Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departaento de Física Centro de Ciências Eatas Universidade Federal do Espírito Santo Últia atualização: 8/11/006 11:1 H 10 - Oscilações Fundaentos de Física Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Física Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Física Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 003 Cap Oscilações Cap Oscilações Cap Oscilações Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/006)

2 Probleas Resolvidos de Física HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FUNDAMENTOS DE FÍSICA CAPÍTULO 14 - OSCILAÇÕES EXERCÍCIOS E PROBLEMAS [Início docuento] 06. Qual a aceleração áia de ua platafora que vibra co ua aplitude de,0 c, nua freqüência de 6,60 Hz? (Pág. 4) A aceleração de u sistea que eecuta oviento harônico siples é descrita por: () t cos ( ) a ω ωt+ φ Portanto, a aceleração áia desse sistea, cos (ωt + φ) ± 1, será: ( ) ( ) ( ) a f 1 a ω π 4π 6, 60 s 0, 00 37,839 /s a 37,8 /s a [Início docuento] 3. U bloco de 0,10 kg oscila para frente e para trás, ao longo de ua linha reta, nua superfície horizontal se atrito. Seu deslocaento a partir da orige é dado por ( 10 c) cos ( 10 rad/s ) t+ ( π / rad) (a) Qual a freqüência de oscilação? (b) Qual a velocidade áia alcançada pelo bloco? E que valor de isto acontece? (c) Qual a aceleração áia do bloco? E que valor de isto ocorre? (d) Que força, aplicada no bloco, resulta nesta dada oscilação? (Pág. 43) Coparando-se a equação do oviento harônico siples do enunciado co a equação geral do MHS: Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações

3 Probleas Resolvidos de Física () t cos( ωt+ φ ) Percebeos a aplitude do MHS é y 10 c, a freqüência angular é ω 10 rad/s e que a constante de fase á φ π/ rad. (a) A freqüência f do MHS é: 1 ( 10 s ) ω f 1,5915 s π π f 1, 6 Hz (b) A velocidade da assa vale: d v ( 10 c)( 10 rad/s) sen ( 10 rad/s ) t+ ( π / rad) dt 1 ( 1,0 /s) sen ( 10 rad/s ) ( / rad) v t+ π A velocidade escalar áia será atingida quando sen (ωt + φ) ± 1. Logo: v 1, 0 /s a A velocidade v a é atingida e 0. (c) A aceleração da assa vale: dv a ( 1,0 /s)( 10 rad/s) cos ( 10 rad/s ) t+ ( π / rad) dt ( 10 /s ) cos ( 10 rad/s ) ( / rad) a t+ π A aceleração escalar áia será atingida quando cos (ωt + φ) ± 1. Logo: a 10 /s a A aceleração a a é atingida nos etreos da trajetória da assa, ou seja, e ± 10 c. (d) A força vale: F k Mas: Logo: ( ω ) k a k ω k kg kg. N 0,10 kg 10 s s s. ( )( ) 1 ω F ( 10 N/) [Início docuento] 4. Nu certo porto, a aré faz co que a superfície do ar suba e desça ua distância d nu oviento harônico siples, co u período de 1,5 h. Quanto tepo leva para que a água desça ua distância d/4 de sua altura áia? (Pág. 43) Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 3

4 Probleas Resolvidos de Física E prieiro lugar, vaos copor a equação do oviento harônico siples relativo à oscilação da aré: y() t ycos( ωt+ φ ) Considere o esquea abaio, que ostra os liites de oscilação da aré: y d d/ d/4 0 Preaar Baiaar Pelo esquea, deduz-se que a aplitude do oviento é y d/. Vaos supor φ 0 para siplificar o cálculo. A freqüência angular ω pode ser obtida a partir do período T, fornecido no enunciado: π π ω 0,506 rad/h T 1,5 h ( ) Portanto, teos: d y() t cos( ωt) No instante t 0 0 s, a posição do nível do ar é áia (preaar), ou seja, y (0) d/. A partir daí, a aré coeça a descer e estaos interessados no tepo gasto para o nível baiar de y (0) d/ até y (1) d/4. O instante t 1 e que isso acontece pode ser calculado por eio da equação do MHS. d d y(1) cos( ωt1 ) 4 1 cos( ωt1 ) π t1 ω 0,506 rad/h 3 t1,08 h 1 cos, 0833 h ( ) [Início docuento] 9. U oscilador harônico siples consiste e u bloco co assa,00 kg ligado a ua ola co constante 100 N/. Quando t 1,00 s, a posição e a velocidade do bloco são 0,19 e v 3,415 /s. (a) Qual a aplitude das oscilações? Quais era (b) a posição e (c) a velocidade da assa e t 0 s? (Pág. 44) (a) A equação geral do oviento harônico siples é: () t cos( ωt+ φ ) E t 1 1,00 s, a posição do corpo oscilante é 1. 1 cos( ωt 1+ φ ) (1) 4 Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações

