raio do disco: a; carga do disco: Q; distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.

Transcrição

1 Um disco de rio está crregdo niformemente com m crg Q. Clcle o vetor cmpo elétrico: ) Nm ponto P sobre o eixo de simetri perpendiclr o plno do disco m distânci do se centro. b) No cso em qe o rio d plc é mito mioe distânci do ponto P à plc ( >> ). Ddos do problem rio do disco: ; crg do disco: Q; distânci o ponto onde se qer o cmpo elétrico:. Esqem do problem O vetor posição r vi de m elemento de crg do disco d q té o ponto P onde se desej clclr o cmpo elétrico, o vetor locli o elemento de crg em relção à origem do referencil e o vetor r p locli o ponto P, ssim pel figr -A r = r p figr Pel geometri do problem devemos escolher coordends cilíndrics (figr -B), o vetor, qe está no plno xy, é escrito como = x iy j e o vetor r p só possi componente n direção, r p =, então o vetor posição será r = x iy j r = x i y j (I) D expressão (I) o módlo do vetor posição r será r = x y r = x y (II) onde x, y e, em coordends cilíndrics, são ddos por x = cosθ, y = senθ, = (III)

2 Solção ) O vetor cmpo elétrico é ddo por 4π dq r r r 4π d q r r (IV) D expressão d densidde sperficil de crg (σ) obtemos o elemento de crg d q = d q d A d q = d A (V) onde d A é m elemento de áre de ânglo do disco (figr ), ssim sbstitindo (VI) em (V) d A = (VI) figr d q = (VII) sbstitindo (I), (II) e (VII) em (IV), e como integrção é feit sobre sperfície do disco (depende de ds vriáveis e θ) temos m integrl dpl 4π [ x y 4π x y x i y j x i y j (VIII) sbstitindo s expressões de (III) em (VIII), vem 4π 4π 4π [ cosθ sen θ cosθ i sen θ j r [ r q cos θr q sen θ q cosθ i sen θ j [ cos θsen θ cosθ i sen θ j 4 π r r q q cosθ i sen θ j Como densidde de crg σ é constnte e integrl não depende de, depende de e θ, el podem sir d integrl, e sendo integrl d som igl som ds integris podemos escrever 4π r q cosθ i r q r q sen θ r q j

3 Os limites de integrção serão de em (o longo do rio do disco) e de e π em (m volt complet no disco), e como não existem termos crdos em e θ s integris podem ser seprds 4π π r q cosθ i r q π r q sen θ j r q π r q integrção de π cosθ.º método π cosθ = senθ π = senπ sen = =.º método O gráfico de cosseno entre e π possi m áre positiv cim do eixo x, entre e π e entre π e π, e m áre negtiv bixo do eixo x, entre π e π, ests ds áres se cncelm no cálclo d integrl, sendo o vlor d integrl ero. integrção de π sen θ.º método π senθ = cos θ π = cosπ cos = =.º método O gráfico do seno entre e π possi m áre positiv cim do eixo x, entre e π, e m áre negtiv bixo do eixo x, entre π e π, ests ds áres se cncelm no cálclo d integrl, sendo o vlor d integrl ero. Observção: s ds integris, ns direções i e j, qe são nls representm o cálclo mtemático pr firmção qe se f slmente de qe s componentes do cmpo elétrico prlels o plno-xy (d E P) se nlm. Apens s componentes normis o plno (d E N) contribem pr o cmpo elétrico totl (figr - bixo). Como s integris em seno e cosseno são nls não é preciso fer integrl do rio. Integrção de

4 fendo mdnç de vriável = d = = d fendo mdnç dos extremos de integrção pr = pr = temos = = temos = d d integrção de π π = θ π = π = π figr 4 figr 4π [ i j π 4π π 4

5 b) Fendo o rio d plc tender o infinito ( ), temos lim [ lim lim lim [ lim. Observção: qndo diemos rio infinito isto não signific qe plc sej relmente infint, ms qe região considerd está longe ds bords d plc onde o cmpo não é niforme devido os efeitos de bord (figr 5). N região considerd o vlor do cmpo é constnte. figr 5 5