2º Teste de Mecânica Aplicada II

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1 MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2012/2013 Instituto Superior Técnico 23 de Abril de º Teste de Mecânica Aplicada II Este teste é constituído por 3 problemas e tem a duração de uma hora e meia. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada grupo em folhas separadas Problema 1 (7 Val.) Uma esfera homogénea com massa m = 100 kg gira a uma velocidade angular constante em relação ao braço GA de massa desprezável, que por sua vez roda a uma velocidade angular constante de 4 rad/s em torno do eixo vertical. Considere. a) Construa o diagrama de corpo livre da esfera e determine as duas componentes da reacção em B. [2 Val.] b) Determine o momento angular da esfera. [2 Val.] c) Determine o momento em B aplicado na esfera pela barra. [2 Val.] d) Considere que a velocidade angular se reduz a uma taxa 4 rad/s 2 devido ao atrito existente no apoio A. Determine o novo momento aplicado na esfera em B pela barra. [1 Val.] Problema 2 (6 Val.) A estrutura de uma estação espacial consiste em cinco cascas esféricas ligadas por estruturas tubulares, como ilustrado na figura. O momento de inércia da estação em torno do seu eixo de simetria A-A é k m 2, sendo este o dobro do momento de inércia em torno de qualquer eixo que passe pelo ponto O e seja perpendicular a A-A. A estação está desenhada para, em movimento estacionário, girar em torno do seu eixo de simetria com 10 rad/s e exibir precessão em torno do eixo Z. a) Mostre que a velocidade de precessão pode ser calculada da relação e determine o respectivo valor assumindo que os eixos A-A e Z fazem um ângulo entre si. Indique ainda se é direta ou retrógrada. [2 Val.] b) Um satélite de massa desprezável mas com momento linear k m/s é capturado numa das esferas à distância de m do centro da estação espacial. Calcule o novo momento angular da estação após a captura do satélite. [2 Val.] c) Nas condições da alínea b), calcule os novos valores do ângulo de nutação e da velocidade de precessão da estação. [2 Val.] Problema 3 Sendo as coordenadas cartesianas, considere a seguinte transformação:. Determine: a) Os vectores das bases natural e dual de escritos no referencial cartesiano. [2 Val.] (7 Val.) b) As matrizes da métrica covariante e contravariante de e indique se este sistema de coordenadas é ortogonal. [2 Val.] c) A componente física do vector aceleração, sabendo que a velocidade é dada num ponto genérico por m/s, onde t representa o parâmetro tempo. [3 Val.]

2 Formulário Esfera homogénea: Relações fundamentais da dinâmica: Movimento giroscópico: Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais: Aceleração em coordenadas curvilíneas:

3 MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2012/2013 Instituto Superior Técnico 23 de Abril de 2013 Resolução Problema 1 a) Das equações da dinâmica de translação temos: b) = 4 c) (Nm) = d) (Nm) 6,144

4 Problema 2 a) Corpo axissimétrico em movimento livre: O momento angular é dado por: Por outro lado: Temos assim o sistema de equações: Usando a 1ª e 3ª equações resulta: Resolvendo em ordem a obtemos a expressão desejada: Ou, alternativamente, das equações dadas no formulário para movimento giroscópico, sendo que se trata de movimento livre (sem momento aplicado) e estacionário, ou seja, são constantes, resulta apenas: Aplicando a expressão dada para rad/s com º, obtém-se: rad/s Uma vez que a velocidade de precessão e de rotação própria têm sinais contrários, a precessão é retrógrada. b) Sendo a massa do satélite desprezável, o momento angular da estação após a captura será dado pela soma dos momentos angulares da estação e do satélite relativamente ao centro de massa O da estação, antes da captura:

5 MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2012/2013 Instituto Superior Técnico 23 de Abril de 2013 c) Sabendo que expressão: e usando mais uma vez a 1ª e 3ª equações do sistema da alínea a) obtemos a

6 Problema 3 a) Matrizes de transformação: - inversa:, onde se definiu - directa: Os vectores da base natural (contravariante) de colunas da matriz de transformação inversa: escritos no referencial cartesiano são dados pelas Os vectores da base dual (covariante) de matriz de transformação directa: escritos no referencial cartesiano são dados pelas linhas da b) Matrizes da métrica covariante e contravariante de : - covariante: - contravariante: O novo sistema de coordenadas também é ortogonal porque a métrica é dada por uma matriz diagonal. c) O vector aceleração em coordenadas curvilíneas é dado por: Da expressão acima, a componente do vector aceleração resulta simplesmente:, pois e É necessário calcular um único símbolo de Christoffel e um único factor de escala: Finalmente, a componente física do vector aceleração, sabendo que a velocidade é dada num ponto genérico por m/s, onde t representa o parâmetro tempo, é dada por:

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