Representação De Modelos de Sistemas Dinâmicos:

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1 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados Representação De Modelos de Sisteas Dinâios: - Espaço de Estados INTRODUÇÃO Confore já foi enionado, o odelo ateátio de u sistea dinâio é obtido a partir da apliação de Leis Físias e de Equações Constitutivas dos eleentos que opõe o sistea, o que onduz, noralente, a u sistea de equações difereniais e/ou equações algébrias Tal sistea de equações, usualente, é representado de três aneiras: () Representação no Espaço de Estados () Representação por Equação I/O (Input/Output Entrada/Saída) () Representação por Matriz de Transferênia Na aula de hoje vereos o prieiro tipo de representação REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS É u enfoque ais oderno, que repousa sobre o oneito de Variáveis de Estado Nesta representação, u odelo ateátio desrito por ua equação diferenial de orde n é substituído por u sistea de n equações difereniais, todas de a orde Se o odelo ateátio for desrito por equações difereniais de orde n, então ele será substituído por u sistea de n equações difereniais de a orde A representação no espaço de estados é partiularente útil na análise e no projeto de sisteas de ontrole Ela possui as seguintes araterístias: Usa o doínio do tepo Quaisquer ondições iniiais Apliabilidade ais apla: sisteas lineares e não-lineares sisteas invariantes no tepo e variantes notepo sisteas SISO (Single Input, Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) Interpretação físia ais abstrata

2 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados A seguir, apresentareos os fundaentos do étodo a partir de eeplos siples Eeplo : Representação de u sistea eânio de a orde o u grau de liberdade, sendo a entrada u(t), que é a força eterna apliada sobre a assa, e a saída (t), que é o desloaento edido a partir da posição de equilíbrio estátio Modelo ateátio: dado pela EDOL u(t) Duas questões aparee: Q Quantas variáveis de estado são neessárias? A quantidade de variáveis de estado é igual à quantidade de ondições iniiais Coo o sistea é de a orde, ele possui duas ondições iniiais, logo neessita de duas variáveis de estado para desrever opletaente a dinâia do sistea Q Quais são as variáveis de estado do problea? São as orrespondentes às ondições iniiais do problea No aso, as variáveis de estado são então, o desloaento (t) e a veloidade ẏ (t) Obs: é iportante não onfundir variável de estado (ente ateátio) o variável físia Por eeplo, onsidereos u sistea dinâio desrito pelo sistea de equações difereniais abaio, onde, e suas derivadas são variáveis físias: Nesse aso, eiste variáveis de estado: duas para a oordenada e ua para a oordenada : desloaento (físio) desloaento (físio) variável de estado variável de estado (ateátia) (ateátia) variável de estado (ateátia) veloidade (físia) Volteos ao eeplo As variáveis de estado serão e : Derivando, obteos:

3 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados u ) ( Veos que a prieira equação não depende da dinâia do sistea, enquanto que a segunda depende E teros de variáveis de estado: u que são as equações de estado Sob fora atriial: u A equação de saída,, pode ser esrita [ ] [ ] Essas duas últias equações atriiais são, respetivaente, a equação de estado e a equação de saída E fora padrão: Du C Bu A ẋ onde [ ] u(t) u [ ] [ ] D C B A Eeplo : Representação de u sistea de a orde o dois graus de liberdade Seja o sistea eânio da fig Fig Sistea eânio o GDL Pede-se: (a) variáveis de estado e equação de estado; (b) supondo que as entradas do sistea seja f (t) e f (t) e que a saída seja, obter a equação da saída () repetir o ite (b), poré agora as saídas são e

4 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados Solução Modelo ateátio: é dado pelo sistea de EDOL's (t) f f (t) ) ( ) ( (a) Coo ada equação diferenial é de a orde, eiste quatro ondições iniiais e, portanto, quatro variáveis de estado: Derivando e usando as equações difereniais do odelo ateátio, obteos, após anipulações algébrias: (t) f f (t) Noteos que as duas prieiras equações não depende da dinâia do sistea, enquanto que a duas últias depende E fora atriial: (t) f f (t) ou seja, Bu A ẋ onde os vetores e atrizes pode ser failente identifiados (b) Considerando oo saída, ié,, a equação de saída é [ ] [ ] [ ] ) (t f f (t) ou seja, C Du onde os vetores e atrizes pode ser failente identifiados