5 Probleas Resolvidos de Física A velocidade do corpo é: () t ω sen ( ω + φ) v t E t 1 1,00 s, a posição do corpo oscilante é v 1. v1 sen ( ωt 1 + φ ) () ω Dividindo-se () por (1): v sen ( ωt1 + φ) ( + ) ( ωt φ ) 1 tan 1 + ω1 cos ωt1 φ φ tan v ω1 1 1 ωt A freqüência angular do MHS vale: 1 ( ) (,00 kg) ω k 100 N/ 7,0710 rad/s Agora podeos operar (3): ( ) ( 7,0710 rad/s)( 0,19 ) 1 3,415 /s φ tan ( 7,0710 rad/s)( 1,00 s) 8,3808 rad Os possíveis candidatos para valores da constante de fase φ são φ 1 φ +π, rad e φ φ 1 π 5,39...rad. O cálculo de consiste na substituição de φ e ω e (1) e resolução para. Não fará diferença o uso de φ 1, φ ou eso φ. O áio que poderá acontecer é a btenção do eso valor para co o sinal trocado. No entanto, o valor de φ que produzir o valor positivo de, será o valor correto de φ. ( 0,19 ) ( )( ) ( ) 1 cos( ωt1+ φ1) cos 7, 0710 rad/s 1, 00 s +,0976 rad Utilizando-se o valor de φ na epressão acia, o resultado será 0, rad. Logo: 0,500 rad Portanto, o valor correto da constante de fase é φ, rad. (b) A posição de e t 0 s é: ( ) ( ) (0) 0, 4999 rad cos,0976 rad 0, 514 (0) 0,51 (c) A velocidade de e t 0 s é: ( )( ) ( ) v (0), 0976 rad 0, 4999 rad sen, 0976 rad 3, 0556 /s v(0) 3, 06 /s 0, 4999 rad (3) [Início docuento] 31. Duas partículas oscila e u oviento harônico siples ao longo de u segento de reta cou de copriento A. Cada partícula te u período de 1,5 s, as difere e fase de π/6 rad. (a) Qual a distância entre elas (e teros de A), 0,50 s após a partícula ais atrasada Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 5

6 Probleas Resolvidos de Física deiar ua das etreidades do percurso? (b) Elas estão se ovendo no eso sentido, e direção ua da outra ou estão se afastando? (Pág. 44) [Início docuento] 44. Quando o deslocaento no MHS é etade da aplitude, que fração da energia total é (a) cinética e (b) potencial? (c) Co qual deslocaento, e teros de aplitude, a energia do sistea é etade cinética e etade potencial? (Pág. 45) [Início docuento] 6. U pêndulo é forado prendendo-se ua haste longa e fina de copriento L e assa e u dado ponto, que está a ua distância d acia do centro da haste. (a) Ache o período deste pêndulo e teros de d,, L e g, considerando-se que oscile co ua pequena aplitude. O que acontece ao período, se (b) d é reduzido, (c) L é auentado ou (d) é auentada? (Pág. 45) Veja o esquea da situação: L d Eio de rotação CM (a) O período de u pêndulo físico é dado por: T π I gd O oento de inércia do pêndulo é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: L I ICM + d + d L + d 1 1 Logo: ( L + 1 d ) T π 1 gd ( 1 ) Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 6

7 Probleas Resolvidos de Física T π ( L + 1d ) 3gd O coportaento do período e relação à variação de, L e d será representado por eio de gráficos apropriados,: (b) T f(d), para g 9,81 /s e L 1,0 : T HsL d HL Reduzindo-se o valor de d, o período tende a diinuir até u valor ínio e d L/ 3. Neste ponto, o período é igual Tin π L/ ( g 3) tende rapidaente ao infinito. (b) T f(l), para g 9,81 /s e d 0,30 : T HsL Diinuindo-se ainda ais o valor de d, o período L HL O período auenta linearente co o auento de L, para L >> d. (c) Coo T não depende de, o período é constante e relação à variação de. [Início docuento] 65. U disco circular unifore cujo raio R é de 1,5 c está suspenso, coo u pêndulo físico, de u ponto e sua borda. (a) Qual o seu período de oscilação? (b) A que distância radial r < R há u ponto de suspensão que origina o eso período? (Pág. 47) (a) Considere o seguinte esquea da situação: Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 7

