Unidade II - Oscilação

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1 Unidade II - Oscilação fig. II.1. Exeplos de oscilações e osciladores. 1. Situando a Teática O propósito desta unidade teática é o de introduzir alguas ideias sobre oscilação. Estudareos o oviento harônico siples, o oscilador harônico siples, que pode ser odelado por u sistea acoplado assaola, a energia de u oscilador, o pêndulo siples e outros sisteas oscilantes, coo por exeplo, o pêndulo físico. Tabé estudareos as oscilações aortecidas e forças. A fig. II.1 ostra o gráfico de u sistea oscilante e ua engrenage oscilante.. Probleatizando a Teática U dos assuntos de ais iportância na física é aquele que estuda os fenôenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, coo o oviento orbital de u planeta ao redor do Sol, o oviento de rotação de u CD e u coputador, o oviento de vai e ve de u pistão e ua engrenage de u autoóvel, a vibração de ua corda e ua guitarra, o oviento vibratório de ua ponte ou edifício, etc. Quando estudaos e detalhes u sistea acoplado ola-assa, as equações ateáticas que se desenvolve para descrever tal sistea são de grande iportância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de todos outros sisteas oscilantes. Dentre uitos probleas ligados a oscilação de u sistea físico, pode ser citado u problea prático que existir na ecânica de autoóveis: as forças dos gases da cobustão gera torque pulsante na árvore de anivelas e no volante, e regies de baixas rotações, onde se pode detectar co ais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são transitidas através da ebreage ao sistea de transissão do veículo. As engrenagens livres da transissão recebe essas oscilações, gerando vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando e ruídos e regies de archa lenta. A solução desse problea surge através de u sistea de aorteciento de olas e u volante bi-assa. Esse é u exeplo de oscilação ligada à indústria autoobilística. Veja a fig. II. para ter ua ideia do problea. 1

2 fig. II.. Exeplo de u sistea oscilante na indústria autoobilística. 3. Moviento Harônico Siples O oviento de ua partícula ou de u sistea de partículas é periódico se ele é repetido e intervalos regulares de tepo. U oviento periódico de vai e ve de u corpo é chaado de oscilação. Existe uitos ovientos dessa natureza coo, por exeplo, o oviento de u pistão, de u pêndulo, de ua corda de guitarra, etc. U oviento é dito oviento harônico siples (MHS) se a posição coo função do tepo te a fora x Acos( t ) eq. II.1 onde A, e são constantes. A quantidade A e chaada de aplitude do oviento, que é a distância entre o ponto édio (x = 0) e o ponto de retorno ( x = A ou x = -A); é a frequência angular, que está relacionado ao período do oviento, isto é, T eq. II. Enquanto que a frequência do oviento, 1 eq. II.3 T A unidade de frequência é dada e ciclos por segundo e de frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência usualente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O arguento do cosseno, ( t ) é chaado de fase e é dita fase constante. Essa constante deterina e que tepo a partícula alcança o

3 ponto de deslocaento áxio. Isto é, t ax 0 ou t ax. O que nos ostra que a partícula alcança o ponto de deslocaento áxio e - /, antes de t = 0. Note que x Acos( t ) Asen[ t ( / )], pode ser representado por ua função seno quando udaos a fase constante. Por outro lado, x Acos( t ) ( Acos )cost ( Asen ) sent, expressando o MHS coo ua superposição de funções senos e cossenos. Existe ua siples relação geoétrica entre o MHS e MCU oviento circular unifore. Considere ua partícula ovendo-se co ua velocidade angular sobre u círculo de raio A. Se e t = 0 a posição angular dela é, então a posição angular nu tepo depois é t, as coordenadas do ponto do círculo são x Acos( t ) e y Asen( t ) Acos( t / ), donde veos que x e y possue MHS. 4. O Oscilador Harônico Siples O Oscilador Harônico Siples consiste de ua assa acoplada ua ola de assa ideal que obedece a lei de Hooe. fig. II-3. Deslocaento de ua assa ligada a ua ola de acordo co a lei de Hooe. Usando a segunda lei de Newton obteos a equação de oviento da assa do sistea acoplado assa-ola d x x eq. II.4 Podeos resolver essa equação através de equações diferenciais, as vaos deixar para u curso de ecânica geral esses cálculos. Sabeos que, dadas as condições iniciais de eq. II.4, podeos garantir a existência da solução da equação e, nesse caso, deterinar o oviento. 3

