2.1. Um consumidor possui a função de utilidade do tipo Cobb-Douglas Considere um consumidor que possui a seguinte função de utilidade:

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1 Microeconoia I Ficha : Capítulos 5, 6 e 8 Exercícios propostos Capítulo 5.1. U consuidor possui a função de utilidade do tipo Cobb-Douglas U(x 1, x ) = x 1 1/3 x /3. a) Utilize o ultiplicador de Lagrange para deterinar as funções procura deste consuidor (isto é, a função que faz corresponder o cabaz de bens óptio para cada nível de rendiento e preços dos bens 1 e dados por p 1 e p, respectivaente). b) Repita a alínea a) utilizando o étodo de substituição e vez do étodo de Lagrange. c) Qual é a fracção do rendiento que o consuidor despende no be 1 (be )? d) Deterine o cabaz de bens que axiiza a utilidade do consuidor quando este dispõe de u rendiento de 90, o preço do be 1 é 1 e o preço do be é... Considere u consuidor que possui a seguinte função de utilidade: U(x 1, x ) = in{x 1, 3x }. a) Deterine as funções procura deste consuidor. b) Deterine agora o cabaz de bens óptio quando o consuidor dispõe de u rendiento de 80 e os preços dos bens 1 e são iguais a. c) Analise o efeito do auento de preço do be 1 para 6 sobre a escolha óptia. Ilustre graficaente a sua resposta..3. Considere u consuidor que possui a seguinte função de utilidade: U(x 1, x ) = x 1 + 3x. a) Deterine as funções procura deste consuidor. b) Deterine agora o cabaz de bens óptio quando o consuidor dispõe de u rendiento de 100, o preço do be 1 é igual a e o preço do be é igual a 4. c) Analise o efeito do auento de preço do be 1 para 3 sobre a escolha óptia. Ilustre graficaente a sua resposta..4. Considere a seguinte função de utilidade: U(x 1, x ) = 4 x " + x. a) Deterine as funções procura deste consuidor. b) Deterine agora o cabaz óptio do consuidor quando o rendiento é 4, o preço de be 1 é 1 e o preço de be é.

2 c) Considere u auento do rendiento para 34. Coo é afectado o cabaz óptio do consuidor? d) Considere ua diinuição do rendiento do consuidor para 9. Coo é afectado o cabaz óptio do consuidor?.5. Quando u consuidor obté satisfação áxia do consuo de dois bens nu óptio interior, a taxa arginal de substituição (TMS) entre estes dois bens deve ser igual ao rácio entre os respectivos preços. Explique porquê..6. Suponha que u consuidor te a função de utilidade: U(x 1, x ) = x 1 + x 1 x + x. Deterine o cabaz de bens (x 1, x ) que axiiza a utilidade do consuidor aditindo que dispõe de u rendiento e que os preços dos bens 1 e são p 1 e p, respectivaente..7. Coente a seguinte afiração: Os consuidores provavelente estaria e piores condições se o Governo coeçasse a racionar u produto que eles consoe..8. A função de utilidade da Ana é dada por U(x 1, x ) = ax{4x 1, x }. a) Desenhe alguas curvas de indiferença da Ana. b) Se o preço do be 1 for 1, o preço do be for p e o rendiento da Ana for, qual é a quantidade do be procurada pela Ana?.9. A função de utilidade do David é U(x 1, x ) = in{x 1 + 5x, 3x 1 + x }, onde x 1 é o núero de colheres de sal e x é o núero de colheres de açúcar consuidas pelo David. Adita que o David consoe actualente 1 colheres de sal e 40 de açúcar e esta é ua escolha óptia. a) Desenhe a curva de indiferença do David que passa sobre o seu actual cabaz de consuo. b) Se o preço de ua colher de açúcar é 10 cêntios, qual é o preço de ua colher de sal e qual é o rendiento do David? Capítulo A função de utilidade da Eunice é do tipo Cobb-Douglas: U(x 1, x ) = x 1 1/3 x /3. a) Obtenha as curvas da procura dos bens e as curvas preço-consuo quando varia o preço do be 1 e quando varia o preço do be. b) Obtenha a curva rendiento-consuo e as curvas de Engel dos dois bens. c) Classifique os bens. São bens norais ou inferiores? São bens vulgares ou de Giffen? Fundaente a sua resposta..11. Considere a função de utilidade do Francisco: U(x 1, x ) = x " + x. a) Obtenha as curvas da procura dos bens e as curvas preço-consuo quando varia o preço do be 1 e quando varia o preço do be. b) Obtenha a curva rendiento-consuo e as curvas de Engel dos dois bens. 1

