Dinâmica Estocástica. Instituto de Física, novembro de Tânia - Din Estoc

Transcrição

1 Dinâica Estocástica Instituto de Física, novebro de 06 Tânia - Din Estoc - 06

2 Modelo de Glauber-Ising a capo nulo Siulações de Monte Carlo Teorea central do liite & Modelo de Glauber-Ising Tânia - Din Estoc - 06

3 Modelo de Ising a capo nulo E( ) J energia associada ao estado (,..., ) ( i, j) i j J const. vaos analisar aqui o caso e que J 0 O odelo é definido e ua rede. A cada sítio é associada ua variável estocástica que assue dois valores: núero de sítios da rede i i,,..., i ( i, j) (...) soa sobre pares de sítios vizinhos na rede Tânia - Din Estoc

4 Modelo de Ising a capo nulo definido e ua rede quadrada Ponto crítico Teperatura crítica A teperatura crítica para o odelo de Ising a capo nulo na rede quadrada regular é: kbt J c ln( ), Tânia - Din Estoc

5 5 Dinâica de Glauber - Modelo de Glauber-Ising Dinâica de Glauber para o odelo de Ising: Modelo de Glauber-Ising Tânia - Din Estoc - 06 i i i J w tanh ) ( (...) soa sobre os prieiros vizinhos do sítio i Taxa de transição por sítio para capo nulo (H=0) k B T /

6 Siulação do Modelo de Ising Parâetro de orde Para obter o coportaento do parâetro de orde coo função da teperatura para o odelo de Ising deveos calcular: ódulo de... núero de sítios da rede Tânia - Din Estoc

7 Dinâica de Glauber para o odelo de Ising Modelo de Glauber-Ising Siulação de Monte Carlo () Vaos supor que o sistea esteja no estado (,...,,..., ) () U sítio escolhe-se u sítio da rede é escolhido aleatoriaente sítio i foi escolhido (3) (4) (4-a) (4-b) É calculada então a probabilidade de inversão U núero aleatório p p no intervalo [0,] é gerado. i i tanh Se então a variável é invertida ( ) e o novo estado do sistea é p i Se então a variável não é invertida e o sistea continua no eso estado i i J k B T i i (,..., i,..., ) (,...,,..., ) Terinado o processo () (4) foi ( vez) escolhido ao acaso u sítio e sua variável estocástica pode udar Passo de Monte Carlo é copletado quando se faz esse processo vezes. Sendo o núero de sítios da rede. Tânia - Din Estoc

8 Dinâica de Glauber para o odelo de Ising Modelo de Glauber-Ising Siulação de Monte Carlo Terinado o processo () (4) foi ( vez) escolhido ao acaso u sítio e sua variável estocástica pode udar Volta-se ao ite () e repete-se novaente o processo ()-(4) Passo de Monte Carlo é copletado quando se faz esse processo vezes. Sendo o núero de sítios da rede. Grandezas relevantes para o cálculo da agnetização, energia édia... são calculadas e arazenadas quando passo de Monte Carlo é copletado Tânia - Din Estoc

9 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Glauber-Ising a capo nulo A seguir estão ostradas siulações do odelo de Ising a capo nulo. Considerou-se: Configuração inicial aleatória Dinâica de Glauber-Ising para capo nulo p i tanh J k B T i Modelo definido e redes quadradas regulares co =LxL sítios. Fora realizadas siulações do odelo e redes de três taanhos, isto é, três diferentes valores de L. úero total de passos de Monte Carlo realizados nas siulações que serão ostradas a seguir foi 6 0 Os prieiros 5 0 passos de Monte Carlo fora descartados. Tânia - Din Estoc

10 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Histograa da agnetização Resultados de siulações de Monte Carlo T T c... L =LxL 0 0x x x80 T, Tc T c, P * * Histograa: versus para o odelo de Ising definido e redes quadradas co LxL sítios. Para diferentes valores de L. Resultado obtido utilizando a dinâica de Glauber-Ising. A teperatura é T,. Tânia - Din Estoc

