(A) 331 J (B) 764 J. Resposta: 7. As equações de evolução de dois sistemas dinâmicos são:

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1 MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 018/019 EIC0010 FÍSICA I 1º ANO, º SEMESTRE 18 de junho de 019 Noe: Duração horas. Prova co consulta de forulário e uso de coputador. O forulário pode ocupar apenas ua folha A4 (frente e verso e o coputador pode ser usado unicaente para realizar cálculos e não para consultar apontaentos ou counicar co outros! Use g = 9.8 /s. 1. (4 valores A barra na figura, co assa = 1.9 kg e copriento = 0.85, pode rodar à volta du eixo horizontal fixo que passa pelo seu centro de assa C, no ponto eio da barra. Dois blocos de kg e 1 kg fora pendurados nos dois extreos da barra, por eio de fios de assa desprezável e coparação co as assas dos blocos. Sabendo que o oento de inércia da barra, e relação ao eixo no centro de assa C, é dado pela expressão 1 1, e desprezando a resistência do ar e o atrito no eixo, deterine as acelerações dos dois blocos, no instante e que a barra está na posição horizontal.. (4 valores Deterine os pontos de equilíbrio do sistea dinâico co equações de evolução: ẋ = x ( 1 y ẏ = x + y C kg 1 kg Encontre a atriz da aproxiação linear na vizinhança de cada u desses pontos, e os seus valores próprios e vetores próprios (caso exista no plano real x y. Co base nos valores próprios, indique que tipo de ponto é cada u dos pontos de equilíbrio. Mostre os pontos de equilíbrio no plano real x y e co base nos vetores próprios obtidos, trace alguas curvas de evolução na vizinhança de cada u desses pontos. PERGUNTAS. Respostas certas, 0.8 valores, erradas, 0., e branco, 0.. U avião está a voar co velocidade de valor 900 k/h, e relação ao ar. Nesse instante, o valor da velocidade do vento é de 50 k/h. Qual dos valores na lista poderá ser o valor da velocidade do avião e relação à terra? (A 1 J (B 764 J (C 8 J (D 66 J (E 191 J (A 85.0 k/h (B k/h (C 95 k/h (D 800 k/h (E 1000 k/h 4. As equações du sistea dinâico co variáveis de estado (x, y fora transforadas para coordenadas polares (r, θ, obtendo-se as equações: θ = ṙ = r r Coo tal, conclui-se que o sistea te u ciclo liite: (A atrativo co r = (B atrativo co r = 0 (C repulsivo co r = (D repulsivo co r = (E atrativo co r = 5. A força tangencial resultante sobre u objeto é s + s + 6, onde s é a posição na trajetória. Sabendo que o retrato de fase do sistea te ua órbita hooclínica que se aproxia assiptoticaente do ponto (a, 0, deterine o valor de a. (A (B -1 (C (D - (E 1 6. Para subir ua caixa co assa de 65 kg, desde o chão até u caião co altura 10 c, u hoe epurra a caixa sobre cilindros (para reduzir o atrito ao longo dua rapa inclinada 0 e relação à horizontal. Deterine o trabalho ínio (quando o atrito e a resistência do ar são desprezáveis que deverá realizar o hoe para subir a caixa ao caião. 7. As equações de evolução de dois sisteas dinâicos são: {ẋ {ẋ = x y y = x y ẏ = x y ẏ = x y Qual das seguintes afirações é verdadeira? (A O 1º é conservativo e o º não é conservativo. (B Nenhu dos dois é linear. (C Abos são conservativos. (D O 1º não é conservativo e o º é conservativo. (E Nenhu dos dois é conservativo. 8. Deterine o ódulo da aceleração da Terra à volta do Sol, sabendo que a distância édia entre o Sol e a Terra é e que a Terra deora 65.5 dias a copletar ua volta e torno do Sol (adita ua órbita circular. (A.4 /s (B /s (C /s (D /s (E /s 9. A equação diferencial: ẍ x + x + 6 = 0 é equivalente a u sistea dinâico co espaço de fase (x, ẋ. Qual dos pontos na lista é ponto de equilíbrio desse sistea? (A (0, 0 (B (1, 0 (C (, 0 (D ( 1, 0 (E (, 0

