Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

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1 Cálculo Nuérico Faculdade de ngenhari Arquiteturas e Urbaniso FAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronoia) VI Integração Nuérica Objetivos: O objetivo desta aula é apresentar o étodo de integração nuérica baseado nas fórulas de Newton-Cotes onde aproiaos a função que se quer integrar por u polinôio cuja integração é trivial. Vereos aqui duas etodologias para cálculo de integras utilizando áquinas digitais: a regra do Trapézio e a regra / de Sipson (e suas foras repetidas que iniiza bastante o erro do procediento).. Introdução Ua fora de se obter ua aproiação para a integral de f() nu intervalo [, coo nos casos aci é através dos étodos nuéricos que estudareos nessa aula. A idéia básica desses étodos de integração nuérica é a substituição da função f() por u polinôio que a aproie razoavelente no intervalo [. Assi o problea fica resolvido pela integração de polinôios, o que é trivial de se fazer. Co esse raciocínio podeos deduzir fórulas para aproiar Nessa aul as forulas que deduzireos terão a epressão abaio: Forulas desse tipo são chaadas de fórulas de Newton-Cotes fehcadas: VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

2 . Fórulas de Newton-Cotes. Regra do Trapézio A idéia da regra do trapézio é aproiar a função f() por u polinôio de orde (reta). Vereos que, nessa aproiação a integral da função f() pode ser aproiada pela área de trapézio. Base aior, f( ) Base enor, f( 0 ) Altura h Se usaros a forula de Lagrange para epressar o polinôio interpolador de orde, p (), que interpola f() nos pontos 0 e, tereos o seguinte: p ( ) f ( 0 ) L0 ( ) f ( ) L ( ) VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

3 Fazendo h ( 0 )/n, onde nesse caso n (n é o núero de subdivisões do intervalo [, 0 ]) e substituindo os fatores de Lagrange no polinôio podeos reescrevê-lo assi: Pela nossa aproiação, teos então que integral da função f() será escrita por: b a b ( ) ( 0 ) h f ( ) d p( ) d f ( 0 ) f ( ) d [ f ( 0 ) f ( )] h h a 0 0 Dessa fora a integral de f() no intervalo [ pode ser aproiada pela área de u trapézio de base enor f( 0 ), base aior f ( ) e altura h. stiativa para o erro da regra do trapézio. ou T ( b a) a [ ) Calcular ua estiativa para o erro utilizando essa técnica nuérica. de I T I T Calculando a estiativa para o erro, tereos: T a [ 4 Coo a derivada segunda de f() é f () logo T rro uito grande!! VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

4 eplo Qual seria ua estiativa para o erro deste procediento? Solução: Nesse caso teos 0 e 9, portanto h (9-)/8 ntão a integral aproiada pelo étodo do trapézio será: I T 8 ( 5 9 5) Calculando a estiativa para o erro, tereos: T 8 a [ Coo a derivada segunda de f() é 9( 5) O valor áio de f () 9 ocorre quando. logo rro uito grande!! T / f () f () ercício Calcule a valor nuérico das integrais abaio pelo étodo do trapézio e estie o erro do étodo: 0 a) b) 5 e d π / π / 5 sen Resp: I T -555; T 94 Resp: I T ; T d ALGORITMO VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 4

5 . Regra do trapézio repetida A regra do trapézio é ua aproiação u pouco grosseira para o valor da integral o que pode ser verificado tanto graficaente quanto pela epressão do erro. Contudo, se aplicaros dentro de u certo intervalo [ a regra do trapézio repetidas vezes a aproiação será elhor confore podeos observar na figura abaio. P () h Dividindo o intervalo [ e subdivisões iguais de largura h i i, i 0,,,,...n ou aind Os valores de cada u dos pontos i das subdivisões pode ser obtidas a partir da epressão: i i h 0 Dessa fora podeos escrever a integral de f() coo sendo a soa das áreas dos n trapézios pequenos contidos dentro do intervalo [ coo é ostrado na figura acia. Logo, o valor nuérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será: I TR stiativa para o erro na regra do trapézio repetida será: Coparando co a regra do trapézio! ( b a) T a [ VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 5 TR n T