4 Da eq. II.1 calculando-se a prieira e segunda derivadas co relação ao tepo obteos d x x eq. II.5 Assi coparando eq. II.4 e eq. II.5 concluíos que o oviento assaola é u MHS co ua frequência angular eq. II.6 Para as condições iniciais, t = 0, tereos, a velocidade v v0 e a posição x x 0, onde x0 Acos e v0 Asen. Daí e do fato do sistea assa-ola ser u MHS x Acos( t ) x0 cos( t) v0 sen( t) eq. II.7 que expressa o oviento e teros das condições iniciais. 5. Energia do Oscilador A energia cinética de ua assa e u MHS é: K = 1 v, 1 K [ A sen( t )] 1 1 A sen ( t ) A sen ( t ) eq. II.8 Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da ola, que é conservativa, é U x [ Acos( t )] A cos ( t ) eq. II.9 1 A e o valor ínio é 0. Quando x O valor áxio para K e U é igual a = 0, K é áxia pois a velocidade é áxia nesse ponto, enquanto U = 0. Quando a assa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é áxia, isto para u deslocaento áxio. Coo a força é conservativa, E = K + U é ua constante de oviento. Note que podeos ver facilente E eq. II A

5 Note que o deslocaento áxio e velocidade áxia pode ser dados e teros de E x ax E A e v ax E eq. II.11 Vaos analisar a curva de potencial para u MHS que podeos ver no gráfico ao lado: 1 U x Note que os valores áxios para os deslocaentos depende do valor de E ostrado no gráfico coo o nível de energia. Auentando-se a altura do nível de energia a aplitude de oscilação auenta, visto que a distância entre os pontos de retorno auenta. fig. II. 4. Curva de potencial do MHS coo função de x 6. Pêndulo Siples O pêndulo siples consiste de ua partícula sustentada por u fio inextensível de assa desprezível. Ele oscila e torno da posição de equilíbrio, coo podeos ver na fig. II.5. Coo a partícula e o fio estão dispostos coo ua unidade rígida, o oviento pode ser considerado coo ua rotação e torno de u eixo localizado no ponto de suspensão, então I glsen d L glsen L fig. II.5. Diagraa de u pêndulo siples. d gsen L eq. II.11 Para pequenas oscilações do pêndulo, sen (isto pode ser entendido através da série de Taylor para função f ( ) sen sobre o ponto 0 ) a eq. II.11 torna-se, d g L eq. II.1 Veja que esta equação te a esa fora da eq. II.4 e, dessa fora, é u MHS, isto é, A cos( t ) eq. II.13 5

6 co frequência angular de u pêndulo siples igual a g / L. Enquanto o período é dado por T / L / g. Noteos que o período soente depende do copriento do fio e da aceleração da gravidade e não da assa da partícula e aplitude de oscilação. A energia de cinética pode ser vista coo, 1 1 d 1 K I I[ ] L [ Asen( t )] 1 K gla sen ( t ) eq. II.14 A energia potencial é siplesente a energia potencial gravitacional, U gh g( L Lcos) gl(1 cos ), as se é suficiente pequeno, levando e conta ua aproxiação através da série de Taylor 1 para função f ( ) cos sobre o ponto 0, cos 1, portanto 1 a energia potencial U gl 1 U gla cos ( t ) eq. II.15 1 Noteos que E K U gla const.. Assi E é ua constante de oviento. 7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção Nós vios na secção anterior que o pêndulo siples coporta-se coo u MHS para pequenas aplitudes de oscilação, próxias à posição de equilíbrio. Muitos outros sisteas físicos coporta-se dessa fora. Isto é, a força efetiva é usualente proporcional ao deslocaento. Vejaos isto através da série de Taylor para ua F = F(x), onde x é o deslocaento. df F( x) F(0) dx x0 1 d F x dx x0 x... eq. II.16 Se o oviento é e três diensões cada coponente da força te u desenvolviento de Taylor seelhante nas respectivas direções. Podeos ter x = quando o deslocaento for angular. Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocaento é suficienteente pequeno os teros de orde superior ou igual a dois pode ser desprezados quando coparados aos de prieira orde. Assi, df F( x) x eq. II.17 dx 6 x0