5 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados 5 (d) Considerando oo saídas e : f (t) f (t) onde os vetores e atrizes pode ser failente identifiados FORMALIZAÇÃO DO MÉTODO Definições: Estado de u sistea dinâio: enor onjunto de variáveis (denoinadas variáveis de estado) independentes tal que o onheiento dessas variáveis no instante t t, juntaente o o onheiento da entrada para t t, deterina opletaente o oportaento do sistea para t t Portanto, o estado para t t não depende do estado e da entrada para t < t No aso de sisteas lineares invariantes no tepo, usualente esolheos t Variáveis de estado de u sistea dinâio: são as n variáveis que opõe o enor onjunto de variáveis que deterina o estado do sistea É iportante notar que essas variáveis não representa neessariaente quantidades físias e que o onjunto de variáveis de estado de u deterinado sistea dinâio não é únio Tendo e vista que as variáveis de estado são independentes, ua variável de estado não pode ser epressa oo função algébria de outra(s) variável(eis) de estado Vetor de estado de u sistea dinâio: é o vetor (t) ujas oponentes são as n variáveis de estado U vetor de estado (t) deterina univoaente o estado do sistea para qualquer instante t t, ua vez que o estado e t t seja dado e a entrada u(t) para qualquer instante t t seja espeifiada Espaço de estado: é o espaço n-diensional ujos eios oordenados são as variáveis de estado,,, n Portanto, qualquer estado pode ser representado por u ponto no espaço de estado Assi, no sistea do eeplo, teos as variáveis de estado e ẏ, logo o espaço de estados é bidiensional, podendo ser loalizado nu plano o eios e Equações do espaço de estados Três tipos de variáveis aparee na odelage de sisteas dinâios por espaço de estados: variáveis de entrada variáveis de saída variáveis de estado Seja o sistea dinâio da fig, o qual possui r variáveis de entrada:u (t), u (t),, u r (t) variáveis de saída: (t), (t),, (t) n variáveis de estado: (t), (t),, n (t)

6 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados 6 Fig Sistea o r entradas e saídas Então, o sistea pode ser desrito por n equações difereniais de a orde, que são as equações de estado: () onde f, f,, f n são não lineares, e geral Por outro lado, as saídas do sistea são funções das variáveis de entrada, das variáveis de estado e do tepo, onstituindo as equações de saída: () onde g, g,, g n são não lineares, e geral Definindo (t) (t) (t) n (t) u (t) u (t) u(t) ur (t) (t) (t) (t) (t) n r vetor de estado vetor de entrada vetor de saída as equações de estado e de saída pode ser esritas sob fora atriial opata oo ()

7 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados 7 Se as funções vetoriais f e g envolve o tepo t epliitaente, então o sistea é dito variante no tepo Caso partiular: o sistea é variante no tepo e linear Neste aso: () onde A(t) é a atriz de estado n n B(t) é a atriz de entrada n r C(t) é a atriz de saída n D(t) é a atriz de transissão direta r Se o sistea é variante no tepo e não-linear, as equações de estado e de saída, e ertos asos, pode ser linearizadas e torno de u estado de operação, de odo a peritir o uso das equações de estado e de saída para u sistea linear Por outro lado, se as funções vetoriais f e g não envolve o tepo t epliitaente, então o sistea é dito invariante no tepo e, nesse aso, as equações de estado e de saída pode ser siplifiadas para: Caso partiular: o sistea é invariante no tepo e linear Neste aso: (5) (6) onde agora as atrizes A, B, C e D são atrizes onstantes No nosso urso, tratareos apenas de sisteas invariantes no tepo e lineares Não Uniidade das Variáveis de Estado Podeos ostrar que o onjunto de variáveis de estado não é únio, ou seja, podeos seleionar u onjunto diferente de variáveis de tal odo que o odelo do sistea possa ser representado por u onjunto de equações seelhante ao das eqs (6) Considereos u sistea dinâio para o qual u onjunto de n variáveis de estado (t) [,,, n ] T

8 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados 8 foi esolhido adequadaente e para o qual a representação no espaço de estados é dada pelas eqs (6) Considereos, tabé, u outro onjunto de variáveis (t) [,,, n ] T relaionado ao prieiro pela transforação atriial P (7) onde P é ua atriz n n não singular (deterinante não nulo), o eleentos onstantes Substituindo a eq (7) na eq (6): P AP CP Du Bu Pré-ultipliando a prieira equação por P -, obteos P CP AP Du P Bu (8) fiaos o Definindo: P - AP A P - B B C P C A C B Du u (9) que está preisaente na esa fora da eq (6), logo representa tabé o eso sistea dinâio, poré utilizando u outro onjunto de variáveis de estado, o que ve deonstrar que o onjunto de variáveis de estado não é únio Desaoplaento das Variáveis de Estado Na aioria dos asos, as variáveis de estado estão aopladas, onfore ilustra o eeplo, no qual podeos ver que a atriz de estado A é ua atriz heia (ou seja, não é ua atriz diagