CCI-22 CCI-22. 7) Integração Numérica. Matemática Computacional. Definição Fórmulas de Newton-Cotes. Definição Fórmulas de Newton-Cotes

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1 CCI- CCI- Mateática Coputacional 7 Integração Nuérica Carlos Alberto Alonso Sances Fórulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros

2 Definição deterinadas situações, pode ser uito díficil - e até ipossível! - integrar analiticaente ua função b no intervalo [a,b]: d a Isso ocorre, por eeplo, quando o valor de é conecido e apenas alguns pontos desse intervalo: coo não se dispõe da sua epressão analítica, não é possível integrá-la Há étodos nuéricos que fornece ua solução aproiada para esse problea A ideia básica é substituir por u polinôio que a aproie razoavelente. Desse odo, o problea é resolvido através da integração desse polinôio Regra do retângulo Considerando apenas os pontos =a e =b de [a,b], ua prieira aproiação dessa integral, que caareos de I(f, pode ser obtida do seguinte odo: a y b I(f = a(b-a ou b(b-a ou y (b-a, onde y = (ab/ Generalizando para n pontos e [a,b], onde =(b-a/n: I(f = a = y b = [... n- ] = Σ i, i<n ou [... n ] = Σ i, <i n ou Supondo que seja disponível... [y y... y n- ] = Σy i, y i = ( i i /, i<n É equivalente a aproiar f co u polinôio de grau CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros Fórulas de Newton-Cotes Nas Fórulas de Newton-Cotes, é interpolada por u polinôio e n pontos de [a=,b= n ], igualente espaçados Há outros étodos para o caso e que os pontos não são equidistantes entre si, as não os estudareos neste curso Cada subintervalo [ i, i ] te taano : desse odo, i i = = (b-a/n, i<n Principais fórulas de Newton-Cotes: Regra de Sipson

3 CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros Regra siples dos trapézios Consiste e aproiar f co u polinôio p ( de grau no intervalo [a,b], onde =a e =b: I T (f p ( Usando a fórula de Lagrange para p (: b a ( d p ( d = [ ] d = IT ( f a = Assi, I T (f = [ ]/, que é a área do trapézio de altura = - e bases e b = Regra coposta dos trapézios Consiste e dividir [a,b] e n subintervalos de taano, e e cada u deles aproiar f por ua reta (ou seja, por u polinôio de grau eplo para n=4: a = T T T T( T b = 4 [ L n = I T (f = T( = ΣT i (, i<n T( = Σ[ i i ]/, i<n n ] eplo Calcular a integral de = (6-5 / no intervalo [;9] através das regras siples e coposta dos trapézios Regra siples dos trapézios: Sabeos que =, =9, =, =7, =8 I T (f = [ ]/ = Regra coposta dos trapézios: Vaos considerar n=8 e = Tabela de valores: ,,65,6 4,6 5, 5,57 6,8 6,56 7, T( = (,5,65,6 4,6 5 5,57 6,8 6,56,5 T( = 7,8

4 CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros Regra siples de Sipson Consiste e aproiar f co u polinôio p ( de grau e u intervalo [a,b] co pontos: Usando a fórula de Lagrange para p (: ( ( ( ( ( ( p( = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( f = p ( = [ ] d IS a = b = p ( Regra siples de Sipson ( ( ( ( ( ( ( f = p ( = [ ] d IS Trocas de variáveis: = z. = z. d =.dz = = z. ( = (z- Analogaente, = (z- = z = ; = z = ; = z = Substituindo na integral acia: I S (f = (z (z dz z(z dz z(z dz I S( f = [ 4 ] Regra coposta de Sipson Consiste e generalizar a regra de Sipson para u intervalo co n pontos (n deve ser par, espaçados entre si por ua distância cada subintervalo, a função será aproiada através de u polinôio de grau eplo co 5 pontos (ou seja, n=4: a = S S b = 4 I S (f = S( = ΣS i (, i<n/ S( = Σ[ i 4 i i ]/, i<n/ S( = [ n 4( L n ( 4 L n ]

