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- Igor Sacramento Gorjão
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1 Determine o otencial elétrico de um diolo a Num onto P qualquer, a uma distância r da carga ositiva e a uma distância r da carga negativa; b Obtenha a eressão ara ontos muito afastados do diolo. c Determine o camo elétrico gerado elo diolo num onto P muito distante do centro do diolo em coordenadas olares. d Determine o vetor camo elétrico gerado elo diolo num onto P muito distante do centro do diolo em coordenadas cartesianas. e Determine o vetor camo elétrico gerado elo diolo ara ontos da mediatriz muito afastados do diolo; f Determine o vetor camo elétrico gerado elo diolo ara ontos sobre a reta que une as duas cargas muito afastados do diolo. Solução aconsideremos uma carga q =+q num onto = +d e uma carga q = q num onto = d, estas cargas roduzem um otencial elétrico num onto P do esaço (figura. O otencial elétrico é dado ela soma do otencial elétrico gerado elas cargas V = V i i V = V +V V = q r + q r substituindo os valores das cargas, temos V = q + ( q r r V = q q r r V = q ( r r V = q ( r r r r (I figura b Para o cálculo do ontencial elétrico em ontos muito afastados do diolo analisamos a região róima da origem do sistema onde estão as cargas que formam o diolo (figura -A em destaque. Os segmentos de reta r e r são raticamente aralelos, então odemos traçar uma linha auiliar que vai da carga ositiva erendicularmente ao segmento r, determinando o onto A, com isto temos o triângulo retângulo formado elas cargas +q, q e elo onto A, onde temos um cateto dado ela a diferença de caminhos entre os segmentos r e r, dado or r r e a hiotenusa será a distância entre as cargas dada or d ( d = d, então o cosseno do ângulo será cos θ r r d r r d cosθ (II
2 figura Como o onto P está muito afastado os segmentos r e r têm raticamente o mesmo tamanho e são iguais ao segmento r que vai do onto P à origem do sistema (figura - B, assim odemos escrever r r r (III Substituindo as eressões (II e (III na solução do item anterior temos V = q d cosθ r Sendo o momento de diolo dado or = d q, obtemos V = cosθ r c O vetor camo elétrico é dado or menos o gradiente do otencial E = V onde é o oerador nabla que em coordenadas olares é dado or ( r e + r r onde e r e e θ são os vetores unitários nas direções r e θ (IV θ e θ, E = ( r e r + r E = ( r e r + r θ θ e V V θ e θ
3 cálculo das derivadas arciais do otencial elétrico dado na solução do item anterior V = derivada em r r = r ( cosθ r : cos θ r = cos θ r ( r = cos θ ( r r = cosθ r, = cosθ ( r = na derivada em r o valor de θ é constante e o cosseno sai da derivada. derivada em θ θ = cosθ θ ( r = ( cosθ = sen θ 4 π ϵ 0 r θ ( sen θ = 4 π ϵ 0 r 4 π ϵ 0 r, na derivada em θ o valor de r é constante e sai da derivada. E = ( cosθ r e r r senθ r e θ E = e seu módulo será E = ( r ( cosθ e r +senθ e θ r ( cosθ +( senθ E = r 4 cos θ+sen θ figura d Da figura 4 obtemos as seguintes relações r = +y (V r = ( +y (VI cosθ = r (VII substituindo as eressões (V e (VII na solução do item (b, temos substituindo a eressão (VI em (VIII V = V = ( +y ( +y r ( +y figura 4 (VIII
