Matemática Computacional. Carlos Alberto Alonso Sanches Juliana de Melo Bezerra

Transcrição

1 CCI- Mateática Coputacional Carlos Alberto Alonso Sances Juliana de Melo Bezerra

2 CCI- 7 Integração Nuérica Fórulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa

3 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

4 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

5 Deinição E deterinadas situações, pode ser uito díicil e até ipossível! integrar analiticaente ua unção no intervalo [a,b]: b d a Isso ocorre, por eeplo, quando o valor de é conecido e apenas alguns pontos do intervalo Por outro lado, eso quando se dispõe da epressão analítica de, costua ser vantajoso calcular sua integração nuérica, pois se conta co ua boa estiativa do erro A ideia básica é substituir trecos de por polinôios aproiadores. Desse odo, o problea é resolvido através das integrações desses polinôios

6 Regra do retângulo Considerando apenas os pontos =a e =b de [a,b], ua prieira aproiação dessa integral, que caareos de I, pode ser obtida do seguinte odo: a y b I = ab-a ou bb-a ou y b-a, onde y = a+b/ Supondo que seja disponível... a = y b = Generalizando para n+ pontos e [a,b], onde =b-a/n: I = [ n- ] = Σ i, i<n ou [ n ] = Σ i, <i n ou [y + y y n- ] = Σy i, onde y i = i+ + i /, i<n É equivalente a aproiar co polinôios de grau

7 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

8 Fórulas de Newton-Cotes Nas Fórulas de Newton-Cotes, é interpolada por u polinôio e n+ pontos de [a=,b= n ], igualente espaçados Há outros étodos para o caso e que os pontos não são equidistantes entre si, as não os estudareos neste curso Cada subintervalo [ i, i+ ] te taano : desse odo, i+ i = = b-a/n, i<n Principais órulas de Newton-Cotes: Regra dos trapézios Regra de Sipson

9 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

10 Regra siples dos trapézios Consiste e aproiar co u polinôio p de grau no intervalo [a,b], onde =a e =b: p I T Usando a órula de Lagrange para p : b a d p d a = [ b = ]d I T Assi, I T = [ + ]/, que é a área do trapézio de altura = - e bases e

11 Regra coposta dos trapézios Consiste e dividir [a,b] e n subintervalos de taano, e e cada u deles aproiar por ua reta ou seja, por u polinôio de grau Eeplo para n=4: T T T I T = T = ΣT i, i<n T 3 T = Σ[ i + i+ ]/, i<n a = 3 b = 4 T [ n n ]

12 Eeplo Calcular a integral de = 6-5 / no intervalo [;9] através das regras siples e coposta dos trapézios Regra siples dos trapézios: Sabeos que =, =9, =, =7, =8 I T = [ + ]/ = 3 Regra coposta dos trapézios: Vaos considerar n=8 e = Tabela de valores: ,,65 3,6 4,36 5, 5,57 6,8 6,56 7, T =,5 +,65 + 3,6 + 4, ,57 + 6,8 + 6,56 + 3,5 T = 37,8 Valor eato dessa integral: 38

13 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

14 Regra siples de Sipson Consiste e aproiar co u polinôio p de grau e u intervalo [a,b] co 3 pontos: Usando a órula de Lagrange para p : p Portanto: p d p I S ] [ a = b =

15 Regra siples de Sipson IS p [ ] d Trocas de variáveis: = z. = + z. d =.dz = + = + z. + = z- Analogaente, = z- = z = ; = z = ; = z = Substituindo na integral acia: I S z z dz IS [ 4 ] 3 zz dz zz dz

16 Regra coposta de Sipson Consiste e generalizar a regra de Sipson para u intervalo co u núero ípar de pontos,,..., n onde n é aior que e par, espaçados entre si pela distância E cada subintervalo, a unção será aproiada através de u polinôio de grau Eeplo co 5 pontos: I S = S = ΣS i, i<n/ S S S = Σ[ i +4 i+ + i+ ]/3, i<n/ a = 3 b = 4 S [ n 4 3 n 4 n ] 3

17 Eeplo Através das regras siples e coposta de Sipson, calcular 6 log d Regra siples de Sipson: = -6/ = I s = log log 8 + log /3 I s = 3, Na regra coposta de Sipson, vaos considerar n=8: = -6/8 =,5 I s =,5[log 6 + log + 4.log 6,5 + log 7,5 + log 8,5 + log 9,5 + log 7 + log 8 + log 9]/3 I s = 3, Valor dessa integral: 3, I S [ 4 ] 3