3 c) Classifique os bens. São bens norais ou inferiores? São bens vulgares ou de Giffen? São bens copleentares perfeitos? Substitutos perfeitos? Fundaente a sua resposta. Capítulo 7.1. U consuidor copara os cabazes x e y aos preços p e q, respectivaente. E cada ua das seguintes alíneas, será que as escolhas do consuidor satisfaze o Axioa Fraco da Preferência Revelada? Justifique. a) p = (1,3), x = (4,), q = (3,5), y = (3,1); b) p = (1,6), x = (10,5), q = (3,5), y = (8,4); c) p = (,), x = (1,), q = (1,), y = (3,1); d) p = (,3), x = (1,5), q = (3,1), y = (3,3). Capítulo A Gabriela consoe dois bens, cujas quantidades são representadas por x 1 e x e co preços 3 e 1, respectivaente. O rendiento actual da Gabriela é 419. Sabendo que a função procura do be 1 pela Gabriela é dada por x 1 (p 1, ) = p 1, qual é o efeito substituição (de Slutsky) e o efeito rendiento na procura do be 1 associados a u auento do preço do be 1 para 4?.14. Adita que, na perspectiva da Raquel, os bens 1 e são substitutos perfeitos e são tais que ua unidade do be 1 proporciona a esa utilidade do que ua unidade do be. Assua ainda que o preço actual de ua unidade do be 1 é 5, o preço actual de ua unidade do be é 6 e que o rendiento da Raquel é 60. Quantifique os efeitos substituição (de Slutsky) e rendiento associados a u auento do preço do be 1 para Desenhe dois diagraas diferentes, ilustrando os efeitos de substituição (de Slutsky) e de rendiento associado a u auento de preço do be 1 (representado no eixo das abcissas) no caso do be 1 ser u be noral e no caso do be 1 ser u be inferior..16. U be de Giffen é obrigatoriaente u be inferior, as há bens inferiores que não são bens de Giffen. Explique.

