MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE

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1 MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE 1. Introdução Existe várias aneiras de se odular u sinal senoidal. De ua ora geral esse sinal senoidal a ser odulado é chaado de portadora, e pode ser expresso por : e ( t) = E cos θ ( t) equação 1 onde : E = aplitude da portadora θ ( t) = ω ( ) + φ é u ângulo variável e unção do tepo ω t = 2 π reqüência angular da portadora φ ase e relação a ua reerência arbitrária Se exainaros a equação (1) podeos observar que as características da portadora pode ser variadas através da variação da aplitude E ou do ângulo θ coo unção de outro sinal, chaado de sinal odulante. Este é o processo da odulação e aplitude, e o sinal resultante, obtido a partir da variação de u desses parâetros da portadora, chaa-se sinal odulado. Desta ora, percebe-se, que o processo de odulação e aplitude ocorre quando se az a aplitude E variar e unção do nível do sinal odulante. Quando a variação é iposta ao ângulo θ ( t),obteos a chaada odulação angular. Coo esse ângulo pode ser alterado seja pela variação de requência ou da ase φ, a odulação angular pode ser dividida e : ν MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA ( F ) ν MODULAÇÃO EM FASE ( ) 1

2 2. Modulação Angular Conceito de Modulação e Frequência e Fase Considerando-se ua portadora expressa por : e ( t) = E cos ω ( t) + φ a odulação e ase consiste e se azer variar a ase φ da portadora de odo proporcional ao nível do sinal odulante x( t). Desta ora : φ ( t) = k. x( t) esta expressão deine a odulação e Fase, onde k φ é ua constante de φ proporcionalidade, unção do odulador. Na odulação e requência, a requência da portadora é eita variar e torno do seu valor original de ora proporcional ao sinal odulante x( t). Assi : ( t) = + k. x( t) deine a odulação e requência. 2.1 Modulação e Frequência Considere u sinal odulante do tipo x( t) = E cos ω ( t), no processo F tereos : ( t) = + k. E cosω t, que corresponde a ua requência angular de : ω ( t ) = 2π ( + k. E cos ω t) Chaaos ( t) de requência instantânea. E ( t) quando cosω t = 1, teos o valor áxio do aastaento da requência instantânea da requência da portadora. Esse valor será expresso por : = k. E que é chaado de desvio de requência. Coo a requência angular é variável no tepo devido ao tero ω t, a relação entre o ângulo θ ( t) e ω t será expressa por : θ ( t) = ω ( t) dt = 2 π ( + k E cos ω t) dt Coo k ; e E são constantes pode-se ostrar que o valor da integral anterior é 2π k E 2π k E k E :θ ( t) = 2π + senω t = ω t + senω t = ω t + senω t ω 2π 2

3 Deterinado θ ( t ), a expressão do sinal odulado e requência e( t) pode ser expressa : k E e( t) = E cos θ ( t) = E cos( ω t + sen ω t) valor k E corresponde agora ao áxio valor da deasage, sendo neste caso chaado de índice de odulação β. k E Ou seja : β = = Desta ora, a expressão do sinal odulado e requência pode ser escrita coo : e( t) = E cos( ω t + β sen ω t) 2.2 MODULAÇÃO EM FASE Toando-se o sinal odulante x(t), senoidal do tipo x( t) = E cosω t, no processo M (odulação e Fase ) tereos ; φ ( t) = k E cosω t e portanto: φ θ ( t) = ω t + φ ( t) = ω t + k E cosω t, resultando a expressão inal: φ M = e( t) = E cos θ ( t) = E cos( ω t + k E cos ω t) φ onde φ = kφ E OBSERVAÇÃO : valor áxio de φ ( ) t ocorre quando o cosω t = 1 e é expresso pela expressão φ, que é chaada de desvio de ase. 3

4 odeos obter a requência instantânea do sinal odulado e ase, usando dθ ( t) d( ωt + φ cos ωt) ω( t) = = = ω φω senωt dt dt logo a requência instantânea será : 1 ( t) = ( t) = sen t ou ( t) = sen t 2π ω φ 2 ωπ ω ω φ ω 2π TABELA COMARATIVA ENTRE OS ROCESSOS DE MODULAÇÃO EM FREQUÊNCIA E FASE ITEM MODULAÇÂO EM FASE (M) MODULAÇÂO EM FREQUÊNCIA (FM) 1. ortadora E cos( w + φ ) E cos( w + φ ) 2. Sinal Modulante x( t) = E cosω t x( t) = E cosω t 3. Deinição do rocesso p w( t) φ( t) = kφ E cosω t ( t) = = p + k 2π k E 4. Fase instantânea φ( t) = kφe cosω t φ( t) = senω t x( t ) p E cosω 5. Freqüência instantânea ( t) = k φ E senω t ( t) = + k E senω t p 6. Desvio de ase φ = kφe β = k E x( t) p ( indice de od ulaç ao FM ) t 7. Desvio de reqüência φ = k E 8. Sinal Modulado e ( t) = E cos( ω + φ cos ω t) p p e ( t) = E cos( ω + β sen ω t) p p 4