6 Se quiseros saber quantas subdivisões são necessárias para atingir u certa precisão dad ou sej u certo valor de erro, fazeos o seguinte cálculo: n > ( b a) TR a [ eplo A) Calcule o valor nuérico da integral do eeplo,, usando a regra do trapézio repetida considerando subdivisões. B) Calcule, e seguid ua estiativa para o erro usando a regra do trapézio repetida. C) Quantas subdivisões deveríaos fazer para que o erro neste processo fosse enor do que 0,00 0 -? Solução: Inicialente calculaos a largura de cada subdivisão, ou sej o valor de Agora encontraos o valor de cada subdivisão. b a h n 7 A fórula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é i i- h 0 i h Nesse caso teos subdivisões igualente espaçados por h. h 0 a 4 5 b 0 ; ; ; 4; 4 5; 5 ; 7 O valor nuérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será: I TR h 0 4 5,0059 Para estiaros o erro do processo teos que calcular o valor aio de f () dentro do intervalo [. Coo f()/ - f ()- - f () -4 f () -4 Jogado valores de dentro do intervalo [ para f () encontraos o valor áio igual a (ver tabela ao lado) Dessa fora o erro nesse caso será: (7 ) f () VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

7 O núero de subdivisões para que o erro fosse enor do que 0, pode ser obtido por: ( b a) (7 ) n > a [, ] a b 0 TR 8. Lebre que n é u nuero inteiro! n9 eplo 4 A) Calcule o valor nuérico da integral do eeplo,, usando a regra do trapézio repetida considerando 0 subdivisões. B) Calcule, e seguid ua estiativa para o erro usando a regra do trapézio repetida. Solução: Nesse caso teos que n0. Inicialente calculaos a largura de cada subdivisão, ou sej o valor de Agora encontraos o valor de cada subdivisão. b a h n , A fórula geral para encontrar o valor de cada subdivisão é i i- h 0 i h Nesse caso teos 0 subdivisões igualente espaçados por h. h0, 0 a b 0 ;,;,;,8; 4,4; 5 4; 4,; 7 5,; 8 5,8; 9,4; 0 7 O valor nuérico da integral calculada segundo a regra do trapézio repetida será: I TR h , 7,,,8,4 4 4, 5, 5,8,4 0 0,94 Para estiaros o erro do processo teos que calcular o valor áio de f () dentro do intervalo [. Coo f()/ - f ()- - f () -4 f () -4 Jogado valores de dentro do intervalo [ para f () encontraos o valor áio igual a (ver tabela ao lado) Dessa fora o erro nesse caso será: (7 ) 0,08 f () VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 7

8 eplo 4 Seja hb-a/0 Solução: 0 a b n i f ( 0 ) f ) Calculando a estiativa para o erro, tereos: f ( i ) TR ( n ( b a) n ( 0) a [ 0 a [ Coo a derivada segunda de f() é O valor áio de f ().78 ocorre quando. logo b) Logo TR TR ( b a) a 0 [ n e rro be pequeno!! f () ( b a) ( 0) n > a [, ] a b 0 TR Lebrando que n é u nuero inteiro, deveos ter n subintervalos dentro de [0,] para que o erro seja enor que 0 -. VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 8

9 ercício A) B) Deterine a estiativa para o erro ( TR ) nesse caso. Dica: 9( 5) C) Quantas subdivisões deveos ter para que o erro seja enor do que 0, ? / Resp: I TR 7,88; TR ; n; ercício 8 A) 5 d B) Deterine a estiativa para o erro ( TR ) nesse caso. C) Quantas subdivisões deveos ter para que o erro seja enor do que 0, ? Resp: I TR 57,40; TR 0,00; n ercício 5 A) 8 ( sen ) d B) Deterine a estiativa para o erro ( TR ) nesse caso. Dica considere os valores de sen() e radianos! C) Quantas subdivisões deveos ter para que o erro seja enor do que 0, ? 5 Resp: I TR 7,07 ; TR ; n VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 9

10 .. Regra / de Sipson Considereos agora que se queira aproiar f() por u polinôio interpolador de orde (parábola), p (), que é dado pela forula de Lagrange; teos ainda que: Logo, VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 0

