Vamos dar uma voltinha?

Transcrição

1 Vamos dar uma voltinha? PARA COMEÇAR!! Ciências da Natureza Ensino Médio A patinadora desliza sobre o gelo, braços estendidos, movimentos leves, música suave. De repente encolhe os braços junto ao corpo, gira velozmente como um pião, volta a estender os braços e para por alguns instantes. O público, encantado, aplaude. Cristiana, comovida, assiste à cena pela televisão. Então, uma pergunta lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito, os patinadores encolhem os braços e, quando querem parar, voltam a estendê-los? Será que isso tem alguma coisa a ver com a Física? É claro que sim. udo tem a ver com a Física. Se ela fizer essa pergunta a um físico, ele provavelmente lhe dirá que a patinadora encolhe os braços para girar mais depressa, devido ao princípio da conservação do momento angular. Suponha que um corpo está girando e não há nenhuma ação externa atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de rotação, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuição da massa se afastar do eixo de rotação, ele vai girar mais lentamente. Com os braços encolhidos, a massa da patinadora está mais concentrada junto ao seu eixo de rotação, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braços abertos. Abrindo os braços, ela distribui sua massa de forma a afastá-la ao máximo do seu eixo de rotação. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais fácil de parar.

2 Uma demonstração experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmação. Observe a figura ao lado: uma pessoa sentada numa cadeira giratória, segurando dois halteres com os braços estendidos, é posta a girar. Se ela encolher os braços, trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento de rotação aumenta. Se ela voltar a estendê-los, a rapidez diminui, sem que para isso tenha sido feita qualquer ação externa. Essa compensação entre rapidez de rotação e distribuição de massa é explicada pelo tal princípio da conservação do movimento angular. Mas essas não são as únicas características interessantes do movimento de rotação. Um pião, por exemplo, só pode permanecer em equilíbrio enquanto gira; as bicicletas só podem se manter em equilíbrio devido ao movimento de rotação de suas rodas. Veja nas figuras que, graças à rotação, o pião se mantém em equilíbrio, apoiado apenas numa extremidade do seu eixo. A própria erra mantém constante a inclinação do seu eixo, graças ao seu movimento de rotação.

3 PARA PESQUISAR! 1. O movimento de rotação está sempre presente em nosso dia a dia. odos os veículos têm rodas, quase todas as máquinas têm eixos e polias que giram ligadas por correias e engrenagens. Dê alguns exemplos desses tipos de máquinas. 2. Os satélites de comunicação são colocados em órbita de modo a fazer uma rotação em volta da erra. Dizemos que eles permanecem estacionários pois girando junto com nosso planeta, eles parecem parados em relação ao solo. Quanto tempo um satélite estacionário demora para dar uma volta em torno do eixo de rotação da erra? FIQUE LIGADO!! Rotação: um movimento periódico Imagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante esse movimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferências, continuamente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidas vezes pela mesma posição. Por isso, o movimento de rotação é considerado um movimento periódico. A quantidade de voltas ou ciclos completados num determinado intervalo de tempo é a frequência (f) desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de um motor completa 600 voltas (ciclos) em 1 minuto, dizemos que essa polia gira

4 com uma frequência de 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invés de ciclos, costuma-se dizer rotações. Logo, a freqüência é de 600rpm (rotações por minuto). Se adotarmos o Sistema Internacional de Unidades (SI, aula 2), a unidade de tempo deve ser o segundo. No caso da polia que completa 600 rotações por minuto e lembrando que 1min = 60s, teremos a seguinte expressão: 600 ciclos por minuto = 600 ciclos em 60 segundos 600 ciclos = 10 ciclos/s 60 segundos A unidade ciclos/s (ciclos por segundo) é denominada hertz, cujo símbolo é Hz. Se um corpo em movimento periódico possui uma frequência de 5Hz, isso significa dizer que em 1 segundo ele realizou cinco voltas completas. PARA PENSAR!! Lembrando que 1 min = 60 s mostre que 60 rpm = 1 Hz. Se um ponto passa várias vezes pela mesma posição, há um intervalo de tempo mínimo para que ele passe duas vezes por essa posição. É o intervalo de tempo mínimo que ele gasta para descrever apenas uma volta ou ciclo. Esse intervalo de tempo é denominado período do movimento e é representado pela letra. Ou seja, o tempo gasto para uma volta completa é o período do movimento. O valor do período é sempre o inverso do valor da frequência f e podem ser relacionados pelas equações a seguir: ou ainda f = 1 1 = 1 f 2 Sempre que o período estiver em segundos, a frequência correspondente será dada em hertz.