8 Probleas Resolvidos de Física Ponto de suspensão R y M θ CM z P z Aplicando-se a segunda lei de Newton rotacional ao pêndulo: τ Iα z z O oento de inércia do pêndulo é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: Logo: MR 3MR I ICM + MR + MR 3MR Mg senθ R θ t Para pequenas oscilações, teos sen θ θ. θ g + θ 0 t 3R Esta é a equação diferencial do oviento harônico siples, e que: g ω 3R Logo: ( ) π 3R 6R 6 0,15 T π π π 0,86865 s ω g g 9,81 /s T 0,869 s ( ) (b) O novo esquea da situação é ostrado a seguir: MR r θ Ponto de suspensão CM O novo oento de inércia será: P MR M I ICM + Mr + Mr ( R + r ) Aplicando-se a segunda lei de Newton rotacional ao pêndulo: M Mg senθr R + r Fazendo sen θ θ: θ gr + θ 0 t R + r y z ( ) θ t Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 8

9 Probleas Resolvidos de Física Logo: ' ω T gr R + r ' R + r π gr O problea pede o valor de r para T T. Logo: 3R R + r π π g gr R 3R + r r r 3Rr+ R 0 As raízes desta equação do segundo grau são r R e r R/. Coo r R corresponde à situação do ite (a), teos: R r [Início docuento] 68. Ua haste de u etro balançando de ua das etreidades oscila co ua freqüência f 0. Qual seria a freqüência, e teros de f 0, se a etade inferior da haste fosse cortada? (Pág. 47) Considere o seguinte esquea da situação: L CM,0 A h0 L/ CM,1 M/ A h1 M Seja I 0 e I 1 os oentos de inércia da haste original e da haste cortada, e relação ao eio de rotação (ponto A) e I CM,0 e I CM,1 os oentos de inércia dessas barras e relação aos respectivos centros de assa. Na barra original, teos: ML I CM,0 1 O valor de I 0 é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: L ML ML ML I0 ICM,0 + M Na barra cortada, teos: Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 9

10 Probleas Resolvidos de Física M L ML ICM, O valor de I 1 é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: M L ML ML ML I1 ICM, A freqüência de oscilação do pêndulo original pode ser descrita e teros do seu período T 0 : f L Mg 1 1 Mgh 1 1 3g T π I π π L π ML A freqüência de oscilação do pêndulo cortado pode ser descrita e teros do seu período T: f L Mg 1 1 Mgh g T π I π ML π L 4 1 Coparando-se (1) e (): 1 f0 f1 f f 1 0 g L (1) () [Início docuento] 76. Ua roda gira livreente e torno de seu eio fio. Ua ola está ligada a u de seus raios, a ua distância r do eio, coo veos na Fig (a) Considerando que a roda é u aro de assa e raio R, obtenha a freqüência angular de pequenas oscilações deste sistea e teros de, R, r e a constante da ola k. Coo udaria o resultado se (b) r R e (c) r 0? (a) Veja o esquea co o detalhe da aplicação da força sobre o raio da roda: (Pág. 49) Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 10

11 Probleas Resolvidos de Física F θ r Aplicando-se a segunda lei de Newton à rotação da roda, teos: θ τ z I t θ Fr cosθ R t Mas a força e é dada por: F k krsenθ Logo: θ kr senθcosθ R t θ kr senθcosθ + 0 t R Para pequenas oscilações do sistea, sen θ θ e cos θ 1: θ kr + θ t R 0 Esta é a equação do oviento harônico siples, e que a freqüência angular ω vale: r ω R k (b) Para r R, tereos: ω k Este resultado corresponde ao período de oscilação de ua assa conectada a ua ola k. (c) Fazer r 0, equivale a conectar a ola ao eio da roda, o que não irá provocar oscilações no sistea. ω 0 [Início docuento] 91. U pêndulo físico consiste e duas hastes co u etro de copriento que são ligadas coo ostra a Fig Qual o período de oscilação co u eio inserido no ponto A? Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 11

12 Probleas Resolvidos de Física (Pág. 49) Antes de calcular o período de oscilação deste pêndulo físico, precisaos deterinar a posição do centro de assa e o oento de inércia do pêndulo. A posição do centro de assa pode ser facilente deduzida devido à sietria do sistea. Representando-se cada ua das barras por assas pontuais localizadas e seus respectivos centros de assa (CM 1 e CM ). Veja o esquea a seguir: L A CM1 Barra 1 L/ CM h L/4 L Barra CM Deduz-se que o centro de assa do pêndulo está localizado a ua distância h L/4 do eio de rotação (ponto A). O oento de inércia do pêndulo e relação ao ponto A vale: I I + I A 1, A, A Nesta epressão, I 1,A e I,A são os oento de inércia das barras 1 e e relação ao ponto A. O valor de I 1,A é tabelado (ou pode ser deterinado por integração de d): ML I 1, A 1 O valor de I,A é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: Logo: L ML ML ML I, A ICM + M ML ML 5ML IA I1, A + I, A Agora podeos aplicar a segunda lei de Newton rotacional ao sistea oscilante. Veja o esquea abaio: Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 1

