quando quereos deterinar as posições de equilíbrio de u corpo. Considereos, por eeplo, a energia potencial de ua ola, que coo vios, é dada por: U() ½ k. Neste caso, F() -k. Veos que no ponto, du/d e assi F() e assi esta é ua posição de equilíbrio. Neste caso, o equilíbrio é estável, pois quando o corpo se afasta da orige a ola eerce ua força restauradora no entido de trazê-lo de volta. Por outro lado, se consideraros u potencial do tipo: U() C + a coo ostra a Fig. 5.7, a força será dada por: F C ( + a ) Neste caso tabé teos du /d e, poré agora o equilíbrio é instável pois quando o corpo se afastar da orige, tereos ua força positiva que o obriga a se afastar ainda ais. Note que:

11 Trabalho e energia 95 d U d C < 4 a De u odo geral, dado U(), tereos equilíbrio se U ( ). O equilíbrio será estável se U ( ) > e instável se U ( ) <, onde é o ponto de equilíbrio. U() Fig. 5.7 Potencial co ponto de equilíbrio instável. 5.6 Forças dissipativas Alé das forças conservativas teos ainda as chaadas forças dissipativas, que ao contrário das prieiras, reove energia do sistea, transforando-as e outras foras de energia, coo por eeplo, calor. Na presença de forças dissipativas, o trabalho realizado por estas forças é igual à variação da energia ecânica total do sistea. Toeos por eeplo, o caso do atrito. Lançando-se u corpo de assa co velocidade v sobre a esa co atrito µ, o trabalho realizado pela força de atrito é: W µ g v v onde é a distância percorrida pelo corpo e a diferença de energia é dissipada na fora de calor.

12 96 Trabalho e energia 5.7 Conservação de energia Até agora vios que u sistea ecânico pode apresentar dois tipos de energia potencial, do tipo: e a cinética: r U(r) K v r r r F(r).dr + C A soa dessas energias é denoinada energia ecânica total do sistea nu deterinado ponto E ec U + K Na ausência de forças dissipativas esta quantidade é ua constante de oviento, isto é, de ec Coo eeplo, vaos considerar o sistea assa-ola na ausência de forças dissipativas. A energia ecânica é dada por: Coo dv/ E ec v k e d / v, teos: + k de ec vk + vk No caso de haver forças dissipativas, de E ec Wfd P onde P é a energia dissipada. No caso do problea co atrito que resolveos na secção anterior teos:

13 Trabalho e energia 97 a µ g v ( ) v g µ E de ec ec v µ gv v µ g ( ) µ g v µ g 5.8. U gráfico desta potência coo função de está ostrado na Fig. P µ gv Fig Potência coo função da posição. O uso da lei de conservação de energia é uito iportante porque quase sepre perite a resolução de probleas se a necessidade de se resolver a equação de oviento. Vaos a seguir apresentar alguns eeplos que utiliza o princípio da conservação de energia. a) Pêndulo siples Este problea já foi resolvido através da a Lei de Newton, de onde v θ Lg cosθ cos θ. Vaos obter este eso resultado obtiveos ( ) ( ) usando conservação de energia. O pêndulo é solto co v na posição θ, coo indica a Fig Escolhendo a posição do teto coo U, teos E E ( θ ) gl cosθ ( θ) gl cosθ + v v µ g

14 98 Trabalho e energia E ( θ ) E( θ ) gl cosθ gl cosθ + v de onde tiraos que v ( ) Lg( cosθ cos θ ) θ. U θ L M Fig Pêndulo siples. b) Máquina de Atwood Este dispositivo, tabé já discutido co a a Lei de Newton está esqueatizado na Fig. 5.. Vaos supor que os corpos são soltos e e. A conservação da energia ecânica fornece: g + g g + g + v + v Derivando e relação ao tepo teos: gv + gv + v dv / + v dv /, onde a dv/ e a dv /. Coo a corda é inetensível, ar a r U Fig Máquina de Atwood.

