A 3,0. Em conclusão uma solução cinematicamente admissível é:

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3 Considere a laje (de espessura,, E= 1 MPa e ν=,) siplesente apoiada ao longo de todo o seu contorno representada na Figura, subetida a ua carga uniforeente distribuída de 1 kpa..1 Deterine ua solução cineaticaente adissível.(8) Ua solução cineaticaente adissível te que satisfazer: a) condições de fronteira cineáticas; b) ser do espaço C 1 (ou seja contínua, incluindo as prieiras derivadas) prieiro é preciso definir u referencial, por eeplo: B A C As condições de fronteira cineáticas: w= ao longo de todos os bordos A função sugerida será do tipo: w(, ) = w( ) w( ) Cada parte te que se anular e bordos correspondentes, ou seja: w( ) = ( )( 6)( 9) w( ) = ( )( 6)( 9) E conclusão ua solução cineaticaente adissível é: w (, )= ( )( 6)( 9) ( )( 6)( 9) Que tabé é ua função contínua e derivável. (a sietria neste caso não traz significativa siplificação, as poderia ser tabé ipleentada). Deterine ua solução estaticaente equilibrada.(8) Ua solução estaticaente equilibrada te que satisfazer as condições de fronteira estáticas e a equação da laje e teros de oentos, ou seja: p = Procediento: assuir =, separar a carga distribuída coo se parte actuasse na direcção e a outra na direcção, ais vantajoso neste problea: p = = e p = p = 1kN / na direcção é preciso resolver a distribuição dos oentos flectores das vigas isostáticas correspondentes:

4 para [,] &[ 6, 9 ] = 5 1 para [,6] = 15 ( ) 1 ( ) Este procediento assegura directaente a equação da laje dado que: = p = p, = p = e obviaente =. As condições de fronteira estáticas tabé são autoaticaente satisfeitas, dado que a distribuição dos oentos flectores foi deterinada respeitando o equilíbrio nas vigas correspondentes. w Neste caso as condições de fronteira estáticas: n = = n onde n representa a noral ao bordo (a sietria não traz significativa siplificação, as poderia ser tabé ipleentada). Verifique se a solução estaticaente equilibrada é ua solução eacta.(8) Para ua solução estaticaente equilibrada ser eacta, te que satisfazer as condições de fronteira cineáticas. Prieiro é preciso calcular as curvaturas, a partir das quais pela integração seria possível deterinar o deslocaento w. para [,] &[ 6, 9] = 5 1,, = = w w = D + ν = D χ +,χ ( ) = w w = D + ν = D ( χ + νχ ) = 5 1

5 w = = D( 1 ν) = D( 1 ν) χ = Resolvendo: 5ν( 9 ) 5( 9 ) χ =, χ =, χ = D( 1 ν ) D( 1 ν ) E vez de fazer a integração para deterinar o capo de deslocaento w, pode-se verificar se as funções de curvaturas já não evidencia algua contradição. Sabe-se que as curvaturas ao longo dos bordos apoiados te que ser igual a zero. Neste caso χ deve-se anular nos bordos horizontais e χ nos bordos verticais, lebrando que foi assuido [,] &[ 6, 9]. Vê-se logo que χ anula-se para = e =9, ou seja nos bordos horizontais, as χ não se anula nos bordos verticais, coo era de esperar, dado que as vigas co a carga copleta fora usadas nesta direcção. Coo se já encontrou a contradição, não é preciso analisar o intervalo [, 6] e a continuidade entre as duas soluções. E resuo a solução estaticaente adissível da alínea b) não é eacta.. Co base na solução cineaticaente adissível, deterine e A e as reacções de apoio e B e C. (1) w = = D( 1 ν) = D( 1 ν) ( ( + ( + ) 68( + ) 169( + ) + 79( + ) 16( + )) + 878, A ( =,5; =,5) = (que é possível deduzir da sietria) A reacção no ponto B te apenas a coponentes vertical (índice que corresponde a noral eterior ao bordo) w w r = D + (,) = D( 7567, ,8 1191, + 665,8 79, 1166, + 197, ,8) 195,6 + 86, 777, ) + 15,6 6 r,b = D 81,5 = 1888,89 81,5 = 11,9 1 kn / (orientada para baio, dado que está na faceta negativa) (a grandeza não faz uito sentido, porque a função de deslocaento foi deterinada se qualquer verificação se os deslocaentos tê valores razoáveis e concordância co a teoria linear, ou seja, neste caso de pequenos deslocaentos) A reacção no ponto C te apenas a coponentes vertical e corresponde à força no canto: 6 rc =,C = ; = 9 = D 1 ν 6 = 1888,89,8 6 = 58, 1 (orientada para baio) (novaente a grandeza não faz uito sentido coo no valor anterior) ( ) ( )( ) ( ) kn

6 .5 Co base na alha de diferenças finitas representada (co 1,5 de lado), identificando os pontos que considera na dedução das epressões, indique a equação de diferenças finitas que lhe perite: - Calcular o oento flector e A.(8) - Calcular as reacções e B e C.(8) 1 B 1 A 1 C Usando o forulário: D,A = ( ( 1+ ν) w A + w1 + ν ) = 617,8(,w A w1) 1,5 D r,b = ν w + 1 ν / w + w1 / ν w ν / 1 w 1,5 = 115, 5,6w,6w w (( ) ( ) ( ) ( ) ( w )/ ) ( 1) D( 1 ν) 1 = ( w ) 98,7w r C =,C = 1,5 1

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