5 ESECTRO DO SINAL FM Considerando a expressão do sinal odulado e requência, conore já visto anteriorente, onde : k E e( t) = E cos( ω t + β sen ω t) onde β = é o índice de odulação. Vaos desenvolver esta expressão, a i de escreve-la coo ua soa de várias coponentes senoidais, da esa ora que no processo de AM escreveos o sinal odulado coo soa das coponentes : E t E cos ω, cos( ω ω ) t e E t 2 2 cos( ω + ω ) representativas respectivaente da portadora, e das raias laterais. ara a odulação FM o desenvolviento é ais coplexo, e a expressão desenvolvida de e( t) te o seguinte aspecto : e( t) = J E cosω t J E cos( ω + ω ) t + J E cos( ω + 2ω ) + J E cos( ω + 3ω ) t J E cos( ω ω ) t + J E cos( ω 2ω ) t + J E cos( ω 3ω ) t A igura a seguir ostra o espectro do sinal de FM, e o de AM para eeito de coparação. e(t) J o (β)e o J 2 (β)e o J 1 (β)e o J 2 (β)e o J 3(β)E o (Hz) J 3 (β)e o J 1 (β)e o e(t) Ep E p 2 E p 2 0 i c s (Hz) 5

6 Cabe observar que no espectro FM, ao invés de apenas duas raias laterais, tereos ininitas raias laterais distanciadas entre si de ua requência, a partir da portadora, sendo que as coponentes equidistantes de tê o eso valor absoluto. Entretanto, na aixa de requência inerior à portadora as coponentes de orde ípar tê o sinal inverso e relação as coponentes de orde ípar correspondentes na aixa de requência superior. Este ato pode ser constatado pela análise da expressão desenvolvida de e( t ) e pode ser interpretado coo ua inversão de ase. or outro lado no processo de AM a aplitude da coponente na requência da portadora é constante e as aplitudes das raias laterais varia e unção do índice de odulação. ara o cálculo dos coeicientes J 0, J 1, J 2,..., J n que deine as aplitudes das coponentes do sinal odulado e requência é utilizada ua unção que deine o índice de odulação β, deinida pela chaada unção de BESSEL. A igura abaixo ostra ua idéia da unção para alguns coeicientes da esa: 1 Gráico dos coeicientes de unções de Bessel 0,9 0,8 Jo (β) 0,7 0,6 J1 (β) 0,5 0,4 J2 (β) J3 (β) J4 (β) J5 (β) J6 (β) J7 (β) J8 (β) J9 (β) J10 (β) 0,3 Jn 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4-0, β (rd) 6

7 Co base na igura, podeos analisar coo varia as dierentes raias do espectro de FM, veos que a edida que β auenta, seja por auento da aplitude E do sinal odulante ou por diinuição de sua requência : Exeplos : - a aplitude da raia na requência da portadora J 0 ( β ) E diinui até se anular e β = 2, 4. - e β = 2, 4 a 5, 5 a aplitude dessa raia está 180º deasada de sua situação original, sendo que nesse intervalo o valor áxio que J 0 atinge e ódulo é inerior ao seu valor inicial ( β = 0 ). Quando β coeça a auentar, a partir de β = 0, paralelaente ao decréscio de aplitude da raia na requência da portadora, as deais raias laterais, J 1 ( β ) E, J 2 ( β ) E, J 3 ( β ) E, coeça a auentar, sucessivaente. Isto signiica que a potência do sinal que estava concentrada soente na portadora, β = 0, se distribui e parte pelas raias laterais, sendo que e β = 2, 4, não há potência localizada na requência da portadora, soente nas raias laterais. Considere os valores dos coeicientes J n para deterinados índices de odulação β conore tabela a seguir : Tabela β Jn (β) (rd) J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J ,2 0,9900 0,1000 0,5 0,9384 0,2422 0,0306 0,002 0, ,7651 0,4400 0,1149 0,0195 0,002 0,0002 1,5 0,5118 0,5579 0,2320 0,0609 0,0117 0,001 0, ,2238 0,5767 0,3528 0,1289 0,0339 0,007 0,001 0,0001 2,5-0,048 0,4970 0,4460 0,2166 0,0737 0,0195 0,004 0,0007 0, ,260 0,3390 0,4860 0,3090 0,1320 0,0430 0,0113 0,002 0,0004 3,5-0,380 0,1373 0,4586 0,3867 0,2044 0,0804 0,0254 0,006 0,001 0, ,387-0,066 0,3541 0,4301 0,2811 0,1320 0,0490 0,0151 0,004 0,0009 0,0001 4,5-0,320-0,231 0,2178 0,4247 0,3484 0,1947 0,0842 0,0300 0,009 0,002 0, ,177-0,327 0,0465 0,3648 0,3912 0,2611 0,1310 0,0533 0,0184 0,005 0,001 5,5-0,007-0,341-0,117 0,2561 0,3967 0,3209 0,1867 0,0866 0,0336 0,0113 0,003 7