15 Trabalho e energia 99 v onde sai que: v e a a, e portanto: ( ) gv + ( + ) av a, de ( ) ( + ) g para cia, pois é positiva e a a, para baio pois é negativa. c) Corpo preso nu aro por eio de ua ola Vaos considerar u corpo de assa preso a u aro se atrito através de ua ola constante k e copriento livre nulo. O corpo é solto do ponto ostrado na Fig. 5., co velocidade inicial nula. Quereos encontrar as velocidades nos pontos e. Usando conservação da energia ecânica teos: E ( ) k( R) + g( R) ( ) k( R) E E ( ) v + gr + v v Fazendo E() E() e E() E() obteos respectivaente: kr + gr kr + gr e v 4, e portanto, v v. k R U Fig Corpo preso nu aro por eio de ua ola.

16 Trabalho e d) Força viscosa Vaos ver u eeplo onde a energia não se conserva. Considereos u corpo lançado co velocidade v nu eio viscoso cuja força de atrito é F -bv. Neste caso não teos energia potencial, só energia cinética. No início do oviento, K v. Para u deslocaento infinitesial : dk d K K Coo K v teos bv dk ( v + v) K( v) dk dk d bv K v. Logo, b K Integrando entre e t teos: dk K l n K K bv dk v bv b b t, de onde sai que: K K ep{-bt/} e portanto, v v ep{-bt/}. Tirando a raiz obteos: v v ep{-bt/}, que coincide co o resultado obtido co a a lei de Newton. 5.8 Corpo sob a ação de u potencial arbitrário Quando u corpo ove-se nu potencial arbitrário conservativo, E v + U( é coo aquele ostrado na Fig. 5., a energia total ( ) ) ua constante de oviento. Nos pontos e, K, E U(, ) e, portanto, v. Estes pontos são chaados pontos de retorno. O oviento

17 Trabalho e energia só ocorre entre e, pois fora desta região U() > E e a energia cinética teria que ser negativa, o que iplicaria nua velocidade iaginária. Para encontraros a equação de oviento, fazeos: v d ( ) E U() d E U() de oviento. Integrando esta igualdade tereos (t), que representa a equação K U Fig Corpo ovendo-se nu potencial arbitrário. Eercícios - U corpo é acelerado uniforeente a partir do repouso até atingir a velocidade v f no tepo t f. Mostre que a potência instantânea fornecida ao corpo é: t t ( t) vf P - Considere o sistea da Fig. 5.3, onde a força F é constante e os planos tê coeficiente de atrito dinâico µ. Calcule o trabalho total realizado pelas forças agindo no sistea quando o eso desloca-se ua distância infinitesial. f

18 Trabalho e M F M θ Fig Considere o potencial de Lennard-Jones couente utilizado coo sendo a energia de interação entre dois átoos constituindo ua olécula: 6 [ ] U( r) C ( r r) ( r ) r a) Faça u gráfico de U(r) contra r, b) Mostre que o ínio de energia (posição de equilíbrio) ocorre e r, c) Ache a força entre os átoos coo função de r e d) Qual é a energia necessária para separar os átoos que constitue a olécula? 4 - U pêndulo de assa e copriento l é solto do ponto θ 6 o a partir do repouso, coo indicado na Fig Ao atingir a posição vertical θ o, o cordão do pêndulo encontra u prego colado a ua distância d do teto. Encontre a distância d ínia que a assa eecute rotação ao redor do prego. 5 - U corpo de assa ove-se no interior de u trilho circular vertical de raio R (Fig. 5.5). Quando está na posição ais baia sua velocidade é v. a) Qual é o ínio valor de v tal que o corpo percorra todo o trilho? b) Se v for 78% do valor deterinado e a), o corpo sobe pelo trilho até o ponto P, perderá contato co o trilho. Deterine a coordenada θ deste ponto. 6 - U corpo de assa M, sujeito a u potencial U() - cosπ, é solto na orige ( ) co velocidade v. a) Faça u esboço do potencial na região - ; b) Encontre a força F() agindo no corpo e c) Qual é a áia velocidade v que pode ser dada ao corpo de tal aneira que ele fique confinado na região -?