2 10. U ciclista deora s a percorrer 00, nua pista reta e horizontal, co velocidade unifore. Sabendo que o raio das rodas da bicicleta é 7.8 c e aditindo que as rodas não desliza sobre a pista, deterine o valor da velocidade angular das rodas. (A 49.1 rad/s (B.7 rad/s (C 65.4 rad/s (D 57. rad/s (E 40.9 rad/s 11. O vetor velocidade do objeto 1, e função do tepo, é: v 1 = (1 t î+8 t ĵ (unidades SI e o vetor velocidade do objeto, no eso referencial, é: v = 5 t î + (1 9 t ĵ. Deterine o vetor aceleração do objeto 1 e relação ao objeto. (A 7 î + 1 ĵ (B 7 î + 17 ĵ (C î + 17 ĵ (D î 1 ĵ (E 7 î 1 ĵ 1. Qual das seguintes afirações, acerca da orige no espaço de fase nu sistea dinâico de duas espécies, é correta? (A É sepre ponto de equilíbrio instável. (B É sepre ponto de equilíbrio estável. (C É sepre ponto de equilíbrio, de qualquer tipo. (D Pode não ser ponto de equilíbrio. (E É sepre ponto de equilíbrio, do tipo sela. 1. U caião transporta ua caixa retangular hoogénea, co 60 c de largura na base e 90 c de altura. Quando o caião acelera, nua estrada horizontal, existe suficiente atrito entre a superfície do caião e a caixa evitando que a caixa derrape sobre a superfície, as a aceleração não pode ser aior do que u valor áxio, para evitar que a caixa rode. Deterine esse valor áxio da aceleração do caião. 14. U projetil lançado verticalente para cia atinge ua altura h áxia, que depende da velocidade inicial co que foi lançado, antes de voltar a cair. Se a velocidade for uito elevada, a altura pode atingir valores elevados, onde a aceleração da gravidade já não é a constante g as é dada pela expressão: g R (R + h onde R = é o raio da Terra. Desprezando a resistência do ar, deterine o valor ínio que deverá ter a velocidade inicial, para o objeto atingir ua altura áxia infinita; ou seja, fugir ao capo gravítico da Terra. (A. 10 /s (B /s (C.7 10 /s (D /s (E /s 15. U bloco de assa 1 kg desce deslizando sobre a superfície du plano inclinado co base x = 5 e altura y =. Calcule o ódulo da reação noral do plano sobre o bloco. (A 9.8 N (B 8.4 N (C N (D 8.17 N (E 4. N 16. A trajetória de ua partícula na qual atua ua força central é sepre plana e pode ser descrita e coordenadas polares r e θ. As expressões da energia cinética e da energia potencial central e questão são: E c = (r θ + ṙ U = k r 4 onde é a assa do corpo e k ua constante. Encontre a equação de oviento para r (A r θ 4k r (B r θ + 4k r (C r θ + 4k r (D r θ 4k r (E r θ + 4k r 17. Qual das seguintes equações poderá ser ua das equações de evolução nu sistea predador presa? (A 4.0 /s (B 7.5 /s (C.9 /s (D 5.88 /s (E 6.5 /s (A ẏ = y y (B ẏ = y 5 y (C ẏ = 5 x y + y (D ẏ = 6 y y (E ẏ = x + x y

3 FEUP - MIEIC FÍSICA 1 - EIC /019 Resolução do exae de 18 de junho de 019 Regente: Jaie Villate Problea 1. Mostra-se a a resolução por dois étodos diferentes: ecânica vetorial e ecânica lagrangiana. (a Mecânica vetorial. É necessário separar o sistea e corpos rígidos (blocos e barra, porque o oviento de cada u deles é diferente: a barra roda, se se deslocar e os blocos desloca-se se rodar. A figura seguinte ostra os diagraas de corpo livre de cada u dos três corpos. No caso da barra, por ter oviento de rotação e torno de u eixo fixo, não há necessidade de indicar as forças que atua no eixo. C T T 1 T 1 T g g A barra terá aceleração angular α no sentido contrário aos ponteiros do relógio. A aceleração do bloco do lado esquerdo será a = α(/, para baixo, e o bloco do lado direito terá a esa aceleração a, as para cia. Coo tal, as equações de oviento dos corpos são as seguintes: T 1 ( g T 1 = a T g = a ( T = 1 1 α As duas prieiras equações perite encontrar as tensões nos cabos, e função da aceleração: T 1 = (g a T = g + a Na terceira equação, substitui-se α = a/ e, a seguir, as expressões encontradas para as tensões: T 1 T = a = a = g 4 + = 4. s (b Mecânica lagrangiana. Considera-se o oviento do sistea copleto. A barra rodará u ângulo θ, enquanto os blocos descreverão dois arcos de círculo, abos co o eso copriento s = θ /, tal coo ostra a figura seguinte. θ C θ s s 1

