Problemas 21/03/2012. (b) Como mostramos no item (a), as componentes do vetor posição ( r) são: x = t 2
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- Aníbal Cláudio Estrela Martins
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1 Problemas 1/0/01 Problema 1 Uma partícula possui uma aceleração constante a = 6m/s ) î + 4m/s ). No tempo t = 0, a velocidade é nula e o vetor posição é r 0 = 10m) î. a) Determine os vetores velocidade e posição em qualquer tempo t. b) Obtenha a equação da trajetória da partícula no plano xy e esquematize-a. Solução a) A aceleração é constante, portanto o movimento é uniformemente variado, e podemos escrever as equações: v = v 0 + at [ ] v = 0 + 6) î + 4) t v = 6t) î + 4t) r = r = r = r 0 + v 0 t + at [ ] [ ] 6) î + 4) t 10) î [ ] [ 10) î ) î + ) ] t r = 10 + t ) î + t ) b) Como mostramos no item a), as componentes do vetor posição r) são: x = 10 + t y = t Para obter a equação da trajetória, é necessário expressar y em função de x, e não mais em função de t. Isso pode ser feito primeiramente expressando t em função de x: x = 10 + t E depois substituindo na expressão de y: t = x 10 y = t 1
2 y = x 10) Problema Maria e Roberto decidem encontrar-se no lago Michigan. Maria parte em seu barco de Petoskey às 9:00 da manhã e navega para o norte a 8 mi/h. Roberto deixa sua casa na margem da ilha de Beaver, 6 mi, 0 a noroeste de Petoskey às 10:00 da manhã e se move com velocidade constante de 6 mi/h. a) Qual é a direção que Roberto deve tomar para interceptar Maria? b) Onde e quando eles se encontrarão? Solução Adote î na direção leste e na direção norte. Adote a origem do sistema de coordenadas em Petoskey. Ilha de Beaver Nortey) ponto de encontro 6mi 0 Petoskey Lestex) A posição inicial de Maria, em Petoskey, é dada pelo vetor posição: r M0 = 0 A posição inicial de Roberto, na ilha de Beaver, é dada pelo vetor posição: [ ] R0 = 6 sin 0 ) î + cos 0 ) = 6 1 ) ) î + 6 = ) î + ) Tanto o módulo 8 mi/h) como a direção e sentido norte) da velocidade de Maria são dados pelo enunciado. O vetor pode ser representado da seguinte forma: v M = 8
3 Apenas o módulo 6 mi/h) da velocidade de Roberto é dado pelo enunciado. A direção e o sentido não são conhecidos. Se representarmos a direção e o sentido pelo ângulo θ Rx a ser determinado), o vetor velocidade é expresso da seguinte forma: [ ] v R = 6 cos θ Rx ) î + sin θ Rx ) Considere o instante t = 0 como ocorrendo às 9:00 da manhã. Tanto Maria como Roberto se movem com velocidade vetorial constante movimento uniforme), portanto podemos escrever as equações de posição da seguinte forma: M = r M0 + v M t = t M = 8t) R = R0 + v R t 1) = ) î + ) [ ] + 6 cos θ Rx ) î + sin θ Rx ) t 1) R = + 6 cos θ Rx t 1)) î sin θ Rx t 1)) Acima, utilizamos t 1) como variável de tempo de Roberto para corrigir o fato de que ele saiu 1h mais tarde que Maria. Note que t = 1 t 1) = 0. No instante em que Roberto intercepta Maria, temos M = R : 0)î + 8t) = + 6 cos θ Rx t 1)) î sin θ Rx t 1)) Igualando as componentes de mesma direção do lado esquerdo e do lado direito da equação, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas t e θ Rx ): Por que não determinar primeiro o θ Rx? 0 = + 6 cos θ Rx t 1) 8t = + 6 sin θ Rx t 1) O melhor caminho para resolver este problema não é, como primeiro passo, determinar a direção que Roberto deve tomar para interceptar Maria. Para tentar calcular o ângulo θ Rx, que dá a direção de Roberto, vamos isolar t na primeira equação do sistema: 0 = + 6 cos θ Rx t 1) 6 cos θ Rx t 1) = t = cos θ Rx E substituir, então, na segunda equação do sistema, a m de obter uma equação envolvendo somente θ Rx : t = + 6 sin θ Rx t 1) 6 cos θ Rx ) = + 6 sin θ Rx = + tan θ Rx cos θ Rx 4 sec θ Rx tan θ Rx = 8 6 cos θ Rx A equação acima é transcendental. Caso resolvida com o auxílio de um computador, obtemos dois valores possíveis de θ Rx : 14, 65 e 69, 04. Entretanto, existe uma forma de resolver este problema sem utilizar um computador, que será descrita a seguir. )