4 Soluções dos exercícios propostos.1. a) e b) x 1(p 1, p, ) = /3p 1 e x (p 1, p, ) = /3p. c) Fracção do rendiento gasta no be 1: p 1 x 1/ = 1/3; fracção do rendiento gasta no be : p x / = /3. d) x 1(1,, 90) = 90/3*1 = 30 e x (1,, 90) = /3p = *90/3*=30... a) x 1(p 1, p, ) = 3/(3p 1 + p )e x (p 1, p, ) = /(3p 1 + p ). b) x 1(,, 80) = 30 e x (,, 80) = 10. c) x 1(6,, 80) = 1 e x (6,, 80) = a) x " p ", p, = p " se p > 3p " núero entre 0 e p " se p = 3p " x p ", p, = 0 se p < 3p " se p p < 3p " núero entre 0 e p se p = 3p " 0 se p > 3p ".3 b) x 1(, 4, 100) = 0 e x (, 4, 100) = 100/4=5..3 c) O cabaz óptio é o deterinado e b), já que o consuidor continuará a gastar todo o seu rendiento no be..4. a) x 1(p 1, p, ) = 4p /p 1 e x (p 1, p, ) = /p - 4p /p 1..4 b) x 1(1,, 4) = 16 e x (1,, 4) = 4..4 c) x 1(1,, 34) = 16 e x (1,, 34) = 9..4 d) x 1(1,, 9) = 9 e x (1,, 9) = Os bens 1 e são substitutos perfeitos ua vez que U(x 1, x ) =( x 1 + x ). Teos: se p p > p " " x " p ", p, = núero entre 0 e p se = p " p " 0 se p < p " x p ", p, = p se p > p " núero entre 0 e p se p = p ".8. b) x (p ", p, ) = 0 se p < p " 0 se 4p p " > se 4p? p. Logo, x 1, p, = 0 se p 0,5 se p 0,5.9.b) Ua vez que, co x 1 = 1 e x = 40, teos U(x 1, x ) = in{x 1 + 5x, 3x 1 + x }= in{4, 116} = 116. Logo, o cabaz pertence à curva de indiferença de utilidade 116, na porção que te fora funcional x =58-1.5x 1. Ua vez que se trata do óptio, a restrição orçaental te que ter declive -1.5, isto é, - p 1/p = -1.5 óp 1=15. Por outro lado, no óptio, verifa-se a restrição orçaental, isto é: x 1p 1 + x p = ó 1* *10 = ó = 580 cêntios. 3

5 .10. a) A curva preço-consuo quando varia o preço do be 1 é ua linha recta horizontal que passa e (0, /(3p )) e a curva preço-consuo quando varia o preço do be é ua recta vertical que passa e (/(3p 1), 0). A procura do be 1 é x 1 = /(3p 1) e a do be é x = /(3p ). b) A curva de rendiento-consuo é ua linha recta que passa pela orige co declive p 1/p. A curva de Engel do be 1 é ua recta co declive 3p 1 e acurva de Engel do be é ua recta co declive (3/)p. c) Norais (curva de Engel positivaente inclinada) e vulgares (ou ordinários) (curva da procura negativaente inclinada)..11. a) Se p 1 < p, a curva preço-consuo quando varia o preço do be 1 coincide co o eixo das abcissas; se p 1 = p, a curva preço-consuo quando varia o preço do be 1 coincide co ua curva de indiferença; e se p 1 > p, o consuo do be 1 é nulo. A curva de procura do be 1 é dada por: se p p " < p " x " (p ", p, ) = k, k [0, ] se p p " = p " 0 se p " > p.11. b) Se p 1 < p, o consuidor só consoe x 1. Neste caso, a curva rendiento-consuo coincide co o eixo das abcissas, a curva de Engel do be 1 é ua recta co declive p 1 e a curva de Engel do be coincide co o eixo das ordenadas. Se p 1 > p, o consuidor só consoe x. Neste caso, a curva rendiento-consuo coincide co o eixo das ordenadas, a curva de Engel do be 1 coincide co o eixo das ordenadas e a curva de Engel do be é ua recta co declive p..11. c) São bens norais, vulgares (ou ordinários) e substitutos perfeitos..1. a) Ua vez que p.x = 10 e p.y =6, x é revelado preferido a y; coo q.y =14, as q.x = >14, y não é revelado preferido a x; logo, o Axioa Fraco da Preferência Revelada não é violado..1. b) Ua vez que p.x = 40 e p.y =3, x é revelado preferido a y; coo q.y =44, as q.x = 55 >44, y não é revelado preferido a x; logo, o Axioa Fraco da Preferência Revelada não é violado..1. c) Ua vez que p.x = 6 e p.y =8, x não é revelado preferido a y; coo q.y =8 e q.x = 5, y é revelado preferido a x; logo, o Axioa Fraco da Preferência Revelada não é violado..1. d) Ua vez que p.x = 17 e p.y =15, x é revelado preferido a y; coo q.y =1 e q.x = 8, y né revelado preferido a x; logo, o Axioa Fraco da Preferência Revelada é violado..13. Efeito substituição = -4.88; efeito rendiento = Efeito substituição = -1; efeito rendiento = U be de Giffen é u be inferior co u efeito de rendiento uito forte, que ais do que copensa o efeito de substituição. Se assi não for, o be inferior é u be vulgar (ou ordinário). 4