5 Passo-a-passo 1. Qual a frequência e o período do movimento da pedra da ilustração abaixo que está ligada a um barbante e demora 0,25 segundo para completar uma volta? No enunciado do exercício, foi dito que o tempo gasto para a pedra completar uma volta é de 0,25 s. Verificando a definição de período (tempo gasto para completar um ciclo), podemos então afirmar que = 0,25 s. Para cálculo da frequência, utilizamos a expressão: f = 1 eremos: f = 1 = 4 Hz 0,25 Ou seja, em 1 segundo a pedra efetua 4 voltas! 2. Um satélite de telecomunicações fica parado em relação à erra. Qual o período e a frequência desse satélite? Movimento da erra em torno do seu eixo Movimento do satélite em torno da erra Para que o satélite fique parado em relação à erra, é preciso que ele acompanhe o movimento de rotação do planeta. Isso significa que, quando a erra der uma volta em torno do seu eixo, o satélite também deverá fazer o mesmo. Logo o período do satélite é igual ao período da erra, que é o tempo que nosso planeta demora para dar uma volta completa ao redor do seu eixo, que é igual a 1 dia. Portanto = 1 dia = 24 h. E lembrando que 1 h = s teremos em 24 h, um total de s (aula 2). Então o satélite estacionário possui período = s.

6 Lembrando que f = 1 f = 1 0, Hz Velocidade angular t Suponha que um disco está girando. Num intervalo de tempo t, seus raios descrevem ou varrem um determinado ângulo. A relação entre o ângulo e o tempo gasto para descrevê-lo é a velocidade angular ( ) do disco. Matematicamente: = t Se a velocidade angular do disco for constante, ele descreve ângulos iguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto para dar uma volta completa, que corresponde a um ângulo de 360 o ou 2 rad 1, será sempre igual. Consequentemente, o período e a frequência do disco serão constantes. Além disso, é possível relacionar as grandezas velocidade angular, período e frequência através das equações: = 2. 3 E como f = 1 podemos escrever: = 2..f 4 1. Vide emas de Estudo Andando em círculos que aprofunda a relação entre graus e radianos.

7 Supondo que o disco gire com velocidade angular constante, observa-se que sua frequência e seu período também serão constantes. Nesse caso, cada ponto do disco descreve um (MCU). Como pode-se equacionar o movimento circular uniforme? Lembrando que equacionar um movimento é estabelecer uma relação matemática entre duas de suas variáveis (posição e tempo, velocidade e tempo etc). No movimento circular as relações que usamos são o ângulo inicial ( o), a velocidade angular ( ) e o tempo (t) através da equação: t to = o +.t Assim, é possível estabelecer uma relação entre o ângulo e o instante em que ele está sendo descrito. Essa equação é conhecida como equação ou lei angular do MCU. o = o +.t Velocidade de um ponto em MCU Até agora só falamos da velocidade angular de um ponto material. Entretanto, estando em movimento, um corpo vai percorrer distâncias em intervalos de tempo. Ou seja, além da velocidade angular ( ) ele também tem uma velocidade (v). Como relacionar v com as grandezas, (período) e f (freqüência)? v v A figura mostra a variação de direção do vetor velocidade em alguns pontos. Como o movimento é uniforme, o valor da velocidade será dado por: v = comprimento do percurso tempo gasto v v O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é o período do movimento. O espaço percorrido pela partícula, durante um período o, é o

8 comprimento da circunferência que vale 2 R (Aula 16 do curso de Matemática Ensino Médio do Novo elecurso). Substituindo, na expressão anterior, o valor da velocidade será dado: v = 2..R 5 Essa expressão pode ser escrita como v = 2..R. 1 Lembrando que f = 1, temos: v = 2..R.f 6 Lembrando ainda que, se = 2. Pode-se achar uma relação entre a velocidade v e a velocidade angular. Basta fazer: e consequentemente v = 2..R v =.R 7 Observando as expressões apresentadas até agora, pode-se perceber duas propriedades muito importantes do movimento circular: A velocidade v do ponto material depende da frequência (ou do período) do movimento e do raio da circunferência descrita (equações 5, 6, e 7). A velocidade angular depende apenas da frequência (ou do período), mas não depende do raio (equações 3 e 4).