7 Se tiveros F( x) x, onde df dx x0 veos que a lei de Hooe é ua aproxiação geral que descreve forças para pontos próxios ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F co relação a x, que podeos verificar que tereos u equilíbrio estável quando 0 (a força é restauradora), equilíbrio instável quando 0 (a força é repulsiva), enquanto x = 0 tereos u equilíbrio neutro. U pêndulo físico consiste de u corpo sólido que está suspenso por u eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo te u oviento de vai e ve. Podeos ver na fig. II.6 o diagraa de u pêndulo físico. A equação de oviento é aquela para u corpo rígido, d I I, por u lado MgLsen e assi obteos a equação de oviento para oscilações suficienteente pequenas, d MLg I eq. II.18 A solução dessa equação representa u MHS co frequência MgL / I. O pêndulo de torção é uito parecido co o pêndulo físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por u tipo de ola espiral. Sob a suposição que o deslocaento do pêndulo de torção da posição de equilíbrio seja suficienteente pequeno, o torque é proporcional ao deslocaento angular eq. II.19 fig. II.6. Diagraa de u pêndulo físico. onde é a constante de torção da ola ou N/rad. A equação de oviento do corpo fibra, co unidades rígido é d I eq. II.0 Que é novaente a equação de u oscilador que possui MHS, cuja frequência é dada por / I. Podeos ver exeplos de pêndulos de torção na figura ao lado. 8. Oscilações Aortecidas e Oscilações Forçadas E u oscilador real, digaos u pêndulo, existe forças externas, por exeplo forças de atrito. Se o pêndulo coeça a se ovientar co ua aplitude ao longo do tepo essa aplitude diinui. 7

8 A fig. II.8 ostra o deslocaento de u oscilador co atrito. O oviento resultante é chaado de oviento harônico aortecido. Esse oviento pode ser representado pela função x A ( b / ) t 0e ) cos( _ t eq. II.1 fig. II.8. Linha de universo de ua partícula co oviento harônico aortecido. _ quando a força de aorteciento bv é suficienteente pequena e x é solução da dx d x equação diferencial, x b, onde / b / 4 na eq. II.1. _ Quando b e, tereos u aorteciento crítico, o sistea não oscila ais, retornando para sua posição de equilíbrio se oscilar. b corresponde a u superaorteciento. O sistea não ais oscila tabé as volta para posição de equilíbrio ais devagar do que o caso anterior. Enquanto para b o sistea oscila co ua aplitude que diinui continuaente. Essa condição denoina-se de subaorteciento. U aortecedor de carro é u exeplo de oscilador aortecido, be coo u dispositivo usado nas raquetes de tênis que diinui as vibrações. fig. II.9. Exeplos de osciladores aortecidos Nas oscilações aortecidas, a força de aorteciento não é conservativa, a energia ecânica não é constante e diinui tendendo a zero ao passar o tepo. Vaos deduzir a taxa de variação da energia. Teos que 1 1 de E v x dx x b dv v d x x dx coo de bv eq. II. Podeos anter constante a aplitude das oscilações aortecidas se forneceos ao sistea u epurrão no final de cada ciclo. Esta força adicional é chaada de força propulsora. Quando aplicaos ua força propulsora variando periodicaente co a u oscilador harônico aortecido, o oviento resultante é ua oscilação forçada. A frequência da oscilação da assa é igual a frequência da força propulsora. Veja que. O caso ais siples é aquele e que a força propulsora é senoidal, isto é, F( t) F sent. Novaente não vaos resolver a equação diferencial, deixado para outro 8 _ ax