11 Logo, o valor nuérico da integral calculada segundo a regra / de Sipson será: I S stiativa para o erro na regra / de Sipson: eplo 5 Calcular utilizando a regra / de Sipson e dar ua estiativa para o erro utilizando essa técnica de integração nuérica. Solução: Teos nesse caso pontos a considerar dentro do intervalo [[,7], são eles: 0 e (7)/4 e 7 Coo agora teos n subdivisões dentro do intervalo [ tereos h (b-a)/ (7-)/ O valor nuérico da integral será: h I s f ( 0 ) 4 f ( ) f ( ) ) Calculando a estiativa para o erro, tereos: S a f 880 [ Derivando f() teos ( ) 4 logo S [ ] rro grande!! ( 4 VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling ( ) f f 4 () f ( ) ( ) f

12 .. Regra / de Sipson repetida Vaos agora repetir o procediento anterior para n pares de subintervalos. Definios o núero de subintervalos pela letra n. Obs. A cada par de n pares de subintervalos, ou sej a etade do nuero de subdivisões subintervalos teos n/ pontos para ajustar ua subintervalos parábola (P ())... Logo, o valor nuérico da integral calculada segundo a regra / de Sipson repetida será: Valor da função nos subintervalos de índices IMPARS dentro do intervalo [, ecluindo as etreidades. b a h f ( ) d f ( f f i f i 0 ) ( ) ( ) 4 ( ) i i I SR Valor da função nas etreidades inicial e final do intervalo ou seja nos pontos a e b. Valor da função nos subintervalos de índices PARS dentro do intervalo [, ecluindo as etreidades. VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

13 stiativa para o erro para regra / de Sipson repetida.! n/ é a etade de subdivisões do intervalo [ Coparando co a regra / de Sipson! eplo SR n S 4 Calcular utilizando a regra / de Sipson repetida para 0 subdivisões e dar ua estiativa para o erro utilizando essa técnica de integração nuérica. Obs.: vai ser sepre u núero par. Resolução: Teos nesse n 0 subdivisões dentro o intervalo [[ 0, ][,7], portanto, teos que considerar pontos igualente espaçados por h(b-a)/n(7-)/00,. São eles: hb-a/ 0 ;,;,;,8; 4,4; 5 4; 4,; 7 5,; 8 5,8; 9,4; 0 7 O valor nuérico da integral será: h I SR f ( ) f ( ) f ( i ) 4 i i Calculando os soatório teos: i 0 a b 0 0 f ( i ) 0 4 f ( i ) f ( ) f ( 4 ) f ( ) f ( 8 ),,4 4, 5,8 Valor da função nos subintervalos de índices PARS dentro do intervalo [, ecluindo as etreidades. 0,70 VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling

14 i Valor da função nos subintervalos de índices IMPARS dentro do intervalo [, ecluindo as etreidades. f ( i ) f ( ) f ( ) f ( 5) f ( 7 ) f ( 9 ),,8 4 5,,4 0,4 Logo I SR 0. 0,70 4 0,47 0,857 7 Calculando a estiativa para o erro, tereos: SR 7 ) 880n 5 ( 4 a f 4 [ ( ) Derivando f() teos f ( ) f 4 () f ( ) f ( ) logo SR ,584 rro pequeno!! ercício Seja / de Sipson Resp: I SR.78; SR,5 0 - ; VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 4

15 ercício proposto Seja I e 8 d a) Calcule o valor de I co 8 subintervalos na regra do trapézio repetida e na regra / de Sipson repetida. b) Qual dos dois étodos nuéricos da ua estiativa para o erro enor? c) Quantas subdivisões deveos ter, e cada ua das técnicas propostas, para que o erro no cálculo seja enor do 0 -? ercício proposto Seja a integral: 0. I d 0 a) Calcule pela regra dos trapézios e pela regra dos trapézios repetida co 4 subintervalos seu valor aproiado: b) Quantos subintervalos deveos ter na regra dos trapézios repetida para obteros ua precisão de calculo elhor que ε~0 -? ercício proposto Seja a integral: 0. 5 I e d 0 a) Calcule seu valor aproiado pela regra / de Sipson repetida usando e subintervalos. Copare os valores encontrados. b) Quantos subintervalos deveos ter se quiseros obteros ua precisão de cálculo elhor que ε~0-9 utilizando a regra / de Sipson repetida. VI Integração Nuérica Cálculo Nuérico Prof. Dr. Sergio Pilling 5