9 Aceleração centrípeta Atividade: este a si mesmo!! Observe o corpo abaixo, que possui velocidade constante de 10m/s e se encontra em movimento circular uniforme: 10 m/s A 10 m/s noroeste norte B oeste leste C 10 m/s sul sudeste Especifique a intensidade (valor), o sentido e a direção da velocidade nas posições A, B e C: Posição Intensidade Direção Sentido A B C Ao preencher a tabela, você deve ter percebido que, embora o valor numérico de um ponto qualquer seja sempre o mesmo, a velocidade varia em direção e em sentido. Se a velocidade varia, é porque existe uma aceleração agindo sobre esse ponto material em MCU. Isso ocorre porque no MCU a aceleração é sempre perpendicular à direção da velocidade. v a c v a c a c v

10 Sendo perpendicular à velocidade, a aceleração tem sempre a direção do raio e denomina-se aceleração centrípeta (ac); seu valor é dado pelas expressões: ac = v 2 8 ou ac = 2.R 9 R Assim, se um automóvel faz uma curva circular com velocidade constante, ele está acelerando, o que não aconteceria se ele estivesse em linha reta. Se essa velocidade for 72 km/h (20 m/s), por exemplo, e o raio da curva for 100 m, a aceleração centrípeta será: ac = v 2 ac = (20) 2 = 400 = 4 m/s 2 R É importante notar que essa aceleração só contribui para o automóvel fazer a curva, não altera o valor da velocidade. Essa é uma idéia nova que deve ficar mais clara com o auxílio das leis de Newton, que pode-se ver em seguida. O e as leis de Newton Das três leis de Newton, duas têm relação direta com o movimento circular uniforme. A primeira lei afirma que para que um corpo tenha velocidade constante em trajetória retilínea, a força resultante sobre ele deve ser nula. Como no MCU a trajetória não é retilínea, conclui-se que a força resultante não é nula. A segunda lei de Newton estabelece uma relação entre força resultante e aceleração: F = m.a. Se a força resultante é proporcional à aceleração, existindo aceleração; existe força resultante. Além disso, se a aceleração é centrípeta, orientada para o centro da circunferência, a força resultante também será orientada para o centro da circunferência, ou seja, a força resultante é a força centrípeta. Se ac é a aceleração centrípeta, pode-se representar por Fc a força centrípeta (vide ilustração ao lado). Nesse caso, para o Fc movimento circular uniforme, a segunda lei de Newton pode ser expressa assim: Fc = m.ac Fc Fc

11 AENÇÃO: É muito importante entender que a força centrípeta é a resultante das forças que atuam sobre o corpo, não é uma força nova ou especial. Em outras palavras, no MCU, em cada situação, uma ou mais forças podem exercer o papel de força centrípeta. A força centrípeta pode ser o peso do corpo, a força de atrito entre o corpo e o plano, a tração num fio, a resultante de algumas dessas forças ou ainda: Um satélite de telecomunicações executa uma órbita circular em torno da erra. A força centrípeta nesse caso é a força de atração que a erra exerce sobre ele. Um carro faz uma curva circular numa estrada plana e horizontal. A força centrípeta, nesse caso, é a resultante das forças de atrito entre os pneus e a estrada. As pistas dos autódromos e das boas estradas e avenidas são inclinadas nas curvas. Isso é feito para que os motoristas não dependam apenas do atrito para fazer a curva. Assim, a reação da pista sobre o veículo é inclinada, o que ajuda a aumentar o valor da força resultante que exerce o papel de força centrípeta. Comente as afirmações abaixo: Uma curva de estrada mal construída, sem a inclinação adequada, pode acarretar inúmeros acidentes. Quase todas as máquinas, domésticas ou industriais, têm no movimento de rotação a base de seu funcionamento. Para terminar Nesta aula, você aprendeu: O que são movimento periódico, frequência e período; O que é velocidade angular e como ela se relaciona com f e ; O que é um (MCU);