4 Calculando primeiramente o tempo de encontro t) Se tentarmos resolver o sistema determinando primeiramente t em vez de θ Rx, chegaremos a uma equação de segundo grau, que pode ser resolvida com uma calculadora comum. Para isso, isolaremos cos θ Rx e sin θ Rx no sistema de equações: 0 = + 6 cos θ Rx t 1) cos θ Rx = 6 t 1) 8t = + 6 sin θ Rx t 1) sin θ Rx = 8t 6 t 1) Utilizamos, então, a conhecida relação trigonométrica: sin θ Rx ) + cos θ Rx ) = 1 8t ) ) + = 1 6 t 1) 6 t 1) 64t 08 t ) + 169) 6t = 1 7t t 08 t = 6t 7t + 6 8t ) t = 0 Resolvendo a equação de segundo grau acima, obtemos dois valores possíveis para t: 7 t = ) ± t 1 =, 40h às 1:14:) e t = 7, 056h às 16:0:1) Já os dois valores possíveis de θ Rx podem ser calculados a partir de uma das duas equações do sistema, por exemplo: cos θ Rx = 6 t 1) ) θ Rx = arccos 6 t 1) θ Rx1 = 14, 65 e θ Rx = 69, 04 O local onde eles se encontram pode ser obtido de uma das expressões dos vetores posição M ou R, sendo que M é muito mais fácil de calcular): M = 8t) r encontro1 = 8 t 1 ) = 5, 9 mi) r encontro = 8 t ) = 56, 45 mi) 4
5 Solução alternativa É possível resolver o problema, também, de forma geométrica. Ilha de Beaver Nortey) ponto de encontro 6mi 0 8mi Petoskey Lestex) Primeiramente, determinamos as coordenadas da ilha de Beaver: [ ] B = 6 sin 0 ) î + cos 0 ) = 6 1 ) ) î + 6 = ) î + ) Desta forma, passamos a saber o comprimento dos catetos do triângulo-retângulo cuja hipotenusa liga Beaver a Petoskey. Agora podemos calcular o ângulo α e a distância d B corrigidas devido ao fato de Maria ter partido 1h antes de Roberto consideramos t = 0 às 10:00). Para isso, vamos trabalhar no triângulo-retângulo cuja hipotenusa é d B. d B = ) 8 + ) tan α = 8 d B = 19, 4868mi α = 41, 845 Da gura, notamos que o ângulo β = 90 α = 48, Seja o ângulo γ = θ Rx + β. Agora, podemos utilizar a Lei dos Senos no triângulo cujos lados são 8t, 6t e d B : ) sin α 6t = sin γ 8t sin γ = 4 sin α γ = arcsin 4 sin 48, 1548 ) γ = arcsin 0, 88949) = 6, 8096 Entretanto, note que a função arcsin da calculadora só retorna ângulos entre 0 e 90. Nada impede, na geometria do problema, que o ângulo γ = θ Rx + β seja maior que 90. Perceba que: sin 180 γ) = sin 180 ) cos γ) sin γ) cos 180 ) = sin γ) O fato de que sin 180 γ) = sin γ) também pode ser percebido observando um ciclo trigonométrico. Isso mostra que devemos considerar, além do ângulo γ, o ângulo γ = 180 γ = 117, Como γ = θ Rx + β, podemos calcular: θ Rx = γ β = 6, , 1548 = 14, 65 θ Rx = γ β = 117, , 1548 = 69, 04 O tempo de encontro pode ser calculado utilizando o triângulo-retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 6t: cos θ Rx = 6t t = 6 sec θ Rx 5
6 t = 6 sec 14, 6548 ) =, 40h às 1:14:) t = 6 sec 69, 056 ) = 6, 056h às 16:0:1) Sabe-se que a coordenada x do ponto de encontro é zero. A coordenada y do ponto de encontro pode ser calculada por y = 8 + 8t: y = 8 + 8, 40 = 5, 9mi y = 8 + 8, 40 = 56, 45mi Citações Os problemas foram baseados em trechos do livro Física, volume 1, 5 a utilizados aqui somente para ns de estudo, crítica ou polêmica. edição, de Tipler & Mosca, sendo 6
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