1.1 - Movimento Periódico: Todo movimento onde uma mesma situação se repete em intervalos de tempo iguais. No movimento periódico, definem-se:

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1 TEXTO DE REVISÃO de Moviento Harônico Siples - MHS Caro aluno (a) : No livro texto (Halliday) o cap.16 Oscilações introduz alguns conceitos uito iportantes, que serão retoados ao longo dos capítulos 17 e 18 (ondulatória). É fundaental que o aluno consiga copreender os enunciados que envolva códigos e síbolos físicos. Assi, coo se expressar corretaente utilizando a linguage física e os seus síbolos de fora adequada. Este texto de revisão é u texto introdutório, talvez a elhor fora de abordá-lo seja sugerir que ele seja lido individualente e, depois verificar a copreensão do conteúdo fazendo ua auto-avaliação através dos testes e exercícios propostos. Fazer esta revisão é ua atitude prudente e sensata, as de odo especial esta revisão deve ser feita por aqueles que sente dificuldade de base neste tea. Boa Sorte! Ondulatória e Moviento Harônico Siples (MHS) 1 - Moviento Harônico Siples (MHS): Todo oviento harônico siples (MHS) é periódico e oscilatório. O tero harônico prové do fato de que suas funções horárias são senoidais que na Trigonoetria são denoinadas funções harônicas. (No oviento harônico teos tabé as funções horárias co-senoidais) Moviento Periódico: Todo oviento onde ua esa situação se repete e intervalos de tepo iguais. No oviento periódico, define-se: a) Período (T): o enor intervalo de tepo para a repetição do fenôeno. b) Freqüência (f): o núero de vezes que a esa situação é repetida por unidade de tepo. Sabe-se que: f. T = 1 T = 1/f ou f = 1/T 1. - Moviento Oscilatório (ou Vibratório): Todo oviento de vaivé realizado sietricaente e torno de u ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio (0) corresponde ao ponto de oscilação ou vibração nula. U pêndulo siples oscilando ou ua barra rígido vibrando, coo nas figuras seguintes representa esse oviento. Através do pêndulo siples, estuda-se alguns conceitos básicos para o entendiento do MHS Pêndulo Siples: Dispositivo constituído por ua partícula pesada, suspensa por u fio ideal de copriento L (fig 1). Nu deterinado local, desprezadas as forças dissipativas (coo a resistência do ar), o corpo pendular, quando devidaente ovientado, oscila sietricaente e torno da posição 0 de equilíbrio, tendo coo extreos os pontos A e B (figura ). O oviento pendular é periódico. O ângulo θ é denoinado aplitude do pêndulo. Esse ângulo é forado pelo alongaento áxio do fio co a vertical que passa pelo ponto de suspensão. Para pequenas aplitudes (θ 50), o período de oscilação é expresso por: l T = π ATENÇÃO: O período de u pêndulo siples: g só depende do copriento do fio e da aceleração da gravidade local; não depende da assa pendular; é isócrono, isto é, o período não depende da aplitude.