9 curso. A expressão da aplitude de u oscilador forçado e função de é Fax A. Quando / e = 0, ( ) b w A A ax. Quando a aplitude correspondente à oscilação forçada está próxia da frequência da oscilação natural do sistea, essa aplitude atinge u pico, dizeos que ocorreu o fenôeno da ressonância. A ressonância de u sistea ecânico pode ser destrutiva. E projetos da aviação e de engenharia este conceito é fundaental. O trataento ateático da ressonância é deixado para u curso de ecânica geral. Exercícios Resolvidos Exeplo II. 1 Ua espécie de altofalante usado para diagnóstico édico, oscila co ua frequência de 6,7MHz. Quanto dura ua oscilação e qual é a frequência angular? Solução: O período T é dado por T 1,5 10 s. Por outro lado 6 6,7 10 Hz 6 sabeos que (rad / ciclo)( 6,7 10 ciclos/s) = 7 4, 10 rad/s. Exeplo II. E u sistea acoplado verificaos que ao puxaros a ola por u dinaôetro da esquerda para direita co ua força de 6 N, este produz u deslocaento de 0,030. A seguir reoveos o dinaôetro e colocaos ua assa de 0,50 g e seu lugar. Puxaos a assa a ua distância de 0,00 e observaos o MHS resultante. Calcule a constante da ola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o período da oscilação. Solução: F 6 A força restauradora da ola é -6,0 N, assi 00N /. x 0,030 A frequência 0 rad/s. A frequência angular é 0rad / s 3,ciclos / s 3,Hz. O período rad / ciclo T 1 0,31 s / ciclo ou siplesente 0,31 s. Exeplo II. 3 No exeplo anterior coloque = 0,50 g, u deslocaento inicial de 0,015 e ua velocidade inicial 0,40 /s. Calcule o período, a aplitude e o ângulo de fase do oviento. Escreva as equações para o deslocaento, a velocidade e a aceleração e função do tepo. 9

10 Solução: O período é o eso pois, para u MHS, este soente depende da assa e de. 1 v0 A aplitude A ( x0 ) 0, 05. O ângulo de fase é calculado por v0 tg 53 0,93rad. x0 Agora tereos x Acos( t ) = 0,05cos(0t-0,93); v Asen( t ) 0,50sen(0t 0,93) ; a Acos( t ) 10 cos(0t 0,93). Exeplo II. 4 Na oscilação do ex.ii. coloque x = 0,00. Ache a velocidade áxia e ínia atingidas pela assa que oscila. Ache tabé a aceleração áxia. Calcule a velocidade e a aceleração quando a assa está na etade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastaento áxio. Qual a energia total, a potencial e a energia cinética nesse ponto? Solução: Da eq. II.10 podeos expressar v A x. A velocidade áxia acontece quando x = 0 passando a assa da esquerda para direita e assi v = +0,40 /s. Enquanto a velocidade ínia acontece quando x = 0 passando a assa da direita para esquerda, v = -0,40 /s. Teos que a x. A aceleração áxia se dará para x = -A. Logo a = +8 / s. A aceleração ínia ocorre e x = +A e assi, a = 8 / s. Para x A/, v 0,35 / s e a 4 /s. A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto 1 U x 0, 010J e K 1 v 0,030J. Exeplo II. 5 U bloco de assa M preso a ua ola de constante descreve u MHS na horizontal co ua aplitude A 1. No instante e o bloco passa na posição de equilíbrio, ua assa cai verticalente sobre o bloco de ua pequena altura. Calcule a nova aplitude e o período do oviento. Solução: Note que o oviento está dependo da posição e assi usaos o étodo da energia. Antes da assa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalente inelástica, a energia diinui, voltando a ser constante depois da colisão. 1 1 Antes da colisão: E1 0 Mv1 A1 v1 A1. Enquanto o M oentu linear é Mv 0 1. Durante a colisão existe conservação do oentu linear do sistea assa-bloco. A colisão dura uito pouco tepo, de fora que a assa e o bloco se encontra e 30