18 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

19 Fórula geral de Newton-Cotes É possível encontrar a órula geral da integração de u polinôio interpolador p de grau que aproia a unção e u intervalo [a,b] Para isso, é preciso deterinar + pontos e [a,b], espaçados entre si pela distância Usando a órula de Lagrange: ] [ d L L L d p I d d L d L d L I A A A I Epressão da órula geral

20 Alguns casos particulares Dados + pontos da unção espaçados co distância no intervalo [a,b], onde =a e =b, e supondo que seja interpolada pelo polinôio p de grau, indicaos abaio alguas órulas de Newton-Cotes: = I [ ] Trapézio = I [ 4 ] Sipson / = 3 I [ 3 3 ] Sipson 3/8 3 = 4 = 5 I [ ] 45 5 I [ ] 88

21 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

22 Estiativas de erros Já vios que o erro da interpolação de co u polinôio de grau e + pontos no intervalo [, ] é E = ξ/+!, [, ], onde ξ, Portanto: p E d I E d d I ξ! d

23 Erro na regra dos trapézios Na regra siples dos trapézios, o polinôio interpolador te grau : ''ξ E TS d g''ξ d, onde g = Coo ξ depende de, não podeos tirar ξ para ora da integral, as vereos u artiício para azer isso... Sabeos que g <,, Se or contínua e [, ], eiste k R e k R tais que k k nesse intervalo Portanto, g.k g. ξ g.k, pois g Logo: k gd g''ξd k g d < < k g''ξd k gd = A

24 Erro na regra dos trapézios Da ipótese de ser contínua e [, ], e coo k A k, então eiste c, tal que c = A, ou seja: g''ξd ''c gd Voltando à órula do erro: E TS 3 g''ξd ''c gd ''c, onde c, Teorea do Valor Médio para integrais No caso da regra coposta dos trapézios: E TC i 3 ''c i, onde c i i, i+, i< Coo supoos que é contínua e [, ], eiste k, tal que: i ''c i ''k E TC 3 ''k, onde k,

25 Erro na regra de Sipson /3 Coo os pontos são equidistantes entre si, as órulas de Newton-Cotes tabé pode ser deduzidas através da integração dos polinôios de Newton-Gregory Fareos isso e particular para o polinôio de terceiro grau: - i = s i, i n p = + sδ + ss Δ / + ss-s-δ 3 /6 E = ss-s-s ξ/4! Portanto: I d [p ss s s 3 d =.ds, e os etreos da integral vão de a : I 4 ξ ]d 4! 3 4 Δ Δ ξ 4 [ Δ s ss ss s ss s s 3 ] ds 6 4 Através dos esos artiícios anteriores, podeos considerar 4 ξ coo constante no intervalo de integração 4

26 Erro na regra de Sipson /3 I s s s 6 s Δ Δ Δ ξ Calculando nos etreos: s 4 s Δ 3 4 I Δ.Δ ξ 3 9 s 6 s 6 4 s 6 s 7 s 8 Lebrando: Δ = e Δ = + : Sipson /3 I [ ] ξ E SS Esse resultado é uito curioso: o uso da regra de Sipson /3 isto é, integração co u polinôio de grau garante precisão até a terceira orde! No caso da regra coposta de Sipson /3, as parábolas serão traçadas a cada subintervalos. Portanto, será preciso soar / erros Considerando o valor édio das derivadas de orde 4: E SC 5 4 ξ 8

27 Alguns casos particulares Trapézio siples: E TS 3 '' ξ ξ, Trapézio coposta: E TC 3 '' ξ b a '' ξ ξ, Sipson /3 siples: E SS 5 4 ξ 9 ξ, Sipson /3 coposta: E SC ξ b a ξ ξ 8 8, Iportante: De odo análogo ao erro da interpolação, as dierenças divididas de orde n possibilita ua estiativa do valor de n ξ

28 Teorea Geral do Erro Seja a unção contínua e co derivadas até orde + tabé contínuas no intervalo [a =, b = ] co + pontos equidistantes, onde i+ - i =, i< O erro E na integração nuérica de através do polinôio interpolador de grau que passa por esses pontos será: ξ E ss s ds para ípar! 3 ξ E s ss s ds para par! i = s i. ξ [a,b] É possível observar que, de odo geral, o erro tende a diinuir à edida que diinui e auenta