2 EXEMPLO: U pêndulo siples, de copriento 90c, realiza pequenas oscilações nu local onde g = 10/s. Deterine o período e a freqüência das oscilações. Resolução: l = 90c = 0,9 g = 10 /s Aplicando-se fórula do período do pêndulo siples: T = 1 1 Coo f = f f 053, Hz T 188, l 0,9 π T = π T 1,88s g 10 Exercício de aprendizage: U pêndulo siples oscila nu plano vertical co pequena aplitude. a) Do que depende o tepo decorrido nua oscilação? b) Se o pêndulo fosse quatro vezes ais coprido, o período seria aior ou enor? Quantas vezes? - Oscilador Harônico: Didaticaente, estuda-se ua partícula realizando u MHS no oscilador harônico. U oscilador harônico consiste nua partícula de assa presa a ua ola ideal de constante elástica K. Na figura, o conjunto está sobre u plano horizontal se atrito, co a partícula na posição 0 de equilíbrio, isto é, a ola está no seu estado natural. Aplicando-se ua força externa sobre o corpo, no sentido de esticar ou copriir a ola, e soltandoo, o eso coeça a executar u MHS de período T. Supondo-se que não haja forças dissipativas, o valor x do deslocaento efetuado é chaado de aplitude (a) do MHS. A trajetória retilínea do corpo é orientada, e o ponto 0, de equilíbrio, é a sua orige. Portanto, pode-se ter x = +a (ponto A) co a ola esticada e x = -a (ponto B) co a ola copriida. A força F F aplicada é, a cada instante, igual e valor absoluto, à força elástica F el, expressa por: F el = -Kx (Lei de Hooke) O sinal enos significa que a força elástica é restauradora, ou seja, está sepre orientada para a posição 0 de equilíbrio. Nota-se que, na posição de equilíbrio (x = 0), a força elástica é nula e, nos extreos A e B, assue o valor áxio e ódulo. Coo F F el = : F = - F el (F =. a, da a. lei de Newton). a = -K. x a = k x Aceleração escalar instantânea de ua partícula e MHS, na posição x.

3 Sendo T o período do MHS e coeçando-se a contar o tepo (t = 0) a partir do ponto extreo B, as figuras seguintes representa as posições da partícula a cada u quarto de período, até copletá-lo. {t = 0 x = -a (v = 0) T t = x = 0 (v > 0) 4 T t = x = a (v = 0) t = 3T x = 0 (v < 0) 4 {t = T x = -a (v = 0) Nos pontos extreos, a velocidade é nula, pois a partícula está udando de sentido e, na posição de equilíbrio, a velocidade é áxia e valor absoluto. 3 - Energia Mecânica: Dado u sistea ola partícula, pela Conservação da Energia, sabe que a energia ecânica total é a soa das energias cinética (E c ) e potencial (E pel ), ou seja: E = E c + E pel v onde : E c = - é a expressão da energia cinética, que está relacionada a corpos e oviento; K x E pel = - é a expressão da energia potencial elástica, que está relacionada à posição de u corpo. A seguir ilustraos ua partícula de assa presa a ua ola de constante elástica K, realizando u MHS, de aplitude a, co extreos A e B. O ponto C é u ponto interediário qualquer. Quando a partícula estiver: a) nu dos pontos extreos A ou B: x = ± a e v = 0 Ec = 0 Então: k x k( a) k a E pel = ± = = k a Portanto: E = 0 + E k a Quanto aior é a energia ecânica total cedida ao sistea, aior é a aplitude do MHS. b) no ponto 0 de equilíbrio: x = 0 e v = ± V áx Então: E E c pel v = = 0 V ax Portanto: E = = ( ± V ) ax V = ax V ax + 0 E =

4 Quanto aior é a energia total cedida ao sistea, aior é a velocidade áxia. c) nu ponto C qualquer: Então: E E c pel v = k x = v Portanto: E = + k x Expressão geral da energia ecânica total do sistea. Dessa aneira, o diagraa das energias e função da abscissa x, fica assi: Aplicação: A figura ilustra ua partícula de assa = 0,5kg, oscilando e torno da posição 0, co MHS. Desprezando as forças dissipativas e sendo k = 00 N/ a constante elástica da ola, deterine: a) a energia ecânica total do sistea; b) a velocidade da partícula, ao passar pela posição de equilíbrio; c) a velocidade da partícula, no instante e que ela passa pela posição x = + 10c. Resolução: = 0,5kg k = 00 N/ a) Pela figura, a aplitude do MHS vale: a = 0c = 0,. A energia ecânica total, quando a partícula estiver nos extreos, é expressa por: E = k a (, ) 00 0 E = E = 4J b) A energia ecânica total do sistea, quando a partícula estiver passando pelo ponto 0 de equilíbrio, é expressa por: V 05 ax, V ax E = Logo: 4 = Váx = ± 4/s O sinal ais significa que a partícula está-se ovendo no sentido da orientação do eixo x e o sinal enos, o contrário. c) Pela expressão geral da energia ecânica total do sistea, te-se: v k x E = +, onde x = 10c = 0,1 05, V 00( 0, 1) 4 = + v = 1 v ± 3,46 /s