11 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Histograa da agnetização Resultados de siulações de Monte Carlo T T c T c T,8 Tc, L =LxL 0 0x x x80... P Histograa: versus para o odelo de Ising definido e redes quadradas co LxL sítios. Para diferentes valores de L. Resultado obtido utilizando a dinâica de Glauber-Ising. A teperatura é. T,8 Tânia - Din Estoc - 06

12 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Parâetro de orde versus teperatura T T Parâetro de orde versus a teperatura para o odelo de Glauber-Ising a capo nulo definido e redes quadradas regulares co =LXL sítios. As diferentes curvas corresponde a diferentes valores de L. Resultados obtidos utilizando a dinâica de Glauber-Ising. Tânia - Din Estoc - 06 T Teperatura crítica T c,

13 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Magnetização (parâetro de orde) versus teperatura T L=0 L=40 L =LxL 0 0x0 0 0x x40 Teperatura crítica, T c é não nula para qualquer valor de T para redes finitas LxL sítios ( L é finito). À edida e que L auenta se aproxia de zero para teperaturas T Tc o liite e que L a agnetização se anula para T Tc T Tânia - Din Estoc

14 Coportaento do parâetro de orde na vizinhanças de u ponto crítico O coportaento do parâetro de orde de u sistea (infinito) nas proxiidades do ponto crítico é dado por: ~ T T c Tc teperatura crítica expoente crítico associado ao parâetro de orde Tânia - Din Estoc

15 Coportaento do parâetro de orde na vizinhanças de u ponto crítico Expoente crítico associado ao parâetro de orde para o odelo de Glauber-Ising e duas diensões (d=) parâetro de orde: ~ e que i i / 8 0,5 expoente crítico associado ao parâetro de orde para o odelo de Ising (d=) Tânia - Din Estoc

16 Variância da agnetização total e susceptibilidade agnética Variância da agnetização total divida por : M M M i i * A susceptibilidade agnética se relaciona co por eio de: * Susceptibilidade agnética * / k B T / H Já vios e aula anterior Tânia - Din Estoc

17 Siulação de Monte Carlo do Modelo de GlauberIsing e redes quadradas Resultados de siulações de Monte Carlo teperatura crítica T c, ln (logarito da variância da agnetização total dividida por ) versus a teperatura T para o odelo Ising a capo nulo definido e redes quadradas regulares co =LXL sítios. As diferentes curvas corresponde a diferentes valores de L. Resultados obtidos utilizando a dinâica de Glauber-Ising. * * / k B T A susceptibilidade agnética se relaciona co por eio de: Tânia - Din Estoc

18 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada L=40 * / k B T susceptibilidade T c L=0,7 teperatura crítica L =LxL 0 0x0 0 0x x40 * e, portanto, a susceptibilidade, te u pico para L finito. Tânia - Din Estoc - 06 A altura do pico auenta à edida e que L auenta o liite e que L tende a infinito diverge no ponto crítico, isto * é, para T T c ( diverge no ponto crítico, T T c ) 8

19 Coportaento crítico da suscetibilidade * as vizinhanças do ponto crítico deveos ter: * ~ * suscetibilidade agnética T T c Tc teperatura crítica expoente crítico associado à susceptibilidade Tânia - Din Estoc

20 Coportaento crítico da suscetibilidade * ~ T T c Tc teperatura crítica Expoente crítico para o odelo de Ising e duas diensões (d=) 7 4,75 Tânia - Din Estoc

21 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Variância da energia total divida por : c E E c * u T T c, u U E teperatura crítica c (variância da energia total dividida por ) versus a teperatura T para o odelo Ising a capo nulo definido e redes quadradas regulares co =LXL sítios. As diferentes curvas corresponde a diferentes valores de L. Resultados obtidos utilizando a dinâica de Glauber-Ising. * * O calor específico c se relaciona co c por eio de: c c / k BT Tânia - Din Estoc - 06

