Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Híbridos pela Mecânica Newtoniana

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Thais Mendonça Pinho
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1 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 1 7 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 1 INTRODUÇÃO Nesta apostila aprendereos oo obter o odelo ateátio de sisteas eânios híbridos ou seja, aqueles ujas assas eeuta ovientos de translação e rotação), a partir da apliação da a ei de Newton e da Equação de Euler Nosso estudo fiará restrito ao oviento de orpos rígidos no plano, tabé onheido siplesente por oviento plano Felizente, a grande aioria dos eanisos eistentes nos sisteas reais se enquadra nesse tipo de oviento Iniialente, apresentareos u resuo das equações do oviento plano de u orpo rígido e, após, ostrareos a obtenção do odelo ateátio através de eeplos ilustrativos EQUAÇÕE DO MOVIMENTO PANO DE UM CORPO RÍGIDO As equações básias da Meânia Newtoniana para o oviento plano de u orpo rígido são: 1 Translação: a ei de Newton: 1) F = R onde F é a resultante de todas as forças eternas que atua sobre o orpo de assa e aeleração do entro de assa Rotação plana: R é a Aqui deveos distinguir situações: a) Rotação e torno de u eio passando pelo entro de assa : ) T = J onde T é a resultante de todos os torques eternos que atua no orpo, e torno de u eio perpendiular ao plano do oviento e que passa pelo entro de assa do orpo, J é o oento de inéria do orpo rígido e relação a esse eso eio e é a aeleração angular do orpo

2 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana b) Rotação e torno de u eio passando por u ponto fio O que não seja o entro de assa : ) T = O J O onde T O é a resultante de todos os torques eternos que atua no orpo, e torno de u eio perpendiular ao plano do oviento e que passa pelo ponto fio O, J O é o oento de inéria do orpo rígido e relação a esse eso eio e é a aeleração angular do orpo ) Rotação e torno de u eio passando por u ponto que não oinide o o entro de assa e que sofre translação: 4) T = J r R / onde T é a resultante de todos os torques eternos que atua no orpo, e torno de u eio perpendiular ao plano do oviento e que passa pelo ponto que translada,, J é o oento de inéria do orpo rígido e relação a esse eso eio e é a aeleração angular do orpo Alé disso, r / é o vetor posição do entro de assa e relação ao ponto e R é a aeleração absoluta do ponto Obs: 1 na eq 4) são onsideradas as oponentes paralelas ao eio oordenado z, perpendiular ao plano do oviento de rotação y; as eqs ), ) e 4) tabé são onheidas oo Equações de Euler; As rotações relatadas e a) e b) já fora estudadas e apostila anterior, vaos nos onentrar, pois, no aso ), e oorre rotação e translação do entro de rotação MODEAGEM MATEMÁTICA DE ITEMA MECÂNICO HÍBRIDO erá estudada através de eeplos ilustrativos Eeplo 1: sistea ola-diso O diso da fig 1 rola se deslizar sobre o plano horizontal Ahar o seu odelo ateátio usando a oordenada Fig 1 olução:

3 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana Neste aso, é o entro instantâneo de rotação, onfore ilustra o diagraa de orpo livre da fig, no qual k é a força da ola e f é a força resistente ao rolaento Fig Apliando a eq 4): T = J r R / Usando o Teorea de teiner, ahaos o oento de inéria J : 1 J = r r = r Por outro lado, o oento T, provoado apenas pela força da ola, é dado por T = - kr = - kr onde foi usada a equação de restrição = r que liga as oordenadas e Alé disso, o produto vetorial r / R é nulo, pois abos os vetores são olineares, o sentido de para C noteos que o ponto te veloidade nula poré possui aeleração radial R = r não nula, dirigida para o entro de assa; assi, o que torna nulo o tero r / R é a definição de produto vetorial) Finalente, levando essas inforações na eq 4), hegaos ao odelo ateátio k = Eeplo istea arro-pêndulo siples A fig ostra u arro de assa M que desliza sobre ua superfíie horizontal se atrito Ele está ligado à parede por ua ola k e u aorteedor visoso e é subetido a u forçaento ft) O entro de assa do arro serve oo eio de rotação de u pêndulo siples de assa puntual e opriento Deduzir o odelo ateátio para pequenas osilações

