INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios

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1 INVESTIGÇÃO OPERIONL Prograação Linear Exercícios ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização ntónio arlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) i

2 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Exercícios VI. nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização. onsidere o seguinte prolea de PL Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x a. presentar a Matriz Técnica do odelo (atriz ). presentar a atriz dos teros independentes (atriz ) c. presentar a atriz dos oeficientes, e f(x), das Variáveis de Decisão (atriz a ) d. Para a solução adissível e que as V são x e F (variável de folga da ª restrição técnica), apresentar: a atriz da ase (atriz ) o produto atricial correspondente à solução para as V o extracto do quadro Siplex co as V, atriz inversa da ase e solução. onsidere o seguinte prolea de PL Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x a. Para a solução adissível e que as V são x e E (variável excedentária da ª restrição técnica), apresentar: a atriz da ase (atriz ) o produto atricial correspondente à solução para as V o extracto do quadro Siplex (étodo dos Passos) co as V, atriz inversa da ase e solução INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) VI-

3 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Exercícios. onsidere o seguinte prolea de PL Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x a. Verifique graficaente e atricialente se o étodo Siplex gera ua solução co as V x e F (variável de folga da ª restrição técnica). 4. dita que, conhecendo o odelo de PL, te a necessidade de construir, atricialente, o seguinte quadro Siplex: V x x E E F VSM x x Zona Zona 4 Zona Zona E f(x) Zona Zona 8 Zona 6 Zona 7 Nota: x e x são variáveis de decisão; F é a variável de folga da ª restrição técnica; E e E são variáveis excedentárias das ª e ª restrições técnicas, respectivaente; e são variáveis artificiais das ª e ª restrições técnicas, respectivaente a. Descreva as atrizes ou produtos atriciais associados às zonas do quadro nueradas de a 8.. onsidere o seguinte prolea de PL (variáveis de decisão não negativas): a. onsiderando x, x e E as V de ua solução adissível do sistea de equações da fora-padrão do Siplex construa, atricialente, o quadro Siplex associado. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) VI-

4 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Exercícios 6. onsidere o seguinte prolea de PL (variáveis de decisão não negativas): a. Utilize a versão atricial do Siplex para copletar o quadro Siplex seguinte: V x x x F F F VSM x / -/6 x -/6 / F - f(x) Nota: F, F, F são variáveis de folga nas ª, ª e ª restrições, respectivaente. lassifique a solução otida na alínea anterior. 7. onsidere o seguinte prolea de PL Max f(x) 4x + x x + x 6 x + x 4 x + x x x livre a. solução óptia é x 6; x - Utilize a versão atricial do Siplex para construir o quadro óptio. 8. Ua epresa planeia a produção dos ens e nas seguintes condições: O total da produção não deve ocupar e arazé ais do que 4 unidades de área (u.a.). Ua unidade do produto ocupa u.a., enquanto necessita apenas de u.a. O stock do produto deve ser pelo enos de unidade. Os lucros unitários de venda são, respectivaente, de u. para e de u.. para. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) VI-

5 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Exercícios onsiderando x e x os níveis de produção dos ens e, o odelo de PL para calcular o plano óptio de produção é o seguinte: Max f(x) x + x x + x 4 x x, x a. Sendo x e x as V do óptio construir o quadro-óptio utilizando a versão atricial do Siplex.. Ler no quadro óptio a solução do prolea Dual. c. nalisar isoladaente a sensiilidade do odelo à variação dos segundos eros das restrições. d. nalisar isoladaente a sensiilidade do odelo à variação dos coeficientes de lucro. 9. onsidere o seguinte prolea de PL Max f(x) x + x x + x 6 x + x x, x álculo da solução óptia aplicando o étodo Siplex: a. nalise a sensiilidade da ase óptia a variações siultâneas dos segundos eros das restrições técnicas.. Grafique o espaço definido na alínea anterior. c. ase corrente anté-se se os segundos eros das restrições técnicas fore alterados para 8 e 6 respectivaente? E caso afirativo calcule a solução óptia associada. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) VI-4