11 x = 0. Note que U = 0 e que teos soente K, poré enor do que K antes da colisão. Depois da colisão: O oentu linear é ( M ) v e pela lei de conservação de oentu linear Mv1 ( M ) v, de onde podeos obter v e obteros, 1 1 M M E ( M ) v v1 E1. Na verdade podeos dizer M M que a energia cinética perdida é usada para elevar a teperatura do bloco. Coo E 1 A A A1 M. M M O cálculo do período é T. Veja que a aplitude tornou-se aior e o período enor. Exeplo II. 6 Os aortecedores de u carro velho de 1000 g estão copletaente gastos. Quando ua pessoa de 980 N sobe lentaente no centro de gravidade do carro, ele baixa,8 c. Quando essa pessoa está dentro do carro durante ua colisão co u buraco, o carro oscila verticalente co MHS. Modelando o carro e a pessoa coo ua única assa apoiada sobre ua única ola, calcule o período e a frequência da oscilação. Solução: F A constante da ola é 3,5 10. A assa da pessoa é x 0,08 P / g 100g. A assa total que oscila é =1100 Kg. O período T 1, 11s. Enquanto a frequência é 0,90Hz. Exeplo II. 7 Suponha que o corpo de u pêndulo físico seja ua barra de copriento L suspensa e ua de suas extreidades. Calcule o período de seu oviento oscilatório. Solução: O oento de inércia de ua barra e relação a u eixo passando e sua extreidade é 1 I ML. A distância entre o eixo de rotação e o centro de assa é L/. Para este 3 pêndulo físico, I L T MgL / 3g 3 L g. Note que o período desse pêndulo físico é do período de u pêndulo siples. 3 31

12 Exercícios Propostos Exercício II. 1 Ua assa de 400 g está se ovendo ao longo do eixo x sob a influência da força 4 de ua ola co 3,5 10 N /. Não existe outras forças agindo na assa. O ponto de equilíbrio é e x = 0. Suponha que e t = 0 a assa está e x = 0 e te velocidade de,4 /s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, qual a aplitude e onde a assa estará e t = 0,60 s? Resposta: 1,5 Hz; 0,6 ; -0,16. Exercício II. Ua assa está pendurada vertivalente acoplada a ua ola de constante. Encontre a equação de oviento, quando levaos e conta a força da gravidade. Resposta: x Acos( t ) g /. Exercício II. 3 Ua olécula de hidrogênio ( H ) pode ser considerada u sistea de duas assas ligadas por ua ola. O centro da ola, ou seja, o centro de assa do sistea pode ser considerado fixo e assi a olécula consiste de dois osciladores 3 vibrando e direções opostas. A constante da ola é 1,13 10 N / e a assa de cada H é 1, , g. Suponha que a energia de vibração da olécula é J. Encontre a aplitude da oscilação e a velocidade áxia. Resposta: 1, e 8,8 10 / s. Exercício II. 4 Qual é o copriento do pêndulo e u lugar cuja gravidade g 9,81 / s? O pêndulo te u período de exataente s, onde cada balanço leva 1 s. Resposta: 0,994. Exercício II. 5 U pêndulo físico consiste de ua esfera unifore de assa M e raio R suspensa por u cabo co assa desprezível e copriento L. Levando e conta o taanho da bola, qual é o período de pequenas oscilações desse pêndulo? Resposta: g( R L) R ( R L) 5 Exercício II. 6 O haltere da balança de Cavendish consiste de duas assas iguais de 0,05 g conectadas por ua barra co assa desprezível e de copriento 0,40. Quando o conjunto se ovienta, a balança gira para frente e para trás co u período de 3,8 inutos. Encontre o valor da constante de torção. 6 Resposta: 1,5 10 N. / rad. 3