29 Eeplo Cálculo da integração nuérica de Resultado eato: e -,7888 e d Trapézio Sipson /3 Newton-Cotes co =4,5,779,78388,748548,5,7586,7984,7888,65,7884,788,7888,35,7846,7888,7888 Quanto ais baia a orde da órula utilizada, enor deverá ser o para se atingir a precisão desejada

30 Outro eeplo Cálculo da integração nuérica de Resultado eato: sen π/ sen = Valores obtidos usando apenas Newton-Cotes co =4: π / n Resultado cos d Intervalo co n+ pontos 4,39699, ,963495, ,98748, ,49874, Resultado ais próio 64,45437,

31 Coposição do erro Na verdade, o erro E é coposto por duas parcelas: E A aproiação: depende do étodo utilizado E R representação: proveniente dos cálculos no coputador Eperientalente, teos os seguintes resultados valor do erro e unção da quantidade de pontos no intervalo: E A E R E n n n* n Portanto, após u certo n*, não é possível auentar a eatidão do resultado...

32 CCI- Deinição Fórulas de Newton-Cotes Regra dos trapézios Regra de Sipson Fórula geral Estiativas de erros Método da Quadratura Adaptativa

33 Método da Quadratura Adaptativa Considere ua unção que não seja be coportada: a b Para elorar o resultado da integração nuérica de no intervalo [a,b], convé que aja ais subdivisões nos trecos ais abruptos Supondo que os valores de seja conecidos nos subintervalos, o objetivo é estabelecer u étodo capaz de reconecer a vantage ou não de subdividi-los

34 Bisseção e u subintervalo Seja I i o valor eato da integral de e [ i, i+ ], seja P i o valor da integração nuérica nesse subintervalo através da regra siples do trapézio, e seja Q i u novo resultado ao se aplicar a regra coposta do trapézio nesse subintervalo bissecionado Pelo Teorea Geral do Erro, sabeos que: I i P i = - 3 /. ξ I i Q i = -/ 3 /. ξ Considerando liitada e [ i, i+ ], teos: I i P i /I i Q i 3 // 3 I i P i /I i Q i Supondo que as derivadas de ais alta orde de tabé seja liitadas nesse eso subintervalo, é possível calcular relações análogas quando se aplica outros étodos: Sipson /3: I i P i /I i Q i 4 Sipson 3/8: I i P i /I i Q i 4 Newton-Cotes de orde 4: I i P i /I i Q i 6

35 Critério de parada Considereos que I i P i /I i Q i p, ou seja, a bisseção no subintervalo [ i, i+ ] diinuiu o erro de integração e u ator p Portanto: p I i Q i I i P i p I i p Q i + Q i I i P i + Q i p I i - p Q i + Q i - I i -P i + Q i p Q i I i Q i I i P i - Q i Q i I i P i - Q i / p Isso estabelece ua relação entre o erro e Q i e a dierença entre duas aproiações sucessivas Se desejaos anter u erro total ε na integração e [a,b], então o erro e [ i, i+ ] deve contribuir proporcionalente: Q i I i < ε i+ i /b a P i - Q i < ε p i+ i /b a Critério de parada

36 Eeplo Vejaos coo aplicar a quadratura adaptativa à regra de Sipson /3 no subintervalo [ i, i+ ] de [a, b]: ] [ n 4 n 3 n 4 3 S i = i+ - i ] [ i i i i i i i 4 6 P ] [ Q i i i i i i i i i i i Critério de parada: P i - Q i < 5 i ε/b a i+ i Pontos para Q i Pontos para P i Quando não é satiseito, ocorre duas caadas recursivas: e [ i, i + i /] e e [ i + i /, i+ ] Regra coposta

37 MatLab trapz,y Através da regra coposta dos trapézios, retorna o valor da integral da unção tabulada e e y Eeplo: = [:.:] y = sin integral = trapz,y quadun,a,b Através da quadratura adaptativa de Sipson /3, calcula a integral da unção un no intervalo [a,b] co erro total -6 Eeplo: integral = quadinline'.+5*-*.^+675*.^3-9*.^4+4*.^5',,.8