comprimento do fio: L; carga do fio: Q.

Transcrição

1 Ua carga Q está distribuída uniforeente ao longo de u fio reto de copriento. Deterinar o vetor capo elétrico nos pontos situados sobre a reta perpendicular ao fio e que passa pelo eio do fio. Dados do problea copriento do fio: ; carga do fio: Q. Esquea do problea O vetor posição r vai de u eleento de carga d q do fio até o ponto P onde se deseja calcular o capo elétrico, o vetor r q localiza o eleento de carga e relação à orige do referencial e o vetor r p localiza o ponto P (figura-a) r = r p r q figura Pela geoetria do problea deveos escolher coordenadas cartesianas, o vetor r q só possui coponente na direção i, é escrito coo r q = x i e o vetor r p só possui coponente na direção j, é escrito coo r p = j (figura -B), então o vetor posição será r = j x i (I) Da expressão (I) o ódulo do vetor posição r será r = x r = x (II) Solução O vetor capo elétrico do fio é dado por π 0 dq r r r π 0 d q r r (III) Da expressão da densidade linear de carga (λ) obteos o eleento de carga d q

2 = d q d s d q = d s (IV) onde d s é u eleento de copriento do fio, assi d s = (V) substituindo (V) e (IV) substituindo (I), (II) e (VI) e (III), teos π 0 d q = [ x π 0 x x i j x i j (VI) (VII) Coo a densidade de carga λ é constante, a integral depende apenas de x, ela pode sair da integral, podeos escrever π 0 x i j x Coo o ponto P está sobre a reta que divide o fio ao eio a integral será feita sobre todos os eleentos de copriento indo de (figura ) até figura π 0 x x i j colocando e evidência no nuerador e no denoinador, teos π 0 [ x x i j π 0 [ π 0 [ x x x i j x i j

3 π 0 [ x Considerando o ângulo edido entre o eixo- e a distância R do eleento de carga d q ao ponto P, a tangente deste ângulo será (figura ) x i j (VIII) tg = x (IX) substituindo a expressão (IX) e (VIII), teos figura π 0 [ tg tg i j π 0 tg tgi j (X) A partir da expressão (IX) obteos o eleento de copriento e relação ao eleento de arco d fazendo a udança de variável x = tg derivada de tg e relação a re-escrevendo tg = sen, teos a derivada de u quociente de funções dada pela fórula cos u v ' = u' v u v ' v tg ' = sen cos ' cos cos sen sen = = cos sen = cos cos cos Observação: via de regra os livros de Cálculo Integral e Diferencial apresenta a derivada da tangente na fora tg ' = sec, onde sec =, as aqui por razões de cos siplificações posteriores vaos deixar a derivada na fora ostrada acia. = cos d (XI) substituindo a definição da tangente e a expressão (XI) e (X), teos π 0 [ sen cos d cos sen cos i j

4 π 0 [ sen cos d cos sen cos i j Os extreos de integração para a variável deve variar de, o valor áxio edido no sentido horário, quando x vale até, o valor áxio edido no sentido anti-horário, quando x vale (figura ) figura π 0 sen cos d cos sen cos i j π 0 cos sen cos d cos sen cos ij π 0 cos d cos sen cos i j π 0 cos d cos sen cos i j π 0 cos d cos sen cos i j π 0 cos d sen cos i j π 0 cos d sen cos i j Coo é constante, a integral depende só de, ele pode sair da integral e sendo a integral da soa igual a soa das integrais podeos escrever π 0 cos sen cos d i cos d j

5 π 0 j sen d i cos d 0 integração de cos d.º étodo Coo a função cosseno é ua função par, f x = f x, podeos integrar sobre etade do intervalo (de 0 à ) e ultiplicar a integral por 0 cos d = sen 0 = sen sen0 = sen 0 = sen.º étodo Podeos integrar sobre todo intervalo (de à ) cos d = sen = sen sen coo seno é ua funcão ípar, f x = f x, teos que sen = sen cos d = sen sen = sensen = sen integração de sen d.º étodo sen d = cos = [ cos cos coo coseno é ua funcão par, f x = f x, teos que cos = cos.º étodo sen d = cos cos = 0 O gráfico do seno entre e 0 possui ua área negativa abaixo do eixo-x e entre 0 e ua área positiva acia do eixo-x estas duas áreas se cancela no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero. na direção i. 5

6 Observação: a integral na direção i, que é nula, representa o cálculo ateático para a afiração que se faz usualente de que as coponentes do capo elétrico paralelas ao eixox (d E P) se anula. Apenas as coponentes norais ao eixo x (d E N) contribue para o capo elétrico total (figura 5 abaixo). π 0 0 i sen j π 0 sen j π 0 sen j (XII) A densidade linear de carga do fio todo é dada por = Q figura 5 (XIII) substituindo a expressão (XIII) e (XII), obteos O seno de pode ser obtido da figura 6 sen = r sen = Q π 0 sen j (XV) r I A hipotenusa r é dada pelo Teorea de Pitágoras r = r = substituindo a expressão (XVI) e (XV), teos r = r = r = sen = sen = substituindo a expressão (XVII) e (XIV), obteos finalente figura 6 (XIV) (XVI) (XVII) 6

7 Q π 0 j Q π 0 j 7