13 Probleas Resolvidos de Física A CM h θ P τ I z A d θ dt 5ML d θ Psenθh 1 dt L 5ML d θ Mg senθ 4 1 dt d θ 6g + sen θ 0 dt 5L Para pequenas oscilações: d θ 6g + θ 0 dt 5L A epressão acia corresponde à equação diferencial do oviento harônico siples, e que a freqüência angular pode ser identificada coo: ω 6g 5L Finalente, o período vale: ( ) π 5L 51 T π π 1,831 s ω 6g 69,81 /s T s ( ) [Início docuento] Halliday, Resnick, Walker - Física - 4 a Ed. - LTC Cap. 14 Oscilações 13

14 Probleas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA CAPÍTULO 15 - OSCILAÇÕES PROBLEMAS [Início docuento] 0. U oscilador consiste e u bloco de assa de 51 g preso a ua dada ola. Ao oscilar co aplitude de 34,7 c, ele repete seu oviento a cada 0,484 s. Encontrar: (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular, (d) a constante de força, (e) a velocidade áia e (f) a força áia eercida no bloco. (Pág. 19) (a) O período do oviento de oscilação é o tepo gasto para que o oviento se repita, ou seja, coplete u ciclo. Logo: T 0,484 s (b) A freqüência de oscilação vale: 1 1 ν,0661 s,0661 Hz T ν,07 Hz (c) A freqüência angular vale: ω πν 1,9817 rad/s ω 13,0 rad/s (d) Para deterinar a constante de força, partios da conhecida relação: ω k k ω k 86,3 N/ 86, 857 N/ (e) A dependência da velocidade da assa e relação ao tepo é dada pela seguinte equação: v t () t ω sen ( ω + φ) Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

15 Probleas Resolvidos de Física A velocidade áia v a é encontrada quando sen(ωt + φ) ±1. Logo: va ω 4,5046 /s v 4,50 /s a (f) A dependência da força que a ola eerce sobre o bloco e relação ao tepo é dada pela relação: F a ω ωt+ φ () t () t cos ( ) A força áia F a é encontrada quando cos(ωt + φ) ±1. Logo: Fa ω 9,9407 N F 9,9 N a [Início docuento] 08. U corpo oscila co oviento harônico siples de acordo co a equação ( 6,1 ) cos ( 8,38 rad/s) t+ 1,9 rad Encontre (a) o deslocaento, (b) a velocidade e (c) a aceleração no instante t 1,90 s. Encontre tabé (d) a freqüência e (f) o período do oviento. (Pág. 19) (a) A posição e t 1,90 s vale: ( ) ( )( ) (1,90 s) 6,1 cos 8,38 rad/s 1,90 s + 1,9 rad 3,6764 (1,90 s) 3, 7 (b) A velocidade e t 1,90 s vale: d v () t ( 8,38 rad/s)( 6,1 ) sen ( 8,38 rad/s) t 1,9 rad dt + ( )( ) ( )( ) v (1,90 s) 8,38 rad/s 6,1 sen 8,38 rad/s 1,90 s + 1,9 rad 43,3634 /s v(1,90 s) 43,4 /s (c) A aceleração e t 1,90 s vale: dv a () t ( 8,38 rad/s) ( 6,1 ) cos ( 8,38 rad/s) t 1,9 rad dt + ( ) ( ) ( )( ) a (1,90 s) 8,38 rad/s 6,1 cos 8,38 rad/s 1,90 s + 1,9 rad 9, 4683 /s a(1,90 s) 9 /s (d) A freqüência vale: ω 8,38 rad/s ν 1,33371 Hz π π ν 1, 33 Hz (e) O período vale: 1 T 0,74978 s ν Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

16 Probleas Resolvidos de Física T 0,750 s [Início docuento] 13. Nu certo porto, a aré faz a superfície do oceano subir e descer e oviento harônico siples, co u período de 1,5 h. Quanto tepo a água leva para, partindo da altura áia, atingir etade desta distância abaio do nível de equilíbrio? (Pág. 0) [Início docuento] 14. Dois blocos ( 1, kg e M 18,73 kg) e ua deterinada ola (k 344 N/) estão arranjados nua superfície horizontal, se atrito, coo ostra a Fig. 5. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é de 0,4. Deterine a aplitude áia possível do oviento harônico siples para que não haja deslizaento entre os blocos? Considere o seguinte esquea, onde o índice 1 se refere ao bloco e a M: (Pág. 0) N 1 F N M f f N 1 y P a1 a P 1 A áia aceleração que o bloco suporta (a 1 ) se deslizar é aquela que não rope a condição de atrito estático co o bloco M: f a 1 μn μg a a1 1 1 μg Portanto, o sistea oscilante poderá apresentar aceleração áia (a a ) igual a μg. Logo: a a ω () t () t a ω Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