6 Exercícios resolvidos R.1. Seja U(x 1, x ) = in{x 1, x } a função de utilidade da Maria. a) Deterine as funções procura da Maria. O problea de axiização de utilidade é o seguinte: Max U(x 1, x )= in{ x 1, x }, s.a p 1 x 1 + p x, x 1 0 e x 0. Ua vez que as preferências satisfaze a propriedade da não saciedade local, a restrição orçaental verifica-se no óptio, isto é, o consuidor gastará todo o seu rendiento: p 1 x 1 + p x =. Por outro lado, ua vez que estaos perante bens copleentares perfeitos, teos a garantia de que as soluções são interiores e podeos ignorar as restrições de nãonegatividade x 1 0 e x 0. Então, o problea ve: Max U(x 1, x )= in{x 1, x }, s.a p 1 x 1 + p x =, No óptio, tereos necessariaente x 1 = x. De facto, para x 1 > x, ve U(x 1, x ) = in{x 1, x }= x < x 1. Ua vez que p 1 > 0, isto significa que o valor gasto e x 1-3x, que é igual a p 1 (x 1 - x ), não traz qualquer utilidade adicional. Parte deste valor deveria ser gasto e x, de fora a auentar a utilidade da Maria. Da esa fora, ao escolher x 1 < x, teos U(x 1, x ) = in{x 1, x }= x 1 < 3x. Ua vez que p > 0, isto significa que o valor p (x - x 1 ), gasto e x - x 1, não traz qualquer utilidade adicional. Parte deste valor deveria ser usado para coprar o be 1. Conclui-se que só escolhendo u cabaz que satisfaça x 1 = x é podeos esperar que a totalidade do rendiento é be gasta. Por outro lado, no óptio a restrição p 1 x 1 + p x = te que se verificar. Logo, resolvendo o sistea de duas equações forado por p 1 x 1 + p x = e por x 1 = x, teos: E: p 1 x 1 + p x = ó p 1 x + p x = ó x (p 1, p, ) = /(p 1 + p ). x 1 (p 1, p, ) = /(p 1 + p ). b) Deterine a função de utilidade indirecta. 5

7 Substituindo as funções de procura obtidas na alínea anterior na função utilidade, obteos a função de utilidade indirecta: V(p 1, p, ) = in{, }=. p 1 + p p 1 + p p 1 + p R.. A Joana consoe apenas anchovas e bacon. A função de utilidade da Joana é: V = V(x a ; x b ) = x a + x b, onde x a ede a quantidade de latas de anchovas e x b ede a quantidade de ebalagens de bacon. Considere que a Joana enfrenta preços das anchovas e de bacon iguais a 1 e, respectivaente, e que o rendiento da Joana é igual a 40. a) Deterine as funções procura da Joana. Ao gastar todo o rendiento e anchovas, a utilidade da Joana é: V >? I, 0 = >? I. Já ao gastar todo o rendiento e bacon, a utilidade da Joana é: V 0, > = > >. Ua vez que V, 0 = > > > V 0,? K? K? I? I? K = >? K se e só se p L >? I, teos o seguinte: a Joana gastará todo o seu rendiento e anchovas se o bacon for deasiado caro, isto é, se p L >? I ; a Joana gastará todo o seu rendiento e bacon se o bacon for relativaente barato, isto é, se p L <? I Assi, teos: ; e a Joana gastará todo o seu rendiento e anchovas e bacon se p L =? I. x M = p M se p L > p M núero entre 0 e p M se 0 se p L < p M p L = p M 6