6 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Exercícios. onsidere o odelo de PL: Max f(x) - x + x + x - x + x + x x + 4 x + x 9 x, x, x Equações do quadro óptio: -x + x + x + F 6x - x - 4F + F f(x) + x + F nalisar o ipacto das alterações seguintes (a considerar de fora independente) e reoptiizar se necessário: a. onsiderar co valor o segundo ero da prieira restrição ( ).. onsiderar os segundos eros das restrições iguais a e respectivaente c. Na função ojectivo alterar o coeficiente de x para 8 (c 8). d. lterar os coeficientes de x para na ª restrição técnica, na ª restrição técnica e - e f(x). e. lterar os coeficientes de x para na ª restrição técnica, na ª restrição técnica e 6 e f(x). f. Introduzir ua nova variável K co coeficientes na ª restrição técnica, na ª restrição técnica e e f(x). g. Introduzir a nova restrição técnica x + x + x. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) VI-

7 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios INVESTIGÇÃO OPERIONL Prograação Linear Soluções dos Exercícios ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização ntónio arlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) i

8 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios. Modelo proposto: Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x a. Matriz Técnica : é a atriz dos coeficientes das variáveis de decisão, nas restrições técnicas.. Matriz dos Teros Independentes: é atriz-coluna dos segundos eros (constantes) das restrições técnicas. c. Matriz dos oeficientes, e f(x), das Variáveis de Decisão: é ua atriz-linha d. Modelo na fora-padrão Siplex: Max f(x) 4x + x + F + F a [ 4 ] x + x + F + F x + x + F + F x, x, F, F Matriz da ase: conjunto dos vectores das V (x, F ) na fora-padrão Siplex: Produto atricial correspondente à solução: é o produto da atriz inversa da ase co a atriz dos teros independentes das equações técnicas (atriz ):. solução ásica é: x / F / x F INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

9 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios Extracto do quadro Siplex. Modelo proposto: V x x F F VSM x / / F -/ / f(x) Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x Modelo na fora-padrão Siplex: Max f(x) 4x + x + F + E x + x + F + E x + x + F - E x, x, F, E Matriz da ase: conjunto dos vectores das V (x, E ) na fora-padrão Siplex: Produto atricial correspondente à solução: é o produto da atriz inversa da ase co a atriz dos teros independentes das equações técnicas (atriz ): Extracto do quadro Siplex x. E V x x E F VSM x / E / - f(x) solução ásica é: x E INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

10 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios. Modelo proposto: Max f(x) 4x + x x + x x + x x, x Modelo na fora-padrão Siplex: Max f(x) 4x + x + F + E x + x + F + E x + x + F - E x, x, F, E a. O étodo Siplex gera exclusivaente soluções adissíveis (V co valor não negativo). Para concluir se o étodo gera solução adissível co as V x e F há que: Matricialente: calcular o produto atricial negativas: e verificar se as coordenadas são não x ;. F solução ásica não é adissível (F < ) pelo que nunca pode ser gerada pelo étodo Siplex Graficaente: verificar se há algu extreo do espaço de soluções adissíveis definido pelas variáveis indicadas Espaço de soluções adissíveis x ; F - Ponto não pertence ao espaço de soluções adissíveis. O étodo Siplex nunca explora este ponto. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

11 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios 4. V x x E E F VSM x x E Zona Zona 4 Zona Zona f(x) Zona a Zona 8 Zona 6 Zona 7 Nota: x e x são variáveis de decisão; F é a variável de folga da ª restrição técnica; E e E são variáveis excedentárias das ª e ª restrições técnicas, respectivaente; e são variáveis artificiais das ª e ª restrições técnicas, respectivaente. a. Zona : : é a atriz inversa da atriz da ase. Notar que esta zona está nas colunas das variáveis cujos Zona : vectores fora a atriz Identidade do quadro Inicial do Siplex. : produto da atriz inversa da atriz da ase pela atriz técnica. Notar que esta zona está nas Zona : colunas das variáveis de decisão. : produto da atriz inversa da atriz da ase pela atriz dos teros independentes. Notar que Zona : esta zona é a da solução das V. a : produto da atriz de coeficientes, e f(x), das variáveis de decisão pelo produto atricial a que é sutraída a atriz dos coeficientes, e f(x), das variáveis de decisão. Zona 6: Zona 7: Zona 4: Notar que esta zona está nas colunas das variáveis de decisão. : produto da atriz de coeficientes, e f(x), das variáveis ásicas pela atriz inversa da ase. Notar que esta zona está nas colunas das variáveis cujos vectores fora a atriz Identidade do quadro Inicial do Siplex. : produto da atriz de coeficientes, e f(x), das variáveis ásicas pelo produto atricial. Notar que esta zona é a do valor de f(x) para a ase corrente. Vector de E : siétrico do vector da variável artificial. Vector de E : siétrico do vector da variável artificial. INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-4