17 Probleas Resolvidos de Física a ( μg ) a ω k ( M) + M μ g + 0,11917 k 0,1 [Início docuento] 19. Duas partículas oscila, co oviento harônico siples, ao longo de u eso segento de reta, de copriento L. Elas tê o eso período de 1,50 s e fases que difere de 30,0 o. (a) Qual será a distância entre elas (e teros de L)? Qual será a distância entre elas, 0,500 s depois que a partícula atrasada deiar u dos etreos da trajetória? (b) Elas estão se ovendo no eso sentido, ua se aproiando da outra, ou estão se afastando neste instante? (Pág. 0) E prieiro lugar vaos construir as equações de oviento das partículas 1 e. As equações gerais do MHS de 1 e são: 1( ) cos( ωt) t π ( t) cos ωt+ 6 Coo T 1 T T 0,500 s, as freqüências angulares ω 1 eω são iguais a ω para as duas partículas. π π 4π ω rad/s T 1, 5 3 As aplitudes do MHS tabé são iguais para abas as partículas, co L/. Logo: 1( t) ( t) L 4π cos rad/s t 3 L 4π π cos rad/s t Sendo φ 1 0, teos φ φ 1 + π/6. Isto significa que a partícula 1 está atrasada de π/6 rad e relação à partícula. E t 0, 1 0 e L 3/4 0, L. Ou seja, a distância entre as partículas e t 0 é: d 1( t 0) 0,433 L As velocidades das partículas 1 e são dadas por: v 1( t) 4π L 4π rad/s sen rad/s t L 4 v π ( t) rad/s sen π rad/s t π E t 0,500 s, teos as seguintes posições e velocidades para as partículas 1 e : Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

18 Probleas Resolvidos de Física L 4π 1(0,500 s) cos rad/s ( 0,500 s) t 0, 50L 3 v (0,500 s) 1(0,500 s) L 4π π cos rad/s ( 0,500 s) 0, 433L π L 4π rad/s sen rad/s ( 0,500 s) 1,813L 3 3 4π L 4π π v(0,500 s) rad/s sen rad/s ( 0,500 s) + 1, 047L A distância entre as partículas e t 0,500 s vale: ( ) ( ) d1( t 0,500 s) (0,500 s) 1(0,500 s) 0,433L 0,50L d 1( t 0,500 s) 0,183 L Considere o seguinte esquea, que ostra as posições e as velocidades das partículas e t 0,500 s. t 0,500 s v v1 1 L/ 0 L/ Portanto, e t 0,500 s, as partículas estão se aproiando. [Início docuento] 0. Duas partículas eecuta oviento harônico siples de esas aplitude e freqüência, ao longo da esa linha reta. Elas se cruzarão quando, ovendo-se e sentidos opostos, seus deslocaentos fore iguais à etade da aplitude. Encontre a diferença de fase entre elas. (Pág. 0) [Início docuento] 1. Duas olas estão presas a u bloco de assa, que pode deslizar se atrito nua superfície horizontal, coo está ostrado na Fig. 6. Mostre que a freqüência de oscilação do bloco é 1 k1+ k ν ν1 + ν π onde ν 1 e ν são as freqüências e que o bloco oscilaria se fosse conectado soente à ola 1 ou à. (O análogo elétrico deste sistea é ua cobinação e série de dois capacitores). (Pág. 0) Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

19 Probleas Resolvidos de Física Para a ola k 1, teos: ω πν 1 1 ω 1 ν1 π π k1 4πν 1 k 1 1 k1 4π ν 1 (1) De fora análoga, para a ola tereos: π ν () k 4 Considere o seguinte esquea: k1 F1 F k 0 A força elástica resultante sobre o bloco vale: F F + F k k ( k + k ) Sabeos que para o MHS é válida a seguinte relação: a ω () t () t De acordo co a segunda lei de Newton, teos: F a Substituindo-se (3) e (4) e (5): ( ) ω k + k 1 k k ω (3) 1+ (6) Substituindo-se (1), () e a relação ω πν e (6): 4π ν + 4π ν 4π ν 1 ν ν + ν 1 (4) (5) [Início docuento]. Liga-se duas olas e no etreo de ua delas prende-se u bloco de assa, coo está ostrado na Fig. 7. Não há atrito entre as superfícies. Se as olas separadaente tivere constantes de força k 1 e k, ostre que a freqüência da oscilação do bloco será 1 kk 1 νν 1 ν π ( k + k ) ν + ν 1 1 onde ν 1 e ν são as freqüências e que o bloco oscilaria se fosse conectado soente à ola 1 ou à. (O análogo elétrico deste sistea é ua cobinação e paralelo de dois capacitores). Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