8 x L = p L se p L < p M núero entre 0 e p L se 0 se p L > p M p L = p M b) Qual é o cabaz óptio que a Joana pode adquirir? Qual é a utilidade que corresponde ao este cabaz óptio? Ua vez que p M = 1 e p L =, teos > ". Ou seja, verifica-se p L >? I, razão pela qual x M = RS = 40 e x " L = 0. c) Exaine o efeito sobre a situação da escolha óptia para a Joana resultante de auento de preço de anchovas para. Ilustre graficaente a sua resposta. O cabaz óptio da Joana é (0,0), já que continuaos a ter p L >? I, co utilidade áxia V(0,0) = 800. R.3. Seja U(x 1, x ) = x 1 x a função de utilidade da Gabriela. a) Deterine as funções procura da Gabriela. O problea de axiização de utilidade é o seguinte: Max U(x 1, x ) = x " x s.a p 1 x 1 + p x, x 1 0 e x 0. Ua vez que as preferências satisfaze a propriedade da não saciedade local, o consuidor gastará todo o seu rendiento, isto é, a restrição orçaental é verificada co igualdade: p 1 x 1 + p x =. Ua vez que se trata de preferências Cobb-Douglas, teos a garantia de que as soluções são interiores, pelo que podeos ignorar as restrições de não-negatividade. Por fi, podeos logaritizar a função objectivo (o que corresponde a aplicar ua transforação crescente), para facilitar a resolução do problea. O problea ve: Max U(x 1, x ) = ln(x 1 ) + ln(x )/ 7

9 s.a p 1 x 1 + p x =. O que é equivalente a resolver: Max L(x 1, x, l)= ln(x 1 ) + ln(x )/ - l(p 1 x 1 + p x -), onde l é o ultiplicador de Lagrange. As condições de prieira orde são: 1. WX WY Z = 0 " Y Z lp " = 0 " Y Z? Z = l. WX = 0 " lp = 0 = l 3. WX W^ = 0 p "x " + p x = Igualando 1. e., obté-se: " = " x Y Z? Z " Substituindo e 3.: Z p Z x + p x = x (p ", p, ) = > Logo, x " Z > x " (p ", p, ) = > _? Z. Estas são as funções procura dos bens 1 e. b) Deterine o cabaz óptio da Gabriela quando o seu rendiento é 4, o preço de be 1 é 4 e o preço de be é. Calcule o valor áxio da utilidade da Gabriela para estes valores do rendiento e dos preços. Teos x " 4,,4 = R = 4 e x _ R 4,,4 = R = 4. A utilidade áxia é, então: _ U(4, 4) = 4 4=8. c) Considere p 1 = e desenhe a curva de Engel do be 1. Será o be 1 u be noral ou inferior? Justifique. Co p 1 =, teos x " (, p, ) = > _. Assi, a curva de Engel é dada pela equação = 3 x 1 e representada no seguinte diagraa. 8

10 x " Ua vez que a curva de Engel é positivaente inclinada, x 1 é u be noral. d) Considere agora = 30 e desenhe a curva de procura do be 1. Será 1 u be vulgar ou de Giffen para a Gabriela? Justifique. Co = 30, teos x " (p ", p, 30) = S no seguinte A curva de procura do be 1 está representada O be 1 é vulgar já que a curva de procura é negativaente inclinada. e) Adita que p 1 = e = 30. Calcule o efeito de substituição (de Slutsky) e o efeito rendiento associados a ua redução do preço do be 1 para p' 1 = 1. Co p 1 = e = 30, teos x " (, p, 30) = 10. Já co p' 1 = 1 e = 30, teos x " (1, p, 30) = 0. Assi, o efeito total (substituição e rendiento) associado à variação do preço do be 1 é u auento da procura do be 1 de 10 unidades. A alteração do rendiento necessária para garantir que o cabaz inicial esgota o rendiento ao preço final é dada por: = x " p " = 10 ( 1) = 10. Assi, ' = 0 e o efeito de substituição ve: 9

