Física a Lista de Exercícios

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1 ísica - 9 a Lista de Exercícios 1. (Ex. 5 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) E u areador elétrico a lâina se ove para frente e para trás co u curso de,. O oviento é harônico siples, co frequência de 1 Hz.Deterine (a) a aplitude, () a velocidade áxia da lâina e (c) a aceleração áxia da lâina.. (Ex. 7 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U corpo oscila co oviento harônico siples de acordo co a equação: x = (6,1 ).cos[(8,38 rad/s)t + 1,9 rad] Deterine (a) o deslocaento, () a velocidade e (c) a aceleração no instante t = 1,9 s. Deterine taé (d) a frequência e (e) o período do oviento. 3. (Ex. 16 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U tuo e U é preenchido co u líquido hoogêneo. O líquido é teporariaente pressionado por u pistão e u dos lados do yuo. O pistão é reovido e o nível do líquido e cada u dos lados passa a oscilar. ostre que o período de oscilação deste oviento é π.[l/g] 1/, onde L é o copriento total do líquido no interior do tuo. 4. (Ex. 19 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U estilingue grande (hipotético) é distendido de 1,53 a fi de lançar u projeto de 13 g co velocidade suficiente para escapar da Terra (11, /s - treendaente hipotético). (a) Qual deve ser a constante elástica deste dispositivo, supondo que toda a energia potencial seja convertida e energia cinética? () Adita que ua pessoa noral possa exercer ua força de N. Quantas pessoas seria necessárias para distender este hipotético estilingue? 5. (Ex. 5 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Deterine o copriento de u pêndulo siples cujo período é de 1, s e u local onde g = 9,8 /s. 6. (Ex. 34 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U engenheiro deseja deterinar o oento de inércia de u ojeto de fora izarra, co assa igual a 11,3 g, e torno de u eixo que passa pelo centro de assa. O ojeto é pendurado por u fio que passa pelo centro de assa e apóia-se sore o eixo desejado. A constante elástica torcional do fio é κ =,513 N.. O engenheiro oserva que o pêndulo executa, ciclos e 48,7 s. Qual é o valor do oento de inércia do ojeto? 7. (Ex. 46 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U oscilador harônico aortecido consiste e u loco ( = 1,91 g), ua certa ola ( = 1,6 N/) e ua força aortecedora = -v x. Inicialente o loco oscila co aplitude de 6, c; por causa do aorteciento a aplitude reduz-se para três quartos deste valor inicial, após quatro ciclos copletos. (a) Qual é o valor de? () Qual é a quantidade de energia dissipada durante estes quatro ciclos? 8. (Ex. 47 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Considere as oscilações forçadas de u sistea assa-ola aortecido. ostre que na ressonância (a) a aplitude das oscilações é x = /ω e () a velocidade áxia do loco oscilante é v = /. 9. (Ex. 5 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Partindo da equação x = ω' ' cos( ω' ' t β), onde G = ( ω ' ' ω ) + ω' ' e β = cos 1, encontre a G G velocidade v x (= dx/dt) do oviento oscilatório forçado. ostre que a aplitude da velocidade é v = /[(ω'' - /ω'') + ] 1/.

2 1. (Pro. do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) A figura ao lado ostra ua astronauta e u dispositivo de edida de assa corporal (BD "ody ass easuring device"). Projetado para uso e veículos espaciais e órita, sua finalidade é peritir que os astronautas possa edir suas assas nas condições de ausência de "peso aparente" do fato de estar e órira. O BD consiste e ua cadeira dotada de olas. O astronauta ede o período de suas oscilações na cadeira; sua assa é otida da expressão do período e u sistea assa-ola oscilante. (a) Sendo a assa do astronauta e a assa efetiva da parte do BD, que taé oscila, ostre que = (/4π )T onde T é o período de oscilação e é a constante elástica. () A constante elástica do BD é = 65,6 N/ e o período de oscilação da cadeira vazia é,9149 s. Calcule a assa efetiva da cadeira. (c) Co u astronauta na cadeira, o período de oscilação passa para,883 s. Calcule a assa do astronauta. 11. (Pro. 3 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Dois locos ( = 1, g e = 8,73 g) e ua deterinada ola ( = 344 N/) estão arranjados e ua superfície horizontal, se atrito, confore ostra a figura ao lado. O coeficiente de atrito estático entre os locos é de,4. Deterine a aplitude áxia possível do oviento harônico siples para que não haja deslizaento entre os locos. 1. (Pro. 5 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Duas olas são fixadas a u loco de assa, que pode deslizar se atrito 1 sore ua superfície horizontal, confore ostrado na figura ao lado. ostre que a frequência de oscilação do loco é f = = f1 + f, onde f 1 e π f são as frequências co as quais o loco oscilaria se fosse conectado apenas à ola 1 ou à ola. 13. (Pro. 6 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Duas olas são unidas e conectadas a u loco de assa, confore a figura ao lado. As superfícies são lisas (se atrito). se as olas separadaente possue constantes elásticas 1 e, ostre que a frequência de oscilação do loco será 1 1 f1 f f = =. π ( 1 + ) f + f 1 11 (f 1 e f são as frequências co as quais o loco oscilaria se fosse conectado apenas à ola 1 ou à ola.) 14. (Pro. 7 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Ua deterinada ola de assa desprezível e constante elástica igual a 3,6 N/c, é partida e dois pedaços iguais. (a) Qual é a constante elástica de cada pedaço? () Os dois pedaços, suspensos separadaente, suporta u loco de assa, coo ostra a figura ao lado. O sistea vira co frequência de,87 Hz. Calcule o valor da assa. 15. (Pro. 11 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U loco de assa, e repouso sore ua esa horizontal se atrito, é fixado a u suporte rígido através de ua ola cuja constante elástica é. U projétil de assa e velocidade v atinge o loco, confore ostra a figura ao lado; o projétil fica preso ao loco. Deterine a aplitude do oviento harônico siples resultante, e função de,, v e. v