12 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) Zona 8: oeficientes, na equação de f(x), para E e E : siétricos dos coeficientes das variáveis artificiais e, respectivaente.. Modelo proposto: Matriz da ase: vectores das variáveis x, x e E : vectores das V no sistea de equações da fora-padrão alcular: / / / / / /. / / / / / / 7 6. / / / / / / [ ] [ ] [ 4. 4 a ] [ ] [ ] / 9 / / / / / / /. 4 [ ] 46. / 9 / S/ VI-

13 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios Quadro Siplex co as V: x, x e E V x x E F F VSM x -/ / 6 x / -/ 7 E / / - f(x) 9/ / 46 Os coeficientes das variáveis e f(x) pode ser calculados directaente no quadro Siplex, tal coo o valor de f(x) evitando erros usuais na identificação das atrizes a operar. Para efectuar o cálculo é necessário registar: no topo do quadro, os coeficientes, e f(x) das variáveis de decisão (atriz a ) à esquerda das V, os seus coeficientes, e f(x) (atriz transposta) Quadro Siplex co as V: x, x e E 4 V x x E F F VSM x -/ / 6 4 x / -/ 7 E / / - f(x) 9/ / 46 coeficiente, e f(x), da variável x [() () + (4) () + () ()] - coeficiente, e f(x), da variável x [() () + (4) () + () ()] - 4 coeficiente, e f(x), da variável F () (-/) + (4) (/) + () (/) 9/ coeficiente, e f(x), da variável F () (/) + (4) (-/) + () (/) / coeficiente, e f(x), da variável () () + (4) () + () (-) (siétrico para E ) valor de f(x) () (6) + (4) (7) + () () 46 INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-6

14 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios 6. a. Utilizando a sequência de cálculo do prolea anterior oté-se: V x x x F F F VSM x -/ / -/6 x 7/6 -/6 / F - - f(x) / / 4/ 6. solução é óptia. É única porque só as V tê coeficiente nulo na equação de f(x). 7. variável x é livre o que origa a sustituí-la, na fora-padrão do Siplex, pela diferença entre duas variáveis não negativas, ou seja: x ' '' x x Se x - tal significa que '' x é V no quadro Siplex. O odelo te restrições técnicas pelo que há V. Sae-se já que são V as variáveis x 6 e '' x sendo necessário recorrer ao sistea de equações da fora-padrão para identificar a terceira V: ' '' x + x x + F 6 ' '' x + x x + F 4 ' '' x + x x E F F E 6 + (6) () + + (6) onhecidas as V e utilizando a sequência de cálculo do prolea anterior oté-se: ( V) V x x x E F F VSM x - 6 x E - f (X) 4 a. Quadro Óptio V x x E F VSM x - x - f(x) - Notar que a atriz inversa da ase é registada nas colunas das variáveis F e INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-7

15 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6). Solução óptia do prolea Dual: ) ( ; * 4 * Y g Min y y y y Y c. Segundos Meros - nálise de Sensiilidade Para anter a estrutura da solução óptia, é necessário que se antenha Na prieira restrição: {. ase anté-se para valores de Na segunda restrição: 4 4. ase anté-se para valores de de zero a (aos inclusive) d. oeficientes de lucro - nálise de Sensiilidade Dado que x e x são V no óptio, asta analisar o produto atricial. Este produto atricial é igual aos valores das variáveis de decisão do Dual pelo que, para anter a ase, é necessário que os valores de y e y oedeça às restrições lógicas y e y. álculo de para o coeficiente c de x S/ VI-8 [ ] [ 4] c c Para anter a ase é necessário garantir c 4 o que origa a: c 4.u../unidade de álculo de para o coeficiente c de x Executando, de igual odo, o cálculo co c oté-se: c / (u../unidade de )