5 Exercício de aprendizage: Ua partícula oscila e MHS, presa à extreidade de ua ola cuja constante elástica vale 5,0 N/. A aplitude do oviento é de 10 c. Deterine: a) a energia ecânica da partícula; b) a energia potencial e cinética quando a partícula passar pela posição dada pela elongação x =,0 c. a), J b) E P = 1, J E c =, J 4 - Relação co MCU: O oviento harônico siples (MHS) está relacionado co o oviento circular unifore (MCU) da seguinte fora: Enquanto ua partícula efetua u MCU no sentido anti-horário de ua circunferência de raio R, confundida co o círculo trigonoétrico, a sua projeção perpendicular no eixo dos co-senos executa u MHS siultâneo. Na figura seguinte, observe-se que, nu deterinado instante t, estando a partícula nu posto P da trajetória circular, as projeções ortogonais do vetor raio R, vetor velocidade e vetor aceleração centrípeta do MCU corresponde, nesse eso instante, respectivaente, à posição x, velocidade v a cp γ, e aceleração da partícula projetada, que efetua u MHS no eixo dos co-senos (que coincide co o eixo x). v c Assi, quando a partícula, e MCU, estiver passando pelos pontos A e B os vetores raio R a cp e aceleração centrípeta estarão projetados e verdadeira grandeza (taanho real) e o vetor será u ponto. Daí, conclui-se que: v c R = X ax = a a cp = γ áx v = 0 extreos MHS

6 Mas quando a partícula, e MCU, estiver passando pelos pontos C e D, o vetor projetado e verdadeira grandeza, enquanto os vetores R e a cp v c é que estará ter ~ao projeções nulas. Portanto: vc = v = v áx x = 0 γ = 0 posição de equilíbrio do MHS Funções Horárias: As funções horárias dos alongaentos x = f (t), da velocidades v = f (t) e das acelerações γ = f (t) do MHS serão ostradas a seguir, de acordo co os conceitos do segento anterior e ais a teoria do MCU, cujas principais expressões são: π ω = T (velocidade angular) a cp = ω. R (aceleração centrípeta) ϕ = ϕ 0 + ω. t (função horária do espaço angular) v c = ω. R (velocidade linear) Sendo P a partícula e MCU, a sua projeção ortongonal P, no eixo x, estará e MHS. Nu instante t qualquer, te-se: a) FUNÇÃO HORÁRIA DO ALONGAMENTO (OU POSIÇÃO OU ELONGAÇÃO) No triângulo sobreado: x cos ϕ = r ou x = r cos ϕ; e coo R = a ϕ = ϕ 0 + ωt x(t) = a cos (ωt + ϕ 0 ) x = f (t) do MHS b) FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE: No triângulo sobreado: v sen ϕ = ; sinal de v é negativo, pois na figura v c o oviento do corpo é retrógado. Assi: v = -v c sen ϕ; coo v c = ωr, te-se: v = -ωr sen ϕ, onde R = a ϕ = ϕ 0 + ωt ou v = -ω. a. se (ωt + ϕ 0 ) v = f (t) do MHS c) FUNÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO: No triângulo sobreado: cos ϕ = γ a cp ; o sinal de γ é negativo, pois na figura o valor algébrico da velocidade está diinuindo. Então: γ = -a cp. cos ϕ; coo a cp = ω R obté-se: γ = -ω R cos ϕ, onde R = a ϕ = ϕ 0 + ωt Logo: γ = -ω. a. cos (ωt + ϕ 0 ) ou γ = -ω. x pois x = a. cos (ωt + ϕ 0 ) γ = f (t) do MHS