20 Probleas Resolvidos de Física Considere o seguinte esquea: (Pág. 0) F k1 F1 F k Seja as seguintes relações, e que 1 e são os estiraentos das olas k 1 e k, respectivaente: F F k k () A partir destas equações, teos: F1 1 (3) k 1 F (4) k Vaos iaginar que a associação e série de olas ostrada na Fig. 7 possa ser substituída por ua ola equivalente de constante k, de tal fora que as características do oviento ipriido ao bloco não seja alterado. (1) F k As Eqs. (1)-(4) sugere que: ' F k ' ' F (6) ' k Nas Eqs. (5) e (6), corresponde à distância de copressão ou estiraento da ola k e F é a força elástica correspondente gerada pela ola. O iportante é observar que: 1+ (7) F F F F 1 Substituindo-se (3), (4) e (6) e (7): F F F ' 1 ' k k1 k Aplicando-se a relação (8), teos: F ' 1 F ' F k k1 k k1k ' 1 1 k + k (5) (8) Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

21 Probleas Resolvidos de Física ' ' k1+ k F k F (9) kk 1 Coparando-se (5) e (9), teos: k1+ k F kk Logo: 1 kk 1 F k + k 1 ' kk 1 k k + k 1 (10) A freqüência de oscilação do sistea vale: ' ' ' ω 1 k ν ν π π (11) Substituindo-se (10) e (11): 1 ν π kk k k ' 1 ( + ) 1 [Início docuento] 8. (a) No oviento harônico siples, quando o deslocaento for igual à etade da aplitude, que fração da energia total será cinética e que fração será potencial? (b) Para que valor do deslocaento etade da energia será cinética e etade será potencial? (Pág. 1) (a) A equação do oviento harônico siples é: () cos( ωt+ φ ) t Quando o deslocaento for igual à etade da aplitude, teos: ( t ( ) 0 ) cos ωt0 + φ Isto iplica e que no tepo t 0 teos: 1 cos( ωt0 + φ) A energia ecânica total do MHS é dada por: 1 E k (1) No instante t 0 a energia potencial do sistea vale: U( t ( ) 0) k( t0) k cos ωt0 φ k + U 1 8 ( t0 ) k () Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

22 Probleas Resolvidos de Física A energia cinética do sistea no instante t 0 pode ser calculada por diferença: 1 1 K( t0) E U( t0) k k 8 3 K( t0 ) k (3) 8 Agora podeos usar as Eqs. (1)-(3) para calcular o que foi pedido. A fração da energia total que será cinética é: f K 3 K k ( t0 ) 8 E 1 k 3 f K 4 A fração da energia total que será potencial é: 1 U k ( t0 ) f 8 U E 1 k 1 f U 4 (b) Usareos a condição da energia potencial ser etade da energia ecânica total: E U 1 k 1 k [Início docuento] 34. U bloco de assa M está e repouso e ua esa horizontal, se atrito, preso e suporte rígido por ua ola de constante elástica k. Ua bala de assa e velocidade v atinge o bloco, coo ostra a Fig. 30; a bala fica presa no bloco. Deterine a aplitude do oviento harônico siples resultante, e teros de, M, v e k. (Pág. 1) Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

23 Probleas Resolvidos de Física Considere o seguinte esquea da situação: +M - 0 Logo após a colisão copletaente inelástica entre a bala e o bloco, abos passa a eecutar oviento harônico siples coo u só corpo de assa + M. A velocidade do conjunto iediataente após a colisão corresponde à velocidade áia do MHS (v a ). O cálculo de v a é feito por eio da aplicação do princípio da conservação do oento linear na coordenada : P 0 P pbala,0 + pbloco,0 pbala + pbloco v + 0 v + Mv a a v va + M Durante o MHS, a velocidade do sistea bloco + bala e função do tepo é dada por: v t () ω sen ( ω + φ) t A velocidade áia do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) ± 1. Logo: v a ω v ω a () Por definição, a freqüência angular ω é dada por: ω k + M Substituindo-se (1) e (3) e (): v + M + M k v ( + ) M k (1) (3) [Início docuento] 36. U bloco de 4,00 kg está suspenso por ua ola de constante elástica 5,00 N/c. Ua bala de 50,0 g é atirada sobre o bloco, de baio para cia, co velocidade de 150 /s, ficando e repouso no interior do bloco. (a) Encontre a aplitude do oviento harônico siples resultante. (b) Que fração da energia cinética original da bala se transfora e energia ecânica do oscilador? (Pág. ) Considere o seguinte esquea da situação: Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

24 Probleas Resolvidos de Física y y + M M 0 v0 -y Logo após a colisão copletaente inelástica entre a bala e o bloco, abos passa a eecutar oviento harônico siples coo u só corpo de assa + M. A velocidade do conjunto iediataente após a colisão corresponde à velocidade áia do MHS (v a ). O cálculo de v a é feito por eio da aplicação do princípio da conservação do oento linear na coordenada : P 0 P pbala,0 + pbloco,0 pbala + pbloco v0 + 0 va + Mva v0 va + M Durante o MHS, a velocidade do sistea bloco + bala e função do tepo é dada por: v y t () ω sen ( ω + φ) t A velocidade áia do MHS é obtida quando sen (ωt + φ) ± 1. Logo: v a ω y () A freqüência angular do sistea vale: ω k + M Substituindo-se (1) e (3) e (): v k y + M + M + M y v0 v0 0, M k k + M y 0,17 ( ) (b) A energia ecânica do oscilador corresponde à sua energia cinética áia. 1 E f K 1 Substituindo-se (1) e (4): f ( + M) va ( + ) M v v 0 v0 0 ( ) + M v0 v0 + M + M a 0, (1) (3) (4) Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

25 Probleas Resolvidos de Física f 0,01 [Início docuento] 37. U cilindro sólido está preso a ua ola horizontal se assa, de tal odo que ele pode rolar se deslizar sobre ua superfície horizontal, coo ostra a Fig. 3. A constante de força k da ola é,94 N/c. Sabendo-se que o sistea foi abandonado e repouso nua posição tal que a ola estava distendida de 3,9 c, calcule as energias cinéticas (a) de translação e (b) de rotação do cilindro, quando ele passar na posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nestas condições, o centro de assa do cilindro eecuta oviento harônico siples co período de 3M T π k onde M é a assa do cilindro. (Pág. ) A energia ecânica total vale ( é a aplitude de oscilação): 1 E k 0,09375 J (1) Quando o cilindro passa pelo ponto onde a ola está relaada, a energia ecânica do sistea E estará na fora de energia cinética K. Esta está dividida e energia cinética translacional K T e rotacional K R. E K KT + K R A energia cinética translacional vale: 1 KT Mv (3) A energia cinética rotacional vale (I é o oento de inércia do cilindro e ω é a sua velocidade angular): K 1 1 MR v R Iω R 1 KR 4 Substituindo-se (3) e (4) e (): 1 1 E Mv + Mv 4 3 E Mv (5) 4 (a) Dividindo-se (4) por (5): Mv (4) () Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

26 Probleas Resolvidos de Física KT E KT KT Mv 4 3 Mv 3 4 E 0,065 J 3 0,063 J (a) Dividindo-se (3) por (5): KT E KT KT 1 Mv Mv E 0,0315 J 3 0,031 J (c) Considere o seguinte esquea das forças que age sobre o cilindro: v f α P N F y z Vaos analisar a dinâica da translação do cilindro (e ), e que F é a força elástica, f é a força de atrito estático, P é o peso do cilindro e N é a noral: F Ma d F f M dt d k f M (6) dt Agora vaos analisar a dinâica da rotação do cilindro (torques e z, e relação ao centro de assa do cilindro): Mas: Logo: τ Iα z MR fr α z v α z R MR fr z v R Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

27 Probleas Resolvidos de Física M d f (7) dt Substituindo-se (7) e (6): M d d k M dt dt d k + 0 (8) dt 3M A Eq. (8) é a equação diferencial do oviento harônico siples, onde: k ω 3M A relação entre o período de oscilação T e a freqüência angular ω é: π T ω Logo: T π 3M k [Início docuento] 45. U pêndulo físico consiste de u disco sólido unifore de assa M 563 g e raio R 14,4 c, antido no plano vertical por u eio preso à distância d 10, c do centro do disco, coo ostra a Fig. 35. Desloca-se o disco de u pequeno ângulo e a seguir ele é abandonado. Encontre o período do oviento harônico resultante. (Pág. 3) O período de oscilação de u pêndulo físico é dado pela Eq. (1), onde I é o oento de inércia do pêndulo e relação ao eio de oscilação e d é a distância entre esse eio e o centro de assa do pêndulo: I T π (1) Mgd O oento de inércia é obtido por eio da aplicação do teorea dos eios paralelos: I I + Md CM MR I + Md M I ( R + d ) () Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

28 Probleas Resolvidos de Física Substituindo-se () e (1): ( R + d ) T π 0,9058 s gd T 0,905 s [Início docuento] 48. U pêndulo consiste de u disco unifore de raio de 10,3 c e assa de 488 g preso a ua vara unifore de 5,4 c de copriento e 7 g de assa; veja a Fig. 36. (a) Calcule o oento de inércia do pêndulo e torno deste eio. (b) Qual é a distância entre o eio e o centro de assa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação para deslocaento angular pequeno. Considere o seguinte esquea da situação: (Pág. 3) 0 l h CM R M (a) O oento de inércia do pêndulo (I) é igual à soa dos oentos de inércia da vara (I vara ) e do disco (I disco ). I I + I (1) vara disco De acordo co a Fig. 9f (pág. 34, vol. 1): Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