19 Trabalho e energia 3 P l θ θ R Prego v Fig. 5.4 Fig Ua assa escorrega se atrito ao longo da ontanha russa ostrada na Fig A parte circular te raio R e a assa parte do repouso no ponto B, à altura h edida e relação à base dos trilhos. a) Qual é a energia cinética de no ponto P? b) Qual é a aceleração de no ponto P, aditindo que a assa peraneça no trilho? c) Qual é o enor valor de h para que eecute o oviento circular? d) Para u valor h aior do que este ínio escreva a epressão da força noral eercida pelo trilho sobre a assa. 8 - U corpo de Kg é solto nu plano inclinado de u ponto que dista 4 de ua ola de constante de força k N/. A ola está fia paralelaente ao plano, inclinada de θ 3 (Fig. 5.7). a) Calcular a copressão áia da ola, aditindo que a sua assa seja desprezível; b) Calcular a copressão áia da ola, quando o plano inclinado te atrito (coeficiente de atrito entre ele e o corpo igual a,); c) No caso do plano co atrito, qual a altura atingida pelo corpo no seu retorno para cia? 9 - Dois corpos andando co esa velocidade v sobre u plano horizontal estão distanciados de d. Após subire ua ladeira de altura h, qual será a distância entre eles? (Fig. 5.8).

20 4 Trabalho e B P R 4 h k 3 o Fig. 5.6 Fig U bloco desliza co velocidade v sobre u plano horizontal se atrito. Subitaente ele encontra ua rapa co ângulo de inclinação θ e coeficiente de atrito dinâico µ. Qual altura áia H o bloco sobe na rapa? - U corpo de assa M é preso por ua corda de copriento L e pode rodar e torno do ponto O, coo indicado na Fig Qual é a ínia velocidade que o corpo pode ter ao passar pelo plano horizontal de fora que ele fique e oviento circular? d d h M v r L O Fig. 5.8 Fig U corpo colocado eataente na vertical de ua superfície cilíndrica se atrito, coeça a deslizar co velocidade v, confore ostra a Fig. 5.. (a) Encontre sua velocidade e função do ângulo θ. (b) Encontre a força noral coo função do ângulo θ. (c) Deterine o ângulo θ para o qual corpo se desprende do cilindro. 3 - U corpo de assa é preso a ua ola vertical, de constante de ola k, coo ostra a Fig. 5.. O corpo é solto a partir do repouso, da posição, sendo que nesta situação a ola não está distendida. a) Escreva a energia potencial coo função de (toe o zero de energia potencial

21 Trabalho e energia 5 gravitacional na posição onde a ola não está distendida). b) Coplete quadrados e faça u gráfico de U() contra, c) usando este gráfico, encontre a posição de equilíbrio do corpo, d) qual é o deslocaento áio realizado pelo corpo? e) qual é a velocidade áia atingida pelo corpo? v θ k R M Fig. 5. Fig U pêndulo siples de assa e copriento L encontra-se e repouso na vertical. Subitaente a assa recebe u ipulso instantâneo que lhe confere ua velocidade v, coo ostra a Fig. 5.. Encontre: a) a velocidade tangencial coo função do ângulo θ, b) a tensão na corda coo função do ângulo θ, c) a enor velocidade (v ) in que perite ao pêndulo realizar ua volta copleta e torno do pino O. 5 - U bloco de assa M desliza sobre ua esa co coeficiente de atrito cinético µ 3/4. Ele colide co ua ola de assa desprezível, de constante de ola k, inicialente na posição relaada, coo ostra a Fig Na hora que o bloco atinge a ola ele possui velocidade v Mg /k. a) encontre a energia cinética coo função da posição, b) coplete quadrados e faça u gráfico de E k (), c) qual a deforação áia da ola? d) que fração da energia inicial é dissipada pelo atrito neste processo?

22 6 Trabalho e O θ L v M v k v Fig. 5. Fig Considere u corpo de assa preso a u aro de raio R, se atrito, através de ua ola de constante k e copriento livre nulo, coo ostra a Fig O corpo é solto do ponto O co velocidade inicial nula. Toando o zero da energia potencial gravitacional coo ostrado na figura, encontre: a) a energia ecânica do sistea no ponto O, b) ua epressão para a energia ecânica no ponto P descrito pelo ângulo θ, c) a velocidade da assa no ponto P, d) a força de reação do trilho no ponto P, e e) o enor valor de k para que a assa peraneça e contato co o trilho. O R θ k P U Fig. 5.4