7 OBS: No MHS, as grandezas do MCU tê outras, apesar de conservare as esas unidades. Assi: ϕ 0 {no MCU é o ângulo inicial} {no MHS é a fase inicial } unidade: rad (radiano) ω = π T {no MCU é a velocidade angular} unidade: rad/s {no MHS é a pulsação} Aplicação: Ua partícula realiza u MHS de função x = 10. cos t + unidade CGS. 4 Deterine: a) a aplitude, a pulsação e a fase inicial; b) o período e a freqüência do oviento. Resolução: a) Para se deterinar as grandezas pedidas, basta coparar a função nuéricas dada co a função genérica. π π Função nuérica: x =10 cos t + 4 x = a cos ( ω. t + ϕ 0 ) π π Assi: a = 10c ω = π 4 rad/s ϕ 0 = π rad b) π π π 1 1 Coo ω = T : T = ω = π T = 8s; e f = T = 8 4 f = 0,15 Hz Exercício de aprendizage: Ua partícula realiza u MHS de função x = 10 cos a) a aplitude, a pulsação e a fase inicial b) o período e a freqüência do oviento. π +π t, no sistea CGS. Deterinar: R: a) a = 10 c ω = π/ nd/s ϕ = π rad b) T = 4s f = 0,5 Hz Período (T) e Constante Elástica (k): O período de u MHS é o enor tepo necessário para a partícula copletar u ciclo (ua volta). Coo no oviento do pêndulo siples, o período do MHS não depende da aplitude a; depende apenas da assa da partícula e da constante elástica (K) da ola. As duas expressões da aceleração instantânea do MHS, são: γ = kx. (I) e γ = - ω. x (II) Igualando-se (I) e (II), te-se: k E ainda: = ω ω k kx. (e ódulo) = ω. x k =. ω constante elástica π = T T = π k k (período) Obs.: Às vezes u corpo pode executar u MHS associado a duas (ou ais) olas. Sendo k 1 e k, as constantes elásticas das olas, estas pode estar associadas e série ou e paralelo.

8 a) Associação e série: Deonstra-se que a ola equivalente, neste caso, te constante elástica k e expressa por: b) Associação e paralelo: = + k k k e 1 Deonstra-se que a ola equivalente, neste caso, te constante elástica k e expressa por: k e = k 1 + k Qualquer que seja o tipo de associação, o período de oscilação do MHS é dado por: T = π k e Aplicação: Deterine o período de oscilação de u corpo de assa 00g preso a ua ola de constante elástica 30 N/, cujo MHS te aplitude 0c. Caso a aplitude se reduza à etade, o que ocorre co o período? Aplicando-se a fórula do período do MHS: T = π k 0, 1 π π T = π = π = T = s Meso que a aplitude se altere, nada ocorre co o período, pois ele não depende da aplitude. Aplicação : As constantes elásticas das olas 1 e ligadas confore a figura vale, respectivaente, 0 N/ e 80 N/. A assa do corpo suspenso na extreidade da ola vale 1Kg. Calcule: a) a constante ao sistea da ola equivalente ao sistea; b) o período das oscilações realizadas pelo sistea; c) o alongaento total do sistea devido ao peso do corpo. Adita g = 10 /s. Resolução: k 1 = 0N/ k = 80N/ = 1Kg a) Coo as olas estão associadas e série: 1 k e 1 1 k 1 k 0 80 = + k e = = ke = 16N/ k k k + k b) Aplicando-se a fórula do período: T = k e T = π 1 16 T = π s