29 Probleas Resolvidos de Física l I vara () 3 O cálculo de I disco requer a aplicação do teorea dos eios paralelos: CM ( ) I I + M l+ R MR I + M ( l+ R) (3) Substituindo-se () e (3) e (1): l R I + M ( l R) 0, kg I 0,089 kg. (b) A coordenada do centro de assa ( CM ) é dada por: ( ) CM 1 1 l ( + M) h + M( l+ R) 1 l h + M( l+ R) 0, M h 49,6 c (c) O período de oscilação deste pêndulo físico (T) vale: I T π M gh 0,5553 s T 0,555 s ( + ) [Início docuento] 51. U etro de adeira articulado e u dos seus etreos oscila co freqüência ν 0. Qual seria a freqüência, e teros de ν 0, se u terço do etro fosse cortado da parte de baio? (Pág. 3) [Início docuento] 53. U pêndulo físico te dois pontos possíveis de suspensão; u é fio e o outro ajustável ao longo do copriento do pêndulo, confore a Fig. 38. Quando gira e torno da suspensão fia, o pêndulo te período T. Invertendo-se o pêndulo, de odo que passe a girar e torno da suspensão ajustável, consegue-se, por tentativas, fazê-lo oscilar co o eso período T. Mostre que a aceleração da gravidade pode ser escrita na fora 4π L g T onde L é a distância entre as duas suspensões. Note que g pode ser edido desta aneira, se necessidade do conheciento do oento de inércia do pêndulo ou qualquer das outras diensões, co eceção de L. Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

30 Probleas Resolvidos de Física Considere o seguinte esquea da situação: (Pág. 3) T, IA T, IB A hb B CM ha CM B A Aplicando-se o teorea dos eios paralelos, podeos obter os oentos de inércia do pêndulo e relação aos eios A e B: Logo: I I + Mh A CM A I I + Mh B CM B ( ) ( )( ) I I M h h M h + h h h (1) A B A B A B A B O período de oscilação do pêndulo A vale: Logo: T I Mgh A π A MghAT I A 4π De fora seelhante para o pêndulo B teos: Logo: I B MghBT 4π Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

31 Probleas Resolvidos de Física MgT I A IB ( ha h b) () 4π Igualando-se (1) e (): MgT ( h A hb) M ( ha + hb)( ha hb) 4π Reconhecendo-se que h A + h B B L e siplificando-se a epressão: gt 4 π g L 4π L T [Início docuento] 55. U pêndulo siples de copriento L e assa está preso a u carro que se ove co velocidade constante v nua trajetória circular de raio R. Qual será o período do oviento, sabendo-se que o pêndulo eecuta pequenas oscilações e torno da posição de equilíbrio (Pág. 3) Considere o seguinte esquea das forças que age sobre o pêndulo: L θ y z FC P Para u observador localizado no referencial não inercial do carro, há duas forças atuando sobre a assa do pêndulo: a força da gravidade (P) e a força centrífuga (F C ) devido ao oviento circular do carro, que é ua força fictícia. O ódulo da força resultante (F R ) vale: 1/ 1/ v FR ( P + FC ) ( g) + (1) R Resolvendo-se a segunda lei de Newton para o sistea: τ Iα z z d θ L dt FLsenθ () R O sinal negativo e () deve-se ao fato de o torque eercido pela força resultante (F R L sen θ) ter sepre o sentido contrário da posição angular θ. Substituindo-se (1) e (): 1/ v d θ ( g ) + senθ L R dt Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

32 Probleas Resolvidos de Física Para oscilações de pequena aplitude vale a aproiação sen θ θ: d θ 1 v + ( g ) + dt L R 1/ 1/ θ + + θ 0 d g v dt L RL θ 0 O fator ultiplicativo de θ corresponde ao quadrado da freqüência angular (ω ): 1/4 g v g v ω + 1+ L RL L gr Portanto, o período de oscilação do pêndulo vale: π T ω π T g v 1+ L gr [Início docuento] Resnick, Halliday, Krane - Física - 4 a Ed. - LTC

33 Probleas Resolvidos de Física RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 003. FÍSICA CAPÍTULO 17 - OSCILAÇÕES EXERCÍCIOS PROBLEMAS [Início docuento] [Início docuento] Resnick, Halliday, Krane - Física - 5 a Ed. - LTC Cap. 17 Oscilações 33