Exp Movimento Harmônico Amortecido

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1 Exp Moviento Harônico Aortecido INTRODUÇÃO De acordo co a segunda lei de Newton, a equação de oviento de u corpo que oscila, e ua diensão, e torno de u ponto de equilíbrio estável, sujeito apenas a ua força proporcional a seu deslocaento relativo a esse ponto e e sentido contrário a este deslocaento é d 2 x/dt 2 + k x 0, (1) onde é a assa do corpo, x seu deslocaento relativo à posição de equilíbrio, d 2 x/dt 2 sua aceleração e k é ua constante de proporcionalidade. Se o agente da força que atua sobre o corpo é ua ola helicoidal, coo passareos a considerar, k é a constante elástica da ola. A solução desta equação diferencial de segunda orde é x X cos(ω 0 t + φ 0 ), (2) onde, sendo f 0 a freqüência e T 0 o período da oscilação, ω 0 2πf 0 2π/T 0 é sua freqüência angular, que é dada por ω k 0. (3) As constantes X e φ 0 são definidas pelas condições iniciais da oscilação (quando t 0): X é a aplitude da oscilação e φ 0 é a constante de fase, que indica e que ponto da trajetória, ou e que fase da oscilação, se encontrava o corpo no instante considerado coo t 0. Abas estão relacionadas à posição e à velocidade do corpo e t 0. Dá-se a este oviento o noe de oviento harônico siples e ao sistea assa-ola (ou outro equivalente) que o executa o de oscilador harônico siples. A energia do sistea, que é a soa da energia cinética do corpo co a energia elástica da ola, é E ½ (dx/dt) 2 + ½ k x 2 ½ k (X ) 2. (4) Coo podeos notar, a energia é ua constante do oviento e o corpo oscila, sepre, entre os pontos de retorno, ou de afastaento áxio, +X e X, ou seja, co a aplitude constante, dada pelas condições iniciais. Entretanto, na aioria dos sisteas acroscópicos postos a oscilar, a aplitude diinui co o passar do tepo, vindo o oviento, eventualente, a cessar. Dizeos, então, que há u aorteciento da oscilação. Para representar este fato introduzios ua força proporcional à velocidade do corpo e e sentido contrário a esta, o que se aproxia do que ocorre quando u corpo oscila ierso e u fluido (coo o ar ou algu líquido), co velocidades baixas. Neste caso a equação de oviento do corpo se torna

2 d 2 x/dt 2 + b dx/dt + k x 0, (5) onde b é ua constante de fricção e dx/dt é a velocidade do corpo. Considerareos aqui apenas o caso e que a constante b é pequena o suficiente para que a aplitude diinua lentaente, possibilitando, assi, a realização de várias oscilações até que cesse o oviento. Neste caso particular a solução desta equação é x γ t X e cos( ω t + ϕ ) 0. (6) Trata-se de ua oscilação, representada pela função co-seno, ultiplicada por ua exponencial decrescente, que representa o aorteciento e o oviento denoina-se oviento harônico aortecido. A freqüência angular da oscilação, enor que a do oviento harônico siples, é dada por 2 2, (7) ω ω 0 γ sendo γ b/2 (8) a constante que caracteriza o aorteciento. X é ua constante que depende, de fora não trivial, da posição e da velocidade iniciais do corpo e de γ,. Entretanto, quando a posição inicial do corpo é X e sua velocidade inicial é nula, encontraos que a cada período da oscilação a velocidade voltará a ser nula e a posição do corpo será x nt X e nγ T ) (. (9) Esta expressão sugere que se trata de u oviento oscilatório cuja aplitude diinui exponencialente co o tepo. Nesses oentos, e que a velocidade do corpo é nula, a energia do sistea, puraente elástica, é 1 (, (10) 2 E nt k X 2 e 2nγ T ) sendo a perda relativa de energia e cada oscilação copleta E E[ ( n+ 1) T ] ( nt ) E E( nt ) 2γ T E 1 e. (11) Coo vios (eq. 7), a freqüência da oscilação aortecida é enor que a do oscilador não aortecido. No entanto, quando γ te u valor de u décio do valor de ω 0, a freqüência da oscilação é reduzida e eio por cento, enquanto a aplitude se reduz a cinqüenta e três por cento e a energia é reduzida e setenta e dois por cento, restando apenas vinte oito por cento do valor inicial, e cada oscilação copleta.

3 PARTE EXPERIMENTAL Objetivo Deterinar a constante elástica de ua ola, a constante de fricção e a perda relativa de energia e oscilações harônicas aortecidas. Materiais utilizados Mola, suporte para assas, assa de aproxiadaente 100g, disco do tipo CD, ontados coo na figura abaixo, sensor de oviento PS 2103, da PasPort, ligado a u icrocoputador co os prograas Data Studio e Microcal Origin.

