( ) ( ) Gabarito 1 a Prova de Mecânica dos Fluidos II PME /04/2012 Nome: No. USP. x y x. y y. 1 ρ 2

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Lucca Palma
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1 Gabarito a Prova de Mecânica dos Fluidos II PME /04/0 Noe: No. USP ª Questão (3,0 pontos): E u escoaento plano, não viscoso e incopressível, u x, y = A, onde A é ua constante diensional. a) (0,5 pto.) Deterinar v x, y sabendo que v( x, 0) = 0. b) (0,5 pto.) Deterinar o tensor taxa de deforação. c) (0,5 pto.) Deterinar as linhas de corrente do escoaento e fazer u desenho no plano para A > 0. d) (0,5 pto.) É válida a equação de Bernoulli nua linha de corrente? Por quê? e) (0,5 pto.) Se for válida a equação de Bernoulli, a constante de Bernoulli é a esa para todo o escoaento? Por quê? f) (0,5 pto.) Se for possível, deterinar o capo de pressão desprezando forças de volue e sabendo que p 0,0 = p. ( ) 0 ( ) Solução: a) Da equação de continuidade: + = 0 = = A Integrando: v ( x, y) = A y + f ( x) Da condição de contorno: v ( x, 0) = 0 f ( x) = 0 Resulta finalente: v( x, y) = A y b) O tensor taxa de deforação resulta: ε A ; ε = A ; ε = 0 x x = y y x y dy y dy dx c) Da equação de linha de corrente: = = ln y + ln x = lnc dx lc x y x C Resulta finalente: y =, onde C é ua constante diensional. As linhas de corrente resulta x hipérboles. d) A equação de Bernoulli é válida ao longo de ua linha de corrente. e) Coo ζ = 0, a constante é válida para todas as linhas de corrente. ρ f) O capo de pressões resulta: p + A ( x + y ) = cte Da condição de contorno, resulta p = cte p( x, y) p = ρ A ( x + y ) 0 0 ( ) x

2 ª. Questão (3.5 ptos). Vaos aditir, nua prieira aproxiação, que a trajetória de ua bola de futebol co rotação possa ser deterinada pela solução do escoaento potencial ao redor de u cilindro girando co 0, de diâetro e 0,5 de copriento no sentido perpendicular ao plano do escoaento. Adita que a trajetória da bola é u arco de circunferência co raio de curvatura R 0. Esse raio de curvatura é obtido considerando que a força de sustentação devido a rotação seja igual à força centrípeta, isto é F sustentação = F V centrípeda = ê r. Isto posto, considere o caso indicado na figura abaixo, no qual ocorre a cobrança R 0 de ua falta. A falta é cobrada a ua distância de 43,3 do gol e a barreira está localizada a ua distância de 9,5 da bola e te ua largura L igual a 3 (vide figura). Adita que a velocidade da bola após a cobrança seja igual a 80k/h e que o odulo desta velocidade antenha-se constante. Adita que no oento da cobrança da falta o ângulo α = 30 0 e a velocidade angular ω = 0rad / s (sentido anti-horário). Considere que a assa da bola é de 450g, a assa específica do ar ρ =, kg / 3 e o gol te 7 de largura. Pede-se: a) (,0 pto.) Calcule a força (direção e sentido) exercida na bola devido a rotação. b) (0,5 pto.) Qual o raio de curvatura R 0 da trajetória da bola devido a rotação dela? c) (0,5 pto.) Deterine as coordenadas do centro de curvatura ( x centro, y centro ), e relação à orige (ponto de cobrança da falta). d) (,0 pto.) Deterine a quantos etros a bola passa da barreira e deterine x no instante que a bola atravessa a linha de fundo (y=43,3). Ocorre o gol ou não? Dica: equação da trajetória é a da circunferência cuja equação é ( x x centro ) + ( y y centro ) = R 0. e) (0,5 pto.) Deterine os pontos de estagnação no cilindro e esboce as linhas de corrente nu referencial fixo e relação à bola.

6 3ª. Questão (3.5 pontos). U fluido não viscoso, nu escoaento incopressível e irrotacional, passa ao Q redor de ua parede na qual existe u suidouro de intensidade = localizado na orige, coo π ostrado na figura. No infinito o escoaento é paralelo co velocidade unifore p corrente livre. a) (0,5 pto.) Fazer u desenho ostrando linhas de corrente representativas do escoaento. b) (0,5 pto.) Deterinar as velocidades. c) (0,5 pto.) Deterinar o capo de pressão. e pressão estática da d) (,0 pto.) Encontrar a distribuição de pressão adiensional!! =!!!!!!/!!!!!!! ao longo da parede coo função de! =!!!! /!. e) (,0 pto.) Fazer u gráfico da distribuição de pressão adiensional do ite anterior. Dicas: ) Notar que para u ponto na parede na posição x < 0 resulta r x e θ = π, enquanto para u ponto na parede na posição x > 0 resulta r x e θ = 0. ) Notar que x = U resulta u ponto de estagnação. U Solução: a) As linhas de corrente corresponde a u sei-corpo de Rankine, co u ponto de estagnação à direita do suidouro. b) A função corrente resulta: ψ = U r senθ θ!!! ψ ψ As velocidades resulta: v r = = U cosθ ; vθ = = U senθ r θ r r c) Quadrado do ódulo da velocidade: V = vr + vθ = U cosθ + U sen θ r cosθ V = U U + r r Por Bernoulli: + = + = V cosθ p ρ U = p ρv p p ρ U ρu U U r U r d) Adiensionalizando a distribuição de pressão, resulta: c p p p cosθ ( r, ) = = θ, onde r ρ U r r xu c p x =, onde x =. x x Para a posição da parede, resulta: ( ) Veos que p = 0 e) A distribuição resulta: c e que ( ) = c (ponto de estagnação). p ru =.!

7 # 0,5# 0#!3#!,5#!#!,5#!#!0,5# 0# 0,5# #,5# #,5# 3#!0,5#!#!,5#!#!,5#!3# Forulário: ρ A A x y Az Equação de continuidade: +. ( ρv ) = 0 ;. A = + + t z Tensor taxa de deforação: ε x x = ; ε y y = ; ε x y = + Equação da linha de corrente: dy v = ; Vorticidade coponente z : ζ = dx lc u Equação de Bernoulli: p + ρ V = cte ψ unifore = U r senθ, ψ suidouro = θ, Função linha de corrente de u cilindro de raio! girando ierso nu escoaento unifore: a Γ ψ cilindrogirando = U rsenθ ln r r π ψ ψ v r = ; vθ = r θ r L Γ = V dl ; Teorea de Kutta-Joukowski: = ρu Γ ; Bernoulli: p + ρ V = cte b C Equação da circunferência de raio! e centro e x centro, y centro Força centrípeta: F V centrípeda = ( ) :( x x centro ) + ( y y centro ) = R 0 R 0 ê r

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