5 eplo Através das regras siples e coposta de Sipson, calcular logd 6 Regra siples de Sipson: I S( f = [ 4 ] = (-6/ = I s (f = (log 6 4.log 8 log / I s (f =,59674 Na regra coposta de Sipson, vaos considerar n=8: = (-6/8 =,5 I s (f =,5[log 6 log 4.(log 6,5 log 7,5 log 8,5 log 9,5 (log 7 log 8 log 9]/ I s (f =,5996 CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros Fórula geral de Newton-Cotes É possível encontrar a fórula geral da integração de u polinôio interpolador p ( de grau que aproia a função Para isso, é preciso deterinar pontos no intervalo [a,b], espaçados entre si pela distância Usando a fórula de Lagrange: d I( f = p ( d = [ L ( L ( L L ( d] I( f = L ( d L ( d L L ( d I f = A A L A pressão da fórula geral ( Alguns casos particulares Dados pontos da função espaçados co distância no intervalo [a,b], onde =a e =b, e supondo que seja interpolada pelo polinôio p ( de grau, indicaos abaio alguas fórulas de Newton-Cotes: = I ( f = [ ] Trapézio = I ( f = [ 4 ] Sipson / = I ( f = [ ] Sipson /8 8 = 4 I ( f = [ ] 45 5 = 5 I ( f = [ ] 88

6 CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros stiativas de erros Já vios que o erro da interpolação de co u polinôio de grau e pontos no intervalo [, ] é ( = ( - (...( f ( (ξ/(!, [, ], onde ξ (, f ( d = I( f ( d = p ( ( ( d = I( f ( ( K( f ( ( ξ d! rro na regra dos trapézios Na regra siples dos trapézios, o polinôio interpolador te grau : TS f''( ξ = ( ( d onde ξ é função de TS = g( f''( ξ d onde g( = ( ( Sabeos que g( <, (, Se f ( for contínua e [, ], eiste p R e P R tais que p f ( P Portanto, p.g( g(.f (ξ P.g(, pois g( Logo: g( f' '( ξ d P g( d g( f' '( ξ d p g( d p P < < g( d = A rro na regra dos trapézios Da ipótese de f ( ser contínua e [, ], e coo p A P, então eiste c (, tal que f (c = A, ou seja: g ( f' '( ξ d = f' '( c g( d TS ( ''( ''( ( = g f d f c g d f''( c ξ = = onde c (, No caso da regra coposta dos trapézios: TC f''( ci = onde c i ( i, i, i< i= Coo supoos que f ( é contínua e [, ], eiste k (, tal que: i= f ''( c = f' '( k i f''( k TC =

7 rro na regra de Sipson Na regra siples de Sipson, o polinôio interpolador te grau Coo os pontos são equidistantes entre si, vaos utilizar a fora de Newton-Gregory, as estendendo-a até o terceiro grau: p ( = s s(s / s(s-(s- /6 ( 4 4 f ( ξ I = d = [ p( s( s ( s ( s ] d onde - i = (s i 4! d =.ds, e os etreos da integral vão de a : ( 4 f ( ξ 4 I = [ s s( s s( s ( s s( s ( s ( s ] ds 6 4 Através dos esos artifícios anteriores, podeos considerar f (4 (ξ coo constante no intervalo de integração: s s s s s s s s s s 4 4 I sf f f f f 6 4 ξ ( = ( ( ( ( ( rro na regra de Sipson Calculando nos etreos: ( 4 I =. f ( ξ 9 I ( 4 5 ( 4 = [ 4 ] f ( ξ SS = f ( ξ sse resultado é uito interessante: eso usando u polinôio de grau, a regra siples de Sipson te precisão até a terceira orde No caso da regra coposta de Sipson, é possível fazer ua estiativa do erro total soando-se os erros e cada u dos / subintervalos e fazendo ua édia da derivada SC 5 ( 4 f ( ξ = 8 Resuo Teorea geral do erro Trapézio (siples: Trapézio (coposta: Sipson / (siples: Sipson / (coposta: TC TS '' = f ( ξ ξ (, '' '' = f ( ξ = ( b a f ( ξ ξ (, 5 ( 4 SS = f ( ξ 9 ξ (, 5 4 ( 4 ( 4 SC = f ( ξ = ( b a f ( ξ 8 8 ξ (, Se a função, contínua e co derivadas até orde tabé contínuas no intervalo [a,b], for interpolada por u polinôio de grau, então o erro na sua integração nuérica será: ( f ( ξ = u( u L( u du (! ( f ( ξ = ( u u( u L( u du (! ξ [a,b] para ípar para par De odo geral, o erro tende a diinuir à edida que diinui e auenta