16 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) E resuo, os liites superior e inferior dos intervalos onde se anté a ase corrente são os seguintes: 9. O processo iterativo do cálculo da solução óptia é o seguinte: a. Para anter a ase óptia corrente, variando os segundos eros das restrições técnicas, é necessário garantir a condição geral de adissiilidade, ou seja: + + ) (/ ) / ( ) (/ ) ( /. / / / / ase corrente anté-se se for oservado o conjunto de restrições: + Se fosse efectuada a análise para a variação isolada dos segundos eros, oter-se-ia o seguinte: Na prieira restrição: Para te-se: + Na segunda restrição: Para 6 te-se: + 6 S/ VI-9

17 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios. Espaço definido pelas restrições calculadas na alínea anterior: Espaço de dissiilidade c. Verificar se os valores propostos (8, 6) pertence ao espaço de dissiilidade: ( verdadeiro) ( verdadeio) onclusão: a ase anté-se adissível sendo a nova solução: / / Max f ( X ) 6 / 8 x. / 6 x Nota: Veja-se que o ponto de coordenadas (8, 6) está no espaço de adissiilidade (ver figura anterior). Usando as equações propostas, o quadro óptio é o seguinte: V x x x F F VSM x - F f(x) a. Matrizes que são alteradas: Modelo ase Matriz a ltera Si onsequências no quadro-óptio: Matriz a ltera Si Si INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

18 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios É necessário recalcular os produtos atriciais e : 4 x.. 9 F ; [ ]. solução não é adissível (F -) e portanto a ase corrente deixa de ser óptia. É necessário reoptiizar a solução corrente, aplicando o étodo Dual-Siplex. Partindo do quadro óptio corrente, actualizado co os novos produtos atriciais, teos: V x x x F F VSM Os. x - SNP ; SD F Dual-Siplex f(x) x -8 -/ x - / - f(x) 6 F -/ -/ -/ x 6/ / / 9 f(x) / / / 7 Solução óptia O óptio é atingido co nova ase. Solução óptia; x 9 ; F ; Max f(x) 7. alteração de valores dos segundos eros das restrições, altera a atriz sendo pois necessário recalcular os produtos atriciais e : 4 x.. 6 F ; [ ]. 6 Os novos valores das V são adissíveis (não é pois necessário reoptiizar coo sucedeu na alínea anterior). O óptio continua a ser atingido co a ase corrente. Solução óptia: x ; F 6 ; Max f(x) c. Matrizes que são alteradas (notar que x é VN): Modelo ase Matriz a ltera Si INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

19 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios onsequências no quadro-óptio: Matriz ltera a Si 6 É necessário recalcular [ ]. [ 8] [ 7] No quadro óptio corrente, registaos apenas os valores agora calculados: a V x x x F F VSM x F f(x) 7 e concluíos que a ase corrente continua a ser óptia pois a regra de parage não foi afectada (apenas se alterou o valor de ua variável auxiliar do prolea Dual). d. Matrizes que são alteradas (notar que x é VN): Modelo ase Matriz a ltera Si Si onsequências no quadro-óptio: Matriz ltera Si Si Recalcular os conjuntos atriciais que sofre alteração: 4 a. 4 a [ ]. [ ] [ ] No quadro óptio corrente, registaos apenas os valores agora calculados: V x x x F F VSM x F - f(x) e concluíos que a ase corrente continua a ser óptia pois a regra de parage não foi afectada (apenas se alterou o valor de ua variável auxiliar do prolea Dual). INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-

20 ap. VI nálise de Sensiilidade e Pós-Optiização Soluções dos Exercícios e. Matrizes que são alteradas (notar que x é V): Modelo ase Matriz a ltera Si Si Si Si onsequências no quadro-óptio: Matriz a ltera Si Si Si Si Si Si Nova atriz Recalcular os conjuntos atriciais que sofre alteração: / / / / / / / 9 / / / a [ 6 ]. [ ] [ 6 ]. [ 6 ] [ 4] [ 6 ]. 6 No quadro óptio corrente, registaos os valores agora calculados: V x x x F F VSM x -/ / / F 9/ / -/ 4 f(x) -4 6 e concluíos que a ase corrente não satisfaz a regra de parage. É necessário reoptiizar a solução corrente, aplicando o étodo Prial-Siplex (entra x e sai x ): V x x x F F VSM x -/ / / / F 46/ -/ -/ 7/ f(x) / 8/ / 6/ O óptio é atingido co nova ase ( x / ; F 7/ ; Max f(x) 6/) INVESTIGÇÃO OPERIONL (MS edição de 6) S/ VI-