11 x " c = x " p d ", p, d x " p ", p, = O efeito rendiento ve: = x " 1, p, 0 x ", p, 30 = = x " e = x " p d ", p, x " p ", p, = = x " 1, p, 30 x " 1, p, 0 = = 0 3. R.4. O Hugo te a seguinte função utilidade U(x 1, x ) = 5x 1 + x. a) Deterine as funções procura do Hugo. O problea de axiização de utilidade é o seguinte: Max U(x 1, x ) = 5x " + x s.a p 1 x 1 + p x, x 1 0 e x 0. Ua vez que as preferências satisfaze a propriedade da não saciedade local, o consuidor gastará todo o seu rendiento, isto é, a restrição orçaental é verificada co igualdade: p 1 x 1 + p x =. Note-se que a função utilidade revela que o Hugo considera os dois bens substitutos perfeitos. Para que este facto seja evidente, basta pensar que a função utilidade U'(x 1, x ) = 5x 1 + x que é ua transforação crescente da função utilidade original, representa as esas preferências. Neste caso, as soluções são, regra geral, soluções de canto, ou seja, envolve gastar todo o rendiento na copra de u só be, 1 ou. Assi, podeos escrever este problea de axiização da seguinte fora: Max U'(x 1, x ) = 5x 1 + x s.a p 1 x 1 + p x =, x 1 0 e x 0. Se o Hugo gastar todo o seu rendiento no be 1, a utilidade que retira do consuo é: U( >? Z, 0) = i>? Z. Já no caso de gastar todo o seu rendiento no be, a utilidade do Hugo é: U(0, ) = Resolvendo U( >? Z, 0) U(0, ), veos que é óptio para o Hugo gastar todo o seu rendiento e x 1 se e só se as funções procura dos bens 1 e são as seguintes: i>? Z isto é, p? Z i. Assi, 10

12 x " (p ", p, ) = x (p ", p, ) = se p p > p " " 5 k, k [0, p " ] se p = p " 5 0 se p < p " 5 0 se p > p " 5 v, v [0, ] se p p = p " 5 se p p < p " 5 b) Considere p 1 = p = e desenhe a curva de Engel dos bens 1 e. Será o be 1 u be noral ou inferior? E quanto ao be? Justifique. Co p 1 = p =, teos x " (,, ) = >. Assi, a curva de Engel é dada pela equação = x 1 e representada no seguinte diagraa Ua vez que a curva de Engel é positivaente inclinada, o be 1 é u be noral. Já o be te ua procura x (,, ) = 0. Assi, a curva de Engel é: E o be é u be noral. c) Considere agora p = e = 10 e deterine a curva de procura do be 1. 11

13 Co = 10, teos: x " (p ",,10) = 10 p " se p " < 10 k, k 0, 10 p " se p " = 10 0 se p " > 10 d) Adita que p 1 = p = e = 10. Calcule o efeito de substituição (de Slutsky) e o efeito rendiento associados a ua redução do preço do be 1 para p' 1 = 1. Co p 1 = p = e = 10, teos x(,,10) = 5. A redução do preço do be 1 para p' 1 = 1 traduz-se nu auento da procura de 1 para x " (1,,10) = 10 Assi, o efeito total (substituição e rendiento) associado à variação do preço do be 1 é u auento da procura de 1 de 5 unidades. A alteração do rendiento necessária rendiento ao preço final é dada por: para garantir que o cabaz inicial esgota o = x " p " = 5 ( 1) = 5. Assi, ' = 5 e o efeito de substituição ve: x k " = x " p d ", p, d x " p ", p, = = x " (1,,5) x " (,,10) = 5 5 = 0. O efeito rendiento ve: x e " = x " p d ", p, x " p ", p, = = x " (1,,10) x " (1,,5) = 10 5 = 5. 1