8 6 0,1506-0,276-0,242 0,1147 0,3576 0,3620 0,2458 0,1295 0,0565 0,0211 0,006 6,5 0,2600-0,153-0,307-0,035 0,2748 0,3735 0,2999 0,1801 0,0880 0,0365 0, ,3000-0,005-0,301-0,167 0,1577 0,3478 0,3391 0,2335 0,1279 0,0589 0,0235 7,5 0,2663 0,1352-0,230-0,258 0,0238 0,2834 0,3541 0,2831 0,1744 0,0889 0, ,1766 0,2346-0,112-0,291-0,105 0,1857 0,3375 0,3205 0,2234 0,1263 0,0607 8,5 0,0419 0,2731 0,0223-0,262-0,207 0,0671 0,2866 0,3375 0,2693 0,1694 0, ,09 0,2453 0,1448-0,180-0,265-0,055 0,2043 0,3274 0,3050 0,2148 0,1246 9,5-0,193 0,1612 0,2278-0,065-0,269-0,161 0,0993 0,2867 0,3232 0,2577 0, ,245 0,0434 0,2546 0,0583-0,219-0,234-0,014 0,2167 0,3178 0,2918 0, ,5-0,236-0,078 0,2216 0,1632-0,128-0,261-0,120 0,1235 0,285 0,3108 0, ,171-0,176 0,1390 0,2273-0,015-0,238-0,201 0,0183 0,2249 0,3088 0, ,5-0,067-0,228 0,0279 0,2381 0,0962-0,171-0,245-0,084 0,1420 0,2822 0, ,0477-0,223-0,084 0,1952 0,1825-0,073-0,243-0,170 0,0451 0,2303 0, ,5 0,1469-0,165-0,173 0,1103 0,2262 0,0345-0,198-0,225-0,053 0,1561 0, ,2074-0,071-0,218 0,004 0,2196 0,1306-0,118-0,239-0,14 0,0665 0, ,5 0,2169 0,0325-0,211-0,095 0,1664 0,1937-0,019-0,211-0,202-0,029 0, ,1789 0,1123-0,159-0,157 0,0826 0,205 0,0762-0,139-0,228-0,121 0,0828 Os espaços e branco na tabela representa valores suicienteente pequenos que pode ser desprezados. Assi sendo para β = 0, 2, as coponentes a partir de J 2 apresenta apenas ua pequena contribuição para o sinal odulado. Co β = 1, pode-se desprezar as coponentes a partir de J 4. ara β = 10, necessitaos de u núero be aior de coponentes para deinir o sinal odulado. A igura a seguir ostra os espectros de FM para os valores de β = 0, 2, 1, 5 e 10 considerando apenas o ódulo dos coeicientes J. ( não estão representadas as inversões de ase ). Na igura ( a ) β cresceu de 0,2 a 10 através do auento do nível do sinal odulante E sendo constante. E ( b ) a variação de β oi obtida pelo decréscio da requência do sinal odulante. No prieiro caso teos o espaçaento entre as raias constante, e desde que β cresce auenta o núero de raias signiicativas, o que resulta nu auento da aixa ocupada pelo espectro. Quando diinui, as raias ica cada vez ais concentradas a edida que β cresce, conore pode ser visto na igura a seguir. 8

9 Existe ainda certos valores do índice de odulação β para os quais a raia correspondente à requência da portadora no espectro do sinal odulado te aplitude zero. O valor ais baixo para que isto ocorra está e β = 2, 4. Neste caso o espectro apresentado e odulo te a seguinte característica : signiicado para este ato, é que neste ponto não há ais nenhua energia associada à requência da portadora, não odulada, isto é, toda a energia inicial da portadora não odulada está distribuída nas bandas laterais. 9