4 Coo tal, o sistea te u único grau de liberdade: basta usar θ(t ou s(t para descrever o oviento de todo o sistea. Escolhendo s, as duas variáveis de estado serão s e v = ṡ, e existirá ua única equação de agrange. O oviento de cada u dos blocos é de translação, nu círculo co raio /, co velocidade v = ṡ. O oviento da barra é rotação co velocidade angular ω = v/(/. Coo tal, a energia cinética do sistea, e função da variável de estado v, é: E c = v + v + 1 ( 1 1 ( v ( = + v 6 A energia potencial, usando coo posição de energia nula a posição horizontal da barra, é o peso do bloco da direita, vezes a altura que sobe quando a barra roda o ângulo θ = s/(/, enos o peso do bloco da esquerda, vezes a altura que desce quando a barra roda. E função da variável de estado s, a energia potencial é: ( U = g sin ( s g ( sin ( s = g sin ( s A aceleração tangencial dos blocos, a = v, obté-se aplicando a equação de agrange para sisteas conservativos co u único grau de liberdade s: ( d Ec E c dt v s + U (4 s = + ( s a g cos = 0 = a = g ( s 4 + cos Substituindo a assa da barra e s = 0 (posição horizontal, obté-se a = 4. /s. Problea. Os pontos de equilíbrio são as soluções das duas equações: { x ( 1 y = 0 x + y = 0 = { x = 0,, y = 1,, y = 1 y = x que conduze a três pontos de equilíbrio no plano x y: P 1 = (0,0 P = ( 1,1 P = (1, 1 Derivando as duas expressões das equações de evolução, e orde a x e a y, obté-se a atriz jacobiana: [ 1 y ] x y J = 1 1 No ponto P 1, a atriz da aproxiação linear é então, [ ] 1 0 A 1 = 1 1 a soa dos valores próprios é e o seu produto 1, ou seja, os dois valores próprios são iguais a 1. Coo tal, P 1 é nó ipróprio repulsivo. Os vetores próprios obtê-se resolvendo o sistea de equações lineares: [ ][ ] [ ] 0 0 x 0 = = x = y 0 Qualquer vetor no eixo dos y é vetor próprio. Nos pontos P e P, a atriz da aproxiação linear é a esa: [ ] 0 A = A = 1 1

5 A equação dos valores próprios é: λ 1 1 λ = 0 = λ λ = 0 = (λ (λ + 1 = 0 Há dois valores próprios, λ 1 = e λ = 1. Coo tal, os pontos P e P são pontos de sela. Os vetores próprios correspondentes a λ 1 = são as soluções do sistea: [ 1 1 ][ x y ] = [ ] 0 0 = y = x os vetores próprios estão na reta co declive +1, que passa pelo ponto de equilíbrio (P ou P. Os vetores próprios correspondentes a λ = 1 são as soluções do sistea: [ 1 1 ][ x y ] = [ ] 0 0 = y = x os vetores próprios estão na reta co declive 0.5, que passa pelo ponto de equilíbrio (P ou P. A partir dos valores e vetores próprios obtidos, conclui-se que na vizinhança de P 1 há duas curvas de evolução retas que se sae do ponto, na direção do eixo dos y; as restantes curvas de evolução que sae do ponto são todas curvas. Nos pontos P e P, há duas curvas de evolução que sae do ponto de equilíbrio, co declive igual a 1, e outras duas curvas de evolução retas, que terina no ponto de equilíbrio, co declive A figura seguinte ostra esses resultados: Perguntas. C 6. B 9. C 1. C 15. B 4. D 7. C 10. B 1. E 16. A 5. D 8. C 11. B 14. B 17. C

6 Cotações Problea 1 (a Mecânica vetorial. Diagraa de corpo livre /equação de oviento do bloco Diagraa de corpo livre /equação de oviento do bloco 0.8 Diagraa de corpo livre /equação de oviento da barra 0.8 Indicar que as acelerações dos blocos tê o eso valor absoluto 0.6 Relação entre a aceleração dos blocos e a aceleração angular da barra 0.6 Resolução das equações de oviento 0.4 (b Mecânica lagrangiana. Indicar que as velocidades dos blocos tê o eso valor absoluto 0.4 Relação entre a velocidade dos blocos e a velocidade angular da barra 0.4 Energia cinética do sistea, e função das variáveis de estado 1. Energia potencial do sistea, e função das variáveis de estado 1. Aplicação da equação de agrange 0.4 Resolução para obter o valor da aceleração 0.4 Problea Obtenção dos pontos de equilíbrio 0.4 Matriz jacobiana 0.4 Matrizes das aproxiações lineares 0.4 Valores / vetores próprios do ponto na orige 0.6 Valores / vetores próprios dos outros dois pontos 0.6 Classificação correta dos pontos 0.8 Gráfico 0.8 4