4 Fig. 1 Oscilador colocado acia do sensor de oviento, que é ligado ao coputador. Procediento Pendure a ola, confore indicado na figura 1, colocando e sua extreidade livre o suporte co o CD e a assa. O sensor deve ficar be abaixo do oscilador, na vertical, a ua distância de aproxiadaente 40 c. Produza ua oscilação co ua aplitude inicial de não ais que 5,0 c. Ative o sensor, confore as instruções a seguir, para gerar u gráfico da posição do oscilador e função do tepo. Nesse gráfico deterine o período da oscilação (considere ua incerteza de 2% nas edidas de tepo e posição lidas no gráfico) edindo intervalos de tepo entre instantes e que o oscilador atinge áxios de deslocaento. Deterine tabé a distância entre o sensor e a posição de equilíbrio do oscilador. Co ajuda do prograa Origin faça u gráfico da posição (distância relativa ao sensor) dos áxios de deslocaento e função da orde, n, e que eles aparece no gráfico de posição e função do tepo. Escolha u dos prieiros áxios para associar a n 0 e coece co ele. Não é necessário toar todos os picos, pode-se variar n de dois e dois ou de três e três. Utilizando a função Non-linear curve fit, e Analysis, no prograa Origin, ( x x0 ) / t1 faça u ajuste do tipo y y0 + A1 e, fixando y 0 coo sendo a distância do ponto de equilíbrio ao detector e x 0 0. Copare esta equação co a equação 9 e encontre o valor de γ. Meça a assa do oscilador e, co os valores do período da oscilação e de γ, deterine a constante elástica da ola e a constante de fricção, b. Qual a perda relativa de energia e cada oscilação? De que fatores pode depender o valor da constante de fricção? INSTRUÇÕES PARA O USO DO SENSOR DE POSIÇÃO O Sensor de Moviento PS-2103 usa ultra-so para edir posição. Ele é conectado ao coputador através do PS-2100 USB Link. USB é u protocolo coputacional que perite counicações avançadas entre periféricos (coo o Sensor de Moviento) e o coputador. Verifique se a luz do USB Link está acesa para garantir que ele está ligado. 1. Inicie o prograa DataStudio. Clique e Criar experiento. Na tela deverá aparecer u gráfico posição versus tepo (Se não aparecer, clique no ícone Gráfico no lado esquerdo inferior da tela. E seguida no lado esquerdo superior da tela, no qual deverão estar indicadas as grandezas que o sensor ede, selecione posição para o eixo vertical e tepo para o eixo horizontal. É possível que os eixos (ou algu deles) já esteja ajustados co as grandezas, de odo que a seleção pode-se tornar total ou parcialente desnecessária). 2. Para configurar o experiento clique no botão Configurar no lado esquerdo superior. Ajuste a freqüência (Taxa de aostras) entre 10 Hz e 50 Hz.

5 Recoenda-se 25 ou 40 Hz. E seguida feche a janela Configuração de experientos. 3. Estando as condições iniciais do experiento estabelecidas, clique no botão Iniciar para iniciar a gravação dos dados e no botão Parar (que aparecerá logo após se clicar e Iniciar) para finalizar esta gravação. Se o gráfico não estiver preenchendo toda a tela (situação que é ais provável), clique no prieiro botão no lado esquerdo superior da janela do gráfico, rotulado Ajustar ao taanho (Para visualizar o rótulo basta passar o ouse sobre qualquer botão). 4. Se a coleta de dados não for boa, na pequena janela Dados no lado esquerdo superior da tela pode-se selecionar quaisquer das séries e apagá-las (para que este procediento funcione, o sensor não deve estar e processo de coleta dos dados). E seguida basta repetir os passos anteriores para coletar outros dados. Pode-se tabé coletar outros dados se apagar os anteriores, selecionando as séries que quiser ver no décio segundo botão (rotulado Dados) da esquerda para direita na janela do gráfico. 5. Depois de obtidos os dados, aperte o botão Ferraenta Inteligente, o sexto da esquerda para direita na janela do gráfico. 6. Co essa ferraenta, aproxie o cursor dos picos e leia suas coordenadas (note que o cursor é atraído para o ponto ais próxio, ele gravita e torno dele). Digite os valores das alturas dos picos e ua tabela no prograa Origin. Recoendações - O oscilador deve ficar entre 0,20 e 0,60 do sensor - A oscilação deve ser ais vertical possível. - Utilize ua aplitude inicial de aproxiadaente 5 c.