22 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Variância da energia total divida por Resultados de siulações de Monte Carlo c E E L=40 L=0 L =LxL 0 0x0 0 0x x40 T c, teperatura crítica c (variância da energia total dividida por ) versus a teperatura T para o odelo Ising a capo nulo definido e redes quadradas regulares co =LXL sítios. As diferentes curvas corresponde a diferentes valores de L. Resultados obtidos utilizando a dinâica de Glauber-Ising. * * O calor específico c se relaciona co c por eio de: c c / k T Tânia - Din Estoc - 06 B

23 Coportaento crítico do calor específico c * ~ T T c Tc teperatura crítica Expoente crítico para o odelo de Ising e duas diensões (d=): 0 Tânia - Din Estoc

24 Siulação de Monte Carlo do Modelo de Ising a capo nulo definido nua rede quadrada Parâetro de orde versus teperatura ~ Para u certo, a variância é proporcional a / no regie de teperaturas uito altas ( T ) (vaos ostrar a seguir) Tânia - Din Estoc

25 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Teperatura T ou T T c Sistea no estado paraagnético As variáveis aleatórias este caso cada variável possíveis valores: i i i pode ser consideradas estaticaente independentes (suposição) co te probabilidade ½ de p( i ) assuir qualquer u dos seus dois i co p( i ) 5 Tânia - Din Estoc - 06

26 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Regie de altas teperaturas: i T ou T T c Tc teperatura crítica Pois: ( ) ( ) e 0 A variância de i é igual a Todas as variáveis i tê a esa variância... Tânia - Din Estoc

27 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Definição Z 3... Variância de Z Z Z Tânia - Din Estoc

28 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Variância de Z Z Z (... ) Z ) Tânia - Din Estoc

29 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite,,..., são independentes. Então: É já obtiveos que:... 0 e que... Tânia - Din Estoc

30 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Portanto: os teros contendo i j se anula para quaisquer (i,j) e... Portanto, a expressão para a variância fica: Z i Z i variância de Z Tânia - Din Estoc

31 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite T T c O teorea central do liite iplica que a densidade de probabilidade associada a Z para é ( Z) exp( Z / ) variância: Z densidade de probabilidade associada a Z é ua gaussiana Tânia - Din Estoc

32 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite Distribuição de probabilidades () associada a = variância de Supondo a fora assintótica para finito (as suficienteente grande): ( ) ( ) exp( / ) (*) Tânia - Din Estoc

33 (*) Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite M... ( ) d M Z ( Z) dz M noralização Z ( ) ( Z) ( ) exp( ) ( ) exp( ) Tânia - Din Estoc

34 Modelo de Glauber - Ising & Teorea central do liite ( ) exp( / ) = variância de À edida e que cresce a variância de vai a zero. Para tendendo a infinito a distribuição de tende a ua delta de Dirac () coo deveos esperar. Tânia - Din Estoc

35 Valor édio e variância de ( ) d Cálculo do valor édio e da variância de Valor édio 0 Variância a altas teperaturas ( ) (*) (**) (***) Portanto, para u certo, a raiz quadrada da variância de é proporcional a: / Essa grandeza vai a zero Tânia - Din Estoc

36 (*) ( ) d 0 Deonstração da expressão acia 0 ( ) ( ) d ( ) ( ) d 0 ( ) ( ) d 0 Tânia - Din Estoc

37 (**) Cálculo do valor édio de a altas teperaturas Valor édio deonstração exp( / ) d exp( / ) 0 0 fi da deonstração Tânia - Din Estoc

38 (***) Cálculo da variância de a altas teperaturas já obtido anteriorente,pois, Variância ( ) ~ Tânia - Din Estoc

39 Altas teperaturas ~ Tânia - Din Estoc

40 FIM Tânia - Din Estoc