8 eplo Cálculo da integração nuérica de e d Sabe-se que o resultado eato é e-,7888 Trapézio Sipson / Newton-Cotes co =4,5,779,7888,748548,5,7586,7984,7888,65,7884,788,7888 Outro eeplo Cálculo da integração nuérica de cosd Sabe-se que o resultado eato é sen π/ sen = Valores obtidos usando apenas Newton-Cotes co =4: Intervalo co n pontos π / n Resultado 4,9699, ,96495, ,5,7846,7888,7888 Quanto ais baia a orde da fórula utilizada, enor deverá ser o para se atingir a precisão desejada 6,98748, ,49874, ,4547, Resultado ais próio Coposição do erro Na verdade, o erro é coposto por duas parcelas: A (aproiação: depende do étodo utilizado R (representação: proveniente dos cálculos no coputador perientalente, teos os seguintes resultados (valor do erro e função da quantidade de pontos no intervalo: A n R Portanto, após u certo n*, não é possível auentar a eatidão do resultado... n n* n CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de erros

9 Método da Quadratura Adaptativa Considere ua função que não seja be coportada: a Para elorar o resultado da integração nuérica de no intervalo [a,b], convé que aja ais subdivisões nos trecos co curvas ais abruptas Supondo que seja conecida e ais valores de u subintervalo, o objetivo é estabelecer u étodo capaz de reconecer a vantage ou não de subdividi-lo b Critério rio para subdivisão [ i, i ], seja P i o resultado do cálculo da integração nuérica, e Q i o novo resultado quando esse subintervalo é bisseccionado Seja I i o valor eato da integral de e [ i, i ]. Se for interpolada nesse subintervalo por u polinôio de grau p-, então é possível deonstrar que I i Q i = (I i P i / p, ou seja, a bissecção do subintervalo diinui o erro e u fator p p (I i Q i = (I i P i p I i p Q i Q i = I i P i Q i - p I i p Q i - Q i I i = P i - Q i p (Q i I i (Q i I i = P i - Q i Q i I i = (P i - Q i /( p Isso estabelece ua relação entre o erro e Q i e a diferença entre duas aproiações sucessivas Se desejaos anter u erro total ε na integração e [a,b], então o erro e [ i, i ] deve contribuir proporcionalente: Q i I i < ε( i i /(b a P i - Q i < ε( p ( i i /(b a Critério de parada eplo Vejaos coo aplicar a quadratura adaptativa à regra de Sipson / no subintervalo [ i, i ] de [a,b]: S( = [ n 4( L n ( 4 L n ] i i Pontos para P i Pontos para Q i i = i - i i i P i = [ i 4 i i i ] 6 i i i Qi = [ i i i 4( i i i 4 4 Critério de parada: P i - Q i < 5 i ε/(b a Regra coposta Quando não é satisfeito, ocorre duas caadas recursivas: e [ i, i i /] e e [ i i /, i ] i ]