4 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 4 Fig olução: Teos aí u sistea ultiorpo duas assas) o dois graus de liberdade: para desrever a translação do arro de assa M e para desrever a rotação do pêndulo de assa A fig 4 ostra o diagraa de orpo livre no qual estão ostradas apenas as forças que produze translação na direção e o peso g que produz oento e relação ao ponto Fig 4 Coo podeos ver, o ponto é u entro de rotação que translada no espaço Portanto, para o oviento de rotação do pêndulo, apliaos a eq 4): 4) T = J r R / onde r / R π = sen ) = os J = oento de inéria de assa puntual) T = - gsen evando tudo na eq 4) e ordenando, hegaos a a) os g sen = Já para o oviento de translação da assa M apliaos a a ei de Newton: F = M R logo, na direção teos levando e onta que são assas a onsiderar): b) f t) k = M

5 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 5 Tendo e vista que = sen = os = os sen podeos levar essas inforações na eq b) e obter, após ordenação: ) M ) os sen k = ft) Para pequenas osilações, podeos onsiderar os 1 sen e substituir nas eqs a) e ) para obter o odelo ateátio linearizado ob fora atriial: M ) k = ft) g = M k ft) = g Eeplo istea arro-pêndulo invertido Fig 5 A fig 5 ostra u arro de assa M que rola se deslizar sob a ação da força ft) Ele está ligado à estrutura fia pelo aorteedor U pêndulo invertido de assa onentrada e haste hoogênea de assa gira e torno de u pivô fiado ao arro Deduzir o odelo ateátio para pequenas osilações olução Teos novaente u sistea o duas assas e dois graus de liberdade: para desrever a translação do arro de assa M e para desrever a rotação do pêndulo invertido A fig 6 ostra o diagraa de orpo livre para o pêndulo invertido no qual estão ostradas apenas as forças que produze oento e relação ao ponto

6 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 6 Fig 6 Coo podeos ver, o ponto é u entro de rotação que translada no espaço Portanto, para o oviento de rotação do pêndulo invertido, apliaos a eq 4), poré levando e onta que agora teos duas assas e : 4) T = J r R onde r / R = / π π sen ) sen ) = os os ) = ) os 1 J = = ) T = g sen g sen = )g sen evando tudo na eq 4) e ordenando, hegaos a a) ) os ) )g sen = Já para o oviento de translação da assa M apliaos a a ei de Newton: F = M R logo, na direção teos levando e onta que são assas a onsiderar): b) f t) = M Da fig 5 obteos = = sen os = os sen e = sen = os = os sen

7 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 7 evando tudo na eq b): ft) = M os sen ) os sen ) Ordenando: ) M ) ) os ) sen = ft) Para pequenas osilações, podeos onsiderar os 1 sen e substituir nas eqs a) e ) para obter o odelo ateátio linearizado M ) ) = ft) ) ) )g = ob fora atriial: d) M ft) = g EXERCÍCIO 1 Dado o pêndulo o assa distribuída da figura, pede-se: a) Modelo ateátio; b) inearizar o odelo ateátio, estabeleendo a ondição de linearização g Resp: a) sen = l g b) = para < 1 rad l

8 Modelage Mateátia de isteas Meânios Híbridos pela Meânia Newtoniana 8 Ide Eeríio 1, poré agora eiste ua assa onentrada M na etreidade da haste e u aorteedor visoso torional C na artiulação O Resp: a) sen M)l M)g M)l C = b) M)l M)g M)l C = para < 1 rad Considere o sistea arro - pêndulo invertido do Eeplo do teto, ujo odelo ateátio é dado pela equação = ft) g M endo ft) a entrada e t) e t) as saídas, ahar as funções de transferênia orrespondentes

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