Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Ordem

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Bruna Rijo Paixão
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1 Aplicações de Equações Diferenciais de Segunda Orde Fernanda de Menezes Ulgui Filipi Daasceno Vianna Cálculo Diferencial e Integral B Professor Luiz Eduardo Ourique Porto Alegre, outubro de 2003.

2 Escolha do Problea Molas Vibrantes Considereos o oviento de u objeto co assa na extreidade de ua ola que está ou na vertical (coo na figura 1) ou na horizontal sobre o nível da superfífie (coo na figura 2). posição de equilíbrio 0 x x Figura 1: Sistea assa/ola na vertical. 0 x x Figura 2: Sistea assa/ola na horizontal. Segundo a Lei de Hooke, se a ola estiver esticada (ou copriida) x unidades do copriento natural, então ela exerce ua força proporcional a x: força restauradora = kx onde k é ua constante positiva (chaada constante da ola). Se ignoraros qualquer força de resistência externa (devido à resistência do ar 1

3 ou atrito), então, pela Segunda Lei de Newton (força é igual a assa vezes acelereção), tereos: d2 x dt 2 = kx ou x d2 + kx = 0 (1) dt2 Esta é ua equação diferencial linear de segunda orde. Sua equação auxiliar é r 2 + k = 0 co as raízes r = ±ωi, onde ω = k. Assi, a solução geral é: x(t) = C 1 cos ωt + C 2 sen ωt que pode tabé ser escrita coo onde x(t) = A cos(ωt + δ) k ω = (freqüência) (2) A = C1 2 + C2(aplitude) 2 (3) Motivo da Escolha cos δ = C 1 A sen δ = C 2 A (δ é o ângulo de fase) Foi escolhido o problea das olas vibrantes para que o grupo encontrasse u exeplo diferente do deonstrado e aula pelo professor. Exeplo este que deonstrava o uso de equações diferenciais de segunda orde na resolução de probleas co circuitos elétricos. 2

4 Casos Particulares Vibrações Aortecidas A seguir considerareos o oviento de ua ola que está sujeita a ua força de atrito (no caso da ola horizontal da figura 2) ou ua força de aorteciento (no caso de ua ola vertical que se ovienta através de u fluido, coo na figura 3). U exeplo é a força de aorteciento proporcionada pelo choque absorvido e carro ou bicicleta. Figura 3: Sistea assa/ola através de fluido. Vaos supor que a força de aorteciento seja proporcional à velocidade da assa. e atue na direção oposta ao oviento. (Isso te sido confirado, pelo enos aproxiadaente, para alguns experientos físicos.) Assi força de aorteciento = c dx dt onde c é ua constante positiva, chaada constante de aorteciento. Assi, nesse caso, a Segunda Lei de Newton fornece ou d2 x dt 2 = força restauradora + força de aorteciento = kx cdx dt d2 x dt + cdx + kx = 0 (4) 2 dt A equação 4 é ua equação diferencial linear de segunda orde, e sua equação auxiliar é r 2 + cr + k = 0. As raízes são r 1 = c + c 2 4k 2 3 r 2 = c c 2 4k 2 (5)

5 Co essas raízes, precisaos discutir três casos Caso I - c 2 4k > 0 (superaorteciento) Nesse caso r 1 e r 2 são raízes distintas e x = C 1 e r 1t + C 2 e r 2t Caso II - c 2 4k = 0 (aorteciento crítico) Nesse caso r 1 e r 2 são raízes iguais r 1 = r 2 = c 2 x = (C 1 + C 2 t)e (c/2)t Caso III - c 2 4k < 0 (subaortecido) Nesse caso r 1 e r 2 são raízes coplexas onde r 1 r 2 } = c 2 ± ωi A solução é dada por ω = 4k c 2 2 x = e (c/2)t (C 1 cos ωt + C 2 sen ωt) Exeplos Nuéricos Exeplo 1 Dados assa = 2 kg copriento natural = 0,5 copriento esticada = 0,7 4

6 força restauradora = 25,6 N velocidade inicial = 0 Desenvolviento x = 0, 7 0, 5 = 0, 2 k(0, 2) = 25, 6 logo k = 25,6 0,2 = d2 x dt x = 0 x(t) = C 1 cos 8t + C 2 sen 8t x (t) = 8C 1 sen 8t + 8C 2 cos 8t x (0) = 0 C 2 = 0 x(t) = 1 cos 8t 5 O gráfico da figura 4 ostra que ao longo do tepo, a posição da assa fica variando de -0,2 a 0,2. Disso, podeos toar que a aplitude, dada pela equação 3 é A = = = C1 2 + C2 2 C2 2 0, 2 2 Exataente coo ostrado no gráfico da figura 4 E a freqüência, dada pela equação 2 é = 0, 2 (6) 5

7 0.2 (cos (8*x))/ posicao tepo posição tepo 0 < t < 2,05-0,2 < x < 0,2 Figura 4: Gráfico da posição e função do tepo. ω = = k = 64 = 8 ciclos por unidade de tepo (7) Veos que o sistea perace oscilando ad infinutu co a freqüência dada pela equação 7 e aplitude dada pela equação 6. Exeplo 2 - co aorteciento Dados assa = 2 kg 6

8 copriento natural = 0,5 copriento esticada = 0,7 força restauradora = 25,6 N velocidade inicial = 0 constante de aorteciento = 40 Desenvolviento x = 0, 7 0, 5 = 0, 2 k(0, 2) = 25, 6 c = 40 logo k = 25,6 0,2 = 128 ou 2 d2 x dt dx dt + 128x = 0 d 2 x dt dx dt + 64x = 0 A equação auxiliar é r r + 64 = (r + 4)(r + 16) = 0 co raízes 4 e 16, logo o oviento é superaortecido e a solução é x(t) = C 1 e 4t + C 2 e 16t Estaos dando que x(0) = 0, logo C 1 + C 2 = 0. Diferenciando obteos logo x (t) = 4C 1 e 4t 16C 2 e 16t x (0) = 4C 1 16C 2 Ua vez que C 2 = C 1, isso nos fornece que 12C 1 = 0, 6 ou C 1 = 0, 05. Portanto: x = 0, 05(e 4t e 16t ) Analizando este resultado, veos que o sistea assa/ola, te ua rápida desaceleração e ne eso apresenta ua oscilação co ciclo copleto. 7

9 posição tepo 0 < t < 3 Figura 5: Gráfico da posição e função do tepo. 8

10 Referências Bibliográficas [1] ANTON, Howard. Cálculo U Novo Horizonte 6.ed. Porto Alegre : Bookan, v.2 [2] SHENK, Al. Cálculo e Geoetria Analítica. São Paulo : Editora Capus, v.2 [3] STEWART, Jaes. Cálculo 4.ed. São Paulo : Pioneira Thopson Learning, v.2 9

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