4 V = ( +y (IX Usamos novamente a eressão (IV no valor do otencial elétrico acima ara calcular o vetor camor elétrico, em coordenadas cartesianas o oerador nabla será dado or ( i+ y j, onde i e j são os vetores unitários nas direções e y E = ( i+ y j V E = ( V V i+ y j cálculo das derivadas arciais do otencial elétrico dado ela eressão (IX V = ( +y : derivada em : = = ( +y ( +y constante. A derivada em é o quociente de duas funções, calculado ela regra ( f g ' = f ' g f g ' g,na derivada em o valor de y é com f = e g = ( +y, a função g é uma função comosta gu( e sua derivada é dada ela regra da cadeia com g(u = u e u( = +y ( +y = = ( f g ' = ( d d g u( d.( +y.( +y = d g d u d u d f d ( g f d g du ( d u d = g. = ( ( +y = ( +y ( +y ( +y = ( y +y ( +y ( +y = ( y ( +y ( +y = ( +y = ( y ( +y 4
5 derivada em y: y = y ( +y é constante. Re-escrevendo = ( +y,na derivada em y o valor de f = ( +y = ( +y a função f é uma função comosta f u ( e sua derivada é dada ela regra da cadeia com f (u = u e u( = +y ( +y = ( +y y = d f u( = d f d d u y = d u d ( y = y ( +y = E = ( y ( +y y ( +y y ( +y i y ( +y E = ( y i+ y j 4πϵ ( +y 0 ( +y E = ( y i+ y j ( +y j y ( +y E = ( +y ( y i+ y j e seu módulo será E = 4π ϵ ( 0 ( +y E = y +y 4 +9 y ( +y ( y +( y E = ( +y y +y 4
6 e Fazendo = 0 na solução do item anterior, temos (figura E = ( 0 +y E = ( y E = E = (.0 y i+. 0. y j y i y y i y i e seu módulo E = y figura f Fazendo y = 0 na solução do item (d, temos (figura 6 e seu módulo E = πϵ 0 E = i ( +0 E = ( 0 i+.0.y j ( E = i i E = πϵ 0 figura 6 6
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J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 é zero (exceto o caso em que as tres retas são paralelas).
MAT 105- Lista de Exercícios 1. Prolongue o segmento com extremos em (1, -5) e (3, 1) de um comprimento de (10) unidades. Determine as coordenadas dos novos extremos. 2. Determine o centro e o raio da
( ) Assim, de 2013 a 2015 (2 anos) houve um aumento de 40 casos de dengue. Ou seja: = 600 casos em 2015.
Resposta da questão : [B] É fácil ver que a equação da reta s é = 3. Desse modo, a abscissa do ponto de interseção das retas p e s é tal 8 que 3 = + 3 =. 7 8 7 8 7 Portanto, temos = 3 = e a resposta é,.
raio do disco: a; carga do disco: Q; distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
Um disco de rio está crregdo niformemente com m crg Q. Clcle o vetor cmpo elétrico: ) Nm ponto P sobre o eixo de simetri perpendiclr o plno do disco m distânci do se centro. b) No cso em qe o rio d plc
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u
Problemas 21/03/2012. (b) Como mostramos no item (a), as componentes do vetor posição ( r) são: x = t 2
Problemas 1/0/01 Problema 1 Uma partícula possui uma aceleração constante a = 6m/s ) î + 4m/s ). No tempo t = 0, a velocidade é nula e o vetor posição é r 0 = 10m) î. a) Determine os vetores velocidade
Lista de exercícios de GA no espaço
Lista de GA no espaço 1 Lista de exercícios de GA no espaço Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 2017 01) Dado A(1, 0, 1), qual é o ponto mais próximo de A que pertence ao plano gerado pelas
3. G. Strang, Algebra linear e aplicac~oes, 4 o Edic~ao, Cengage Learning.
1 0 Lista de Exerccio de MAT011 (1 0 semestre 014) Turmas: 0141 e 01414 Referncias rinciais(nas quais a lista foi baseada): 1. Reis e Silva: Geometria Analtica. Stewart: Calculo I. G. Strang, Algebra linear
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ransformação Linear RNSFORMÇÕES LINERES Sejam e espaços vetoriais reais Dizemos que uma função : é uma transformação linear se a função preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto
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A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y
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