9 c) se o corpo co o corpo Pela Lei de Hooke para as deforações elásticas (e valor absoluto): F el = k. x Coo no equilíbrio: F el = P = g, ve: g = k x e = 16. x x = 0,65 = 6,5c E xercícios de Fixação: 1) (UFMG) Nua região onde a aceleração da gravidade é g, o período t de u pêndulo siples de copriento L é dado por T = π (L/g) 1/. U pêndulo siples, cuja assa é igual a 00g, gasta 1,5s para se deslocar de u extreo ao outro de sua trajetória. Mantendo-se inalteradas as deais condições, auenta-se a assa do pêndulo para 400g. Qual o tepo que esse pêndulo gastará para ir de u extreo ao outro de sua trajetória? ) (Fusvest-SP) A figura ilustra u pêndulo forado por u fio e por ua esfera oca, cheia de areia, co u orifício e sua extreidade inferior. O pêndulo oscila co aplitude constante e a areia escoa regularente pelo orifício. Qual das figuras a seguir elhor representa o perfil da areia depositada? 3) Calcular o período de oscilação de u pêndulo siples de copriento igual a 1,6, executando pequenas oscilações nu local onde g = 10/s. Despreze influências do ar e considere π igual a 3. 4) (Fuvest-SP) Considere três pêndulos, confore indica a figura: 1 1 As assas de A e B são iguais a 1Kg e a assa de C é igual a Kg. Quanto os esos são postos a oscilar co pequenas aplitudes, podeos afirar que: a) os três pêndulos possue a esa freqüência. b) a freqüência do pêndulo B é aior que as dos pêndulos A e C. c) os pêndulos B e C possue a esa freqüência. d) os pêndulos A e C possue a esa freqüência. e) a freqüência do pêndulo C é aior que as freqüências dos pêndulos A e B. 5) Na Terra, certo pêndulo siples executa oscilações co período de 1s. a) Qual o período desse pêndulo se posto a oscilar na Lua, onde a aceleração da gravidade é 6 vezes enor? b) Que aconteceria co o período desse pêndulo, à edida que fosse reovido para ua região livre de ações gravitacionais.

10 6) (ITA-SP) Dois pêndulos siples, P 1 e P, de coprientos L 1 e L, estão indicados na figura. Deterine L e função de L 1 para que a situação indicada se repita a cada 5 oscilações copletas de P 1 e 3 oscilações copletas de P. 7) (Unicap-SP) U pêndulo siples, que executa u oviento harônico siples nu abiente escuro, é iluinado por u holofote estroboscópico. a) Sendo 1 = 0,4 o copriento do pêndulo, calcule a freqüência de suas oscilações. b) Qual deve ser a freqüência áxia do estroboscópico para que esse pêndulo pareça estar parado na posição vertical? (g = 10/s ) 8) U bloco de assa 4Kg encontra-se e repouso apoiado nu plano horizontal se atrito, preso a ua ola ideal de constante elástica 400N/ (figura a). Afastando o bloco 0,5 de sua posição inicial e abandonando-o, ele oscila e oviento harônico siples (figura b). Deterine: a) o período do oviento do bloco. b) a energia ecânica do sistea assa-ola. 9) (PUC-SP) Nu local e que a aceleração da gravidade é de 10/s te-se ua ola vertical e leve, co u extreo fixo. No extreo livre é colocada ua assa de 100 graas, que, no equilíbrio, alonga a ola e 5c. Da posição de equilíbrio, a assa é puxada para baixo c e abandonada a oscilar livreente. a) Qual a aplitude das oscilações do sistea? b) Se a assa for deslocada 4c (e vez de c) da posição de equilíbrio, o que acontecerá co o período de oscilações? 10) O sistea apresentado na figura (1) oscila co freqüência f 1, verticalente: Se o fio for cortado coo ostra a figura (), o corpo de assa M passará a oscilar verticalente co freqüência f, igual, aior ou enor que f 1? Exercício 10 11) U bloco suspenso por ua ola oscila verticalente sob a ação da gravidade terrestre. Se esse sistea for transportado para a superfície da Lua, onde o ódulo do capo gravitacional é cerca de 1/6 do terrestre o que ocorrerá co o período das oscilações verticais desse sistea? 1) Deixa-se o quilograa-padrão oscilar livreente na extreidade de ua ola ideal, sendo que ele o faz co freqüência igual a 1,0Hz. E seguida, retira-se o quilograa-padrão e coloca-se, e seu lugar, u corpo de assa desconhecida, que oscila co freqüência igual a 0,50Hz. Deterine a assa.