3 16. (Pro. 13 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U cilindro sólido está preso a ua ola horizontal se assa, de tal odo que ele pode rolar se deslizar sore ua superfície horizontal, confore ostrado na figura ao lado. A constante elástica da ola é de,94 N/c. Saendo-se que o sistea foi aandonado do repouso na posição e que a ola está distendida de 3,9 c, calcule as energias cinética (a) de translação e () de rotação do cilindro, quando este passar pela posição de equilírio. (c) ostre que, nestas condições, o centro de assa do cilindro executa oviento harônico siples co período de T 3 = π onde é a assa do cilindro. 17. (Pro. 15 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U pêndulo físico consiste e u disco sólido unifore de assa = 563 g e raio = 14,4 c, antido no plano vertical por u eixo preso a ua distância d = 1, c do centro do disco, confore a figura ao lado. Desloca-se o disco de u pequeno ângulo e, e seguida, ele é lierado. Encontre o período do oviento harônico resultante. Pivô d r 18. (Pro. 18 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Ua roda pode girar e torno de seu eixo fixo. Ua deterinada ola está presa a u de seus raios, a ua distância r do eixo. Supondo que a roda seja u aro de raio e assa, otenha a frequência angular para pequenas oscilações deste sistea e função de,, r e da constante elástica da ola. Analise os casos particulares e que r = e r =. 19. (Pro. 1 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U disco de,5 g e 4, c de diâetro está suspenso por ua arra fina de 76, c de copriento, articulada no seu extreo, confore ostrado na figura ao lado. (a) Inicialente a ola de torção leve está desconectada. Qual é o período de oscilação? () A ola é então conectada de tal fora que, na condição de equilírio, a arra oscila e torno da posição vertical. Qual deve ser a constante elástica de torção da ola, se o período agora for 5 s enor do que era inicialente? 76,c. (Pro. do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) U pêndulo siples de copriento L e assa está preso a u carro que se ove co velocidade constante v e ua trajetória circular de raio. Qual será o período do oviento saendo-se que o pêndulo executa pequenas oscilações e torno da posição de equilírio? 4,c 1. (Pro. 5 do Cap ísica esnic, Halliday e Krane - 5 a Edição) Suponha que você esteja exainando as características do sistea de suspensão de u autoóvel de g. A suspensão "cede" 1 c quando todo o peso do autoóvel é colocado sore ela, e a aplitude da oscilação diinui de 5% durante u ciclo copleto. Deterine os valores das constantes e da ola e do sistea asorvedor de choque de cada roda. Suponha que cada roda suporte 5 g. L v