12 A equação do MCU; Ciências da Natureza Ensino Médio Que a velocidade de um ponto em MCU é constante em módulo, mas varia em direção e sentido; O que são aceleração e força centrípeta. MÃOS À OBRA 1. Um satélite artificial descreve uma órbita circular a km da superfície da erra, efetuando uma volta a cada 2h. Determine o valor da sua velocidade. (Adote Rerra = km e = 3,14.) 2. No exercício anterior, qual o valor da aceleração centrípeta do satélite? 3. Um satélite está a 600 km de altura, em órbita circular, efetuando uma rotação em 3 horas. Qual a velocidade do satélite, sua velocidade angular e a aceleração centrípeta, admitindo-se que ele está sobre o Equador e que o raio da erra é de km? (Adote = 3,14.) 4. No satélite do exercício anterior, há um astronauta com massa de 85kg. Qual a força que a erra exerce sobre ele? 5. Um carro de 800 kg faz uma curva circular plana e horizontal de 100 metros de raio, com velocidade de 72 km/h (20 m/s). Qual a resultante das forças de atrito que atuam sobre ele? 6. A ilustração abaixo representa uma roda gigante, num parque de diversões. O ponto A dá uma volta completa a cada 10 s. Calcule a velocidade e a aceleração no ponto A e a velocidade angular. A 5m

13 Gabarito dos exercícios Ciências da Natureza Ensino Médio 1. O tempo de uma volta é o período do movimento do satélite. Logo = 2 h. O raio da trajetória será dado por: R = raio da erra + altura na qual R = R = km Utilizando a expressão: v = 2..R v = 2x3,14x v = 6,28x v = o satélite se encontra v = km/h m/s 2. ac = v 2 R onde v = m/s R = km = m ac = v 2 R ac = (6.978) ac = ,1 m/s Para a velocidade do satélite: O tempo de uma volta é o período do movimento do satélite. Logo = 3 h. O raio da trajetória será dado por: R = raio da erra + altura na qual o satélite se encontra R = R = km Utilizando a expressão:

14 v = 2..R v = 2.3, v = 6, v = v km/h m/s Para a aceleração centrípeta ac = v 2 R ac = (4.070) ac = ,3 m/s Para a velocidade angular: 1ª resolução 2ª resolução v =.R = = ,0006 rad/s = 2. onde = 3 h = s = 2.3, = 6, ,0006 rad/s 4. Utilizando a expressão F = m.ac onde m = 85kg ac = 2,3 m/s 2 F = m.ac F = 85.2,3 F = 195,5 N

15 5. A resultante das forças de atrito corresponde à força centrípeta. eremos: Fc = m.ac Onde m = 800kg e ac = v 2 = (20) 2 = 400 = 4 m/s 2 R Então teremos: Fc = m.ac Fc = Fc = N 6. eremos para a velocidade angular = 2. onde = 10 s = 2.3,14 10 = 6,28 10 = 0,628 rad/s Para a velocidade do ponto A v =.R onde = 0,628 rad/s R = 5m (de acordo com a ilustração) eremos: v =.R v = 0,628.5 v = 3,14 m/s Para a aceleração centrípeta ac = v 2 R ac = (3.14) 2 5

16 ac = 9, ac = 1,97 m/s 2 Gabarito do este a si mesmo!! Posição Intensidade Direção Sentido A 10m/s leste-oeste para oeste B 10m/s norte-sul para norte C 10m/s noroeste-sudeste para sudeste Para pesquisar A resposta para o segundo questionamento encontra-se na resolução do segundo exercício do tópico Passo-a-passo. Para pensar 60 rpm = 60 ciclos por minuto 60 ciclos por minuto = 60 ciclos por 60 segundos 60 ciclos por 60 segundos = 60 ciclos/60s 60 ciclos/60s = 1ciclo/s = 1 Hz