LFEB notas de apoio às aulas teóricas

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1 LFEB notas de apoio às aulas teóricas 1. Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau Este tipo de equações aparece frequenteente e sisteas oscilatórios, coo o oscilador harónico (livre ou co atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não-conservativas, a equação envolve a segunda derivada e u tero linear do tipo d 𝑓 + 𝑓 = 0 e que 𝑓 𝑓(𝑡) é ua função que só depende de ua variável 𝑡 (por exeplo, o tepo) e e são constantes positivas. Escrevendo a equação na fora d 𝑓 = 𝑓 podeos expriir a questão desta fora: qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à prieira, ultiplicada por ua constante negativa? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e co-seno, ou seja, genericaente 𝑓(𝑡) pode ter a fora geral 𝑓 𝑡 = 𝐴sin 𝑡 + 𝐵cos 𝑡 e que 𝐴 e 𝐵 são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, as podeos deteriná-las se souberos as condições iniciais do sistea a posição inicial, a velocidade inicial, etc. Vaos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acia. Para siplificar a escrita, definios 𝜔 =. Teos assi 𝑓 𝑡 = 𝐴sin 𝜔 𝑡 + 𝐵cos 𝜔 𝑡 𝑑𝑓 = 𝐴𝜔 cos 𝜔 𝑡 𝐵𝜔 sin 𝜔 𝑡 𝑑𝑡 d 𝑓 = 𝐴𝜔 sin 𝜔 𝑡 𝐵𝜔 cos 𝜔 𝑡 = 𝜔 𝑓(𝑡) = 𝑓 Veos assi que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão nua fora ais prática usando a seguinte igualdade trigonoétrica sin 𝑢 + 𝑣 = sin 𝑢 cos 𝑣 + cos 𝑢 sin 𝑣 1

2 Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita nua fora uito siples, e e vez de A e B ficaos co outras duas constantes ais intuitivas: 1 f t = A sin ω t + φ Esta expressão perite verificar que a solução geral do oscilador harónico livre te as seguintes características: Varia no tepo de fora sinusoidal Te ua frequência angular ω e consequenteente u período T = 2π ω A constante A é a aplitude áxia do oviento A constante φ é a fase inicial do oviento A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâetros para o caso do pêndulo e do sistea assa-ola. Pêndulo Massa-ola Equação diferencial d θ dt = g l θ d x dt = k x Função f(t) Ângulo θ(t) Posição x(t) d f/dt Acel. angular α(t) = d θ/dt Aceleração a(t) = d x/dt a l b g k A Aplitude áxia θ Aplitude áxia A φ (fase inicial) (fase inicial) ω g l k T Período de u pêndulo livre e função do copriento do fio (para g = 9.8 /s 2 ). 1 Pode verificar que é possível escrever a expressão deste odo, por exeplo calculando os valores de A e φ a partir dos valores de A e B. Sugestão: considere as expressões para f(0) e f (0) nu caso e noutro, e iguale-as respectivaente. 2

3 2. Resolução de equações diferenciais lineares do prieiro grau Este tipo de equações aparece, por exeplo, e situações e que ua força (tipicaente o atrito) é proporcional à velocidade. A equação envolve a prieira derivada, u tero linear e u tero constante, e podeos escrever a seguinte expressão genérica: d𝑓 = 𝑓 e que 𝑓 𝑓(𝑡) é ua função que só depende de ua variável 𝑡 (por exeplo, o tepo) e, e são constantes. Para resolver esta equação, vaos recorrer a ua função auxiliar 𝑔(𝑡) definida coo 𝑔 𝑡 =𝑓 𝑡 Se derivaros esta igualdade verificaos que as derivadas de abas as funções são iguais d𝑔 d𝑓 = Inserindo estas duas igualdades na prieira equação, podeos escrevê-la na fora d𝑔 = 𝑓 𝑡 = 𝑔 𝑡 d𝑔 = 𝑔(𝑡) A últia igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, ultiplicada por ua constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, ais concretaente 𝑔 𝑡 = 𝐴𝑒 é a solução daquela equação, e que 𝐴 é ua constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistea. Agora que deterináos a solução para 𝑔(𝑡), podeos calcular a função 𝑓(𝑡) original: 𝑓 𝑡 =𝑔 𝑡 + = 𝐴𝑒 + Para deterinar o valor de A, teos que ter algua inforação sobre o sistea. Por exeplo, sabendo que o valor inicial da função 𝑓(𝑡) é 𝑓(0) = 𝑓 podeos escrever 𝑓 0 𝑓 = 𝐴 + 𝐴 = 𝑓 Inserindo esta expressão no valor de 𝐴 e siplificando, teos finalente a solução geral da equação original: 𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑒 + 1 𝑒 Quando 𝑡 a função atinge u valor liite 𝑓"# =, independenteente do valor da velocidade inicial. Podeos ainda definir u tepo édio 𝜏 = 3 para a função exponencial.

4 A tabela e baixo ostra alguns casos abordados nas aulas e a respectiva aplicação destes resultados. Equação diferencial Função f(t) df/dt a b c A Expressão f "# τ Exp. Millikan dv = g v dt Velocidade v(t) Aceleração a(t) = dv/dt g f = Vel. inicial = 0 /s g 1 exp t v "# = g A figura e baixo ostra a evolução de ua função v(t), solução de ua equação deste tipo, e resue a interligação entre todos os parâetros apresentados. Note que os eixos são noralizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problea (neste caso, o tepo édio τ e a velocidade liite v "# ). v(t)/v li 1.0 v li v( ) = v li (1-e -1 )

5 3. Derivadas parciais Quando ua função depende de ais do que ua variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada ua dessas variáveis. Por exeplo, ua função f f(x, y) que depende das variáveis x e y te duas derivadas parciais: Derivada parcial segundo x: " " Derivada parcial segundo y: " " Para calcular cada ua das derivadas parciais, trata-se as outras variáveis coo se fosse ua constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas co o síbolo e vez de d. Exeplos: f x, y = x y " " = 3x y " " = 2x y f x, y = e sin x " " = e cos x " " = 2e sin x 5