4 x r T Túnel. (Pro. 1 do Cap ísica 1 Tipler e osca - 5 a Edição) U túnel reto é escavado através da Terra, coo ostra a figura ao lado. Suponha que as paredes do túnel seja isentas de atrito. (a) A força gravitacional exercida pela Terra e ua partícula de assa a ua distância r do centro da Terra, quando r < T, é r = -(G T / T 3 )r, onde T é a assa da Terra e T o seu raio. ostre que a força resultante na partícula de assa atuando a ua distância x do eio do túnel é dada por x = = -(G T / T 3 )x, e que o oviento da partícula é u oviento harônico siples. () ostre que o período do oviento é dado por T = π.[ T /g] 1/ e calcule seu valor e inutos. (Esse é o eso período de u satélite oritando próxio à superfície da Terra e é independente do copriento do túnel.) esposta: (a) Sendo a força gravitacional igual r = -(G T / 3 T )r, a sua coponente segundo o eixo x será dada por: x = r.senθ onde θ = arcsen(x/r) x = - G T / 3 T )r.x/r = = -(G T / 3 3 T )x x = -x onde = G T / T () T = π/ω Coo ω = [/] 1/ = [G T / 3 T ] 1/ e g = G T / T ω = [g/ T ] 1/ Logo: T = π/ω o = π.[ T /g] 1/ = π. [6,4x1 6 /9,8/s ] 1/ = 578 s = 84 in 3. (Pro. 13 do Cap ísica 1 Tipler e osca - 5 a Edição) U oscilador harônico aortecido te ua frequência ω' que é 1% enor do que ua frequência não aortecida. (a) Qual é o fator de decréscio da aplitude de oscilação e cada oscilação? () De que fator a energia do sistea é aortecida durante cada oscilação? esposta: (a) ω = ω =,9.ω o ω =,81 ω,19 ω = 4 4 O período de ua oscilação é dado por: π T = = ωπ ',9ω Logo, coo a aplitude cai na fora A(t) = A.e -/.t, teos que: Δ A A = () t A( t + T) A A() t = 1 e π T,44ω,9ω = 1 e =,95 = 95% 4 =,44 ω () A energia é proporcional à aplitude ao quadrado, ou seja, E(t) = E.e -/.t. Logo: Δ E E = () t E( t + T) E E() t = 1 e π T,87ω,9ω = 1 e =,997 = 99,7% 4. (Pro. 15 do Cap ísica 1 Tipler e osca - 5 a Edição) Neste prolea será deterinada a expressão da potência édia proporcionada por ua força de excitação a u oscilador forçado. (a) ostre que a potência instantânea aplicada por ua força excitadora é dada por: P = v = -Aω o cosωt sen(ωt-δ) () Use a identidade trigonoétrica sen(θ 1 - θ ) = senθ 1 cosθ -cosθ 1 senθ para ostrar que a equação otida e (a) pode ser escrita coo P = Aω o senδ cos ωt - Aω o cosδ cosωt senωt (c) ostre que o valor édio do segundo tero do resultado de (), e u ou ais períodos, é zero e que, por conseguinte, P éd = ½. Aω o senδ (d) A partir da equação tg δ = ω/[(ω o -ω )] construa u triângulo retângulo no qual o lados oposto ao ângulo δ é ω e o lado adjacente é [(ω o -ω )], e use esse triângulo para ostrar que ω ωa senδ = = ω ω + ω o ( ) o

5 (e) Use o resultado de (d) para eliinar ωa do resultado de (c), e então a potência édia de entrada poderá ser escrita coo 1 P éd = o sen δ = 1 ω o ωo ω + ω ( ) 5. U oscilador harônico te fator de qualidade Q=1 (Q = ω/(/)). Partindo da posição de equilírio é-lhe counicada ua velocidade inicial de 5 /s. Verifica-se que a energia total do oscilador diinui nua taxa, por segundo, igual a duas vezes sua energia total instantânea. Calcule o deslocaento x(t) do oscilador (e etros) e função do tepo (e segundos). esposta: Q = 1, portanto se trata de u OHA. Então, x(t) = A.e - t/. sen(ωt +ϕ) onde A = x 1/ x + v + e tgϕ = ω x ω x + v Do prolea, teos que: x = x() = (parte da posição de equilírio) v = v() = 5 /s (parte da posição de equilírio) de Q = ω/(/) = 1 ω =./» / E T = -.ET / = 1s -1 dt ω = Q./ = rad/s A v /ω = 5/s / s 1 =,5 e tgϕ = x(t) = (,5 ).e -t sen(s -1 t) 6. U oscilador harônico não aortecido de assa e freqüência própria ω ove-se so ação de ua força externa =.sen(ωt), partindo da posição de equilírio co velocidade inicial nula. Deterine o deslocaento x(t) que a assa realiza e função do tepo. esposta: Teos u OH so ação de ua força externa harônica. Então, x 1 (t) = A 1.e -/.t sen(ω 1 t +ϕ) onde ω 1 = [ω /4 ] 1/ x (t) = A.sen(ωt -β) onde A = ( ω ω ) + ω e tgβ = ω ω Do prolea, teos que: = (não aortecido) tgβ =, A = e ω 1 = ω ω ω x = x() = (parte da posição de equilírio) x() = x 1 () + x () = A 1.sen(ϕ) = ϕ = v = v() = /s (velocidade inicial nula) v() = ω 1 A 1 cosϕ + ωa = A 1 = -ω/ω 1 A x(t) = ω. ( ) ( ) sen ωt sen ωt ω ω ω ω