10 Ua ora prática de se observar este eeito é colocando-se u iltro seletivo be agudo na requência, e não obtereos sinal algu na saida deste iltro. Neste prieiro valor de β que anula a raia correspondente à portadora tereos : K E = 2, 4 ou E = 2, 4 K K é a constante do odulador. LARGURA DE FAIXA DO SINAL MODULADO EM FREQUÊNCIA O sinal odulado e requência te u espectro. Desta ora a geração e transissão de sinais FM ideais exigiria ua largura de aixa ininita. Entretanto existe sisteas FM co largura de aixa inita co bo desepenho. Isto se justiica pelo ato que as coponentes espectrais suicienteente aastadas da portadora te aplitude pequena e portanto pode ser desprezadas. Na verdade, este ato iplica e distorção do sinal, as que pode ser iniizada, se consideraros todas as coponentes signiicativas do espectro. Desta ora a deterinação da largura de aixa para transissão de u sinal e FM reside e estabelecer que parte do espectro do sinal odulado é suiciente. Cabe ressaltar que isto será unção da parcela de distorção que pode ser tolerada e cada aplicação especíica. odeos contudo estabelecer alguns critérios que irão nos ajudar na deinição das raias espectrais signiicativas para u sinal odulado senoidal. Co base na tabela abaixo vaos analisar estes critérios. TABELA n J n (0,1) J n (0,2) J n (0,5) J n (1,0) J n (2,0) J n (5,0) J n (10,0) 0 1,00 0,99 0,94 0,77 0,22-0,18-0,25 1 0,05 0,10 0,24 0,44 0,58-0,33 0,04 2 0,03 0,11 0,35 0,05 0,25 3 0,02 0,13 0,36 0,06 4 0,03 0,39-0,22 5 0,26-0,23 6 0,13-0,01 7 0,05 0,22 8 0,02 0,32 9 0, , , , , ,01 n

11 Veos que para cada valor de β, os valores de J n acentuado para β >>> 1. decresce para n > β, sendo Exeplo : β = 5 J = 0, 26 J J = 0, 13 = 0, 07 β = 10 J = 0, 21 J J = 0, 12 = 0, 06 Desta ora se consideraros u valor do índice de odulação β uito grande ( β >> 1 ) pode - se airar que os únicos coeicientes J n signiicativos são aqueles para os quais n n0 = β e portanto todas as raias signiicativas estão na banda de requência deinida por : ± n = ± 0 β coo β = K E teos : K E ±. teos ± K E = ± pois K E = portanto para β >> 1 ( β = 10 ) tereos : B = 2 A igura abaixo ilustra o caso de β = 10 11

12 Supoos agora β <<< 1. ara β = 0, 1 e β = 0, 2, todas as coponentes laterais são pequenas quando coparadas co a portadora. Nesta situação deveos considerar pelo enos as duas prieiras coponentes laterais, caso contrário não há odulação ( teríaos apenas a portadora ). Desta ora para β << 1 as únicas coponentes signiicativas ve a ser ± conore igura abaixo. Resuindo : ara β >>> 1 B = 2β = 2 β <<< 1 B = 2 12

13 O prieiro caso é chaado noralente de FM aixa larga, sendo que a banda necessária se ostra independente da requência do sinal odulante. quando β <<< 1te-se o processo conhecido coo FM aixa estreita, onde a banda necessária é o dobro da requência do sinal odulante. Considereos agora o caso e que β assue u valor interediário entre β <<< 1 e β >>> 1. odeos adotar o seguinte critério para se deterinar a banda necessária para o sinal odulado: Suponha que desejaos desprezar todas as coponentes nas quais o coeiciente J é enor que u certo valor ε, sendo ε unção da aplicaç~]ao do sistea. Desta ora deveos considerar todas as raias laterais até a de núero n 0 para a qual J n0 > ε sendo que a raia seguinte J n0 1 + já deve ser enor que ε. Neste caso existirão n 0 raias laterais e a banda ocupada será deinida por : B = 2n para n > Logicaente n 0 será unção de β. A igura a seguir ostra o nuero de raias a sere consideradas coo unção de β. A curva superior considera ε = 0, 01 e a inerior ε = 0, 1 13

14 A curva tracejada representa u eio tero entre os valores de ε = 0, 01 e ε = 0, 1, sendo já considerada coo ua condição bastante exigente para a deterinação do núero de raias necessárias. Utilizando esta curva podeos chegar a : β = 4 n 6 = β β = 5 n 7 = β β = 10 n 12 = β Isto signiica que, para deterinaros o núero de raias laterais necessárias, e portanto a banda B, co boa aproxiação podeos azer n 0 = β + 2, que resultará e : B = 2 n0 = 2 ( β + 2 ) = 2 ( + 2 ) 14