11 13) A figura ostra u bloco co assa de 4 Kg, preso na extreidade de ua ola ideal. Puxando o bloco 0c para baixo da posição de equilíbrio e abandonando-o e seguida, ele oscila co freqüência de 5Hz. Despreze influências do ar e considere g = 10/s e π = 10. Analise as afirações a seguir: A aplitude do oviento oscilatório do bloco é 0c. I- O período do oviento oscilatório é 0,s. II- A força resultante sobre o bloco na posição de equilíbrio vale zero. III- A força elástica sobre o bloco na posição de equilíbrio vale 40N. IV- Nos pontos de inversão, a força resultante sobre o bloco vale 800N. São corretas: a) todas as afirações. b) apenas I e III c) apenas II, III e IV d) apenas II, III e V. e) apenas III, IV e V. 14) U corpo de assa, preso a ua ola de constante elástica K, executa u HS ao longo de u eixo horizontal Ox. As elongações do corpo varia de x = -A até x = A. Deterine a elongação quando a energia cinética do bloco iguala-se à energia potencial elástica. 15) U bloco é preso a ua ola de assa desprezível, executando u MHS. Sabendo que a energia ecânica anté-se constante no valor 3,6 J e que no ponto de elongação igual a 30c a energia cinética do bloco vale,7 J, deterine para esse MHS: a) a constante de força b) a aplitude. 16) (ITA-SP) Ua partícula de assa realiza u oviento harônico siples de aplitude A, e torno de posição de equilíbrio O. Considerando nula a energia potencial para a partícula e 0, calcule a elongação para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial. 17) (UFCE) O período de oscilação de M na situação (P) é T p e na situação (S) é T s. Deterine T s /T p. 18) Na figura, o corpo de 1Kg de assa oscila na vertical, e MHS: Dados K A = K B = π N/ e KC = π N/. Calcule o período de oscilação desse corpo. 19) (ITA-SP) Ua partícula ove-se no plano (x,y) de acordo co as equações: x = v 0 t y = A cos ωt onde V 0 = 3,0/s, A = 1,00 e ω = 8,0 rad/s. Calcule o ódulo da velocidade da partícula no instante e que ωt = π/6 rad.

12 0) (Fuvest-SP) Dois corpos, A e B, ligados por u fio, encontra-se presos à extreidade de ua ola e e repouso. Parte-se o fio que liga os corpos pelo gráfico (g = 10 /s ): Sendo de 00g a assa do corpo B deterine: a) a constante elástica da ola; b) a freqüência de oscilação do corpo A. 1) U corpo de assa Kg oscila verticalente e MHS, suspenso por ua ola helicoidal ideal. As posições ocupadas pelo corpo são registradas nua fita vertical de papel, por eio de u estilete preso ao corpo. A fita desloca-se horizontalente co velocidade constante de 0, /s. Deterine: a) a freqüência e a aplitude do oviento do corpo; b) a constante elástica da ola adotando π = 10 c) a equação horária do oviento do corpo, sabendo-se que no instante t = 0 a elongação é nula e o corpo está subindo. RESPOSTAS: 1) 1,5s ) b 4) d 5) a) aproxiadaente - b) tenderá ao infinito 3) T =,4s 7) a) Aproxiadaente 0,8Hz - b) 1,6Hz 6) L = 5/9 L 1 15) a) 0N/ - b) 60c 8) 0,π s 50J 16) x = ± A/ 3 9) a) c - b) peranecerá o es o 17) 10) auenta 18) s 11) o eso 19) 5/s 1) 4Kg 0) a) K = 0N/ - b) f = 5Hz 13) a 1) A = 0,1 f = 0,4Hz 14) x = ± A/ b) K = 1,8N/ 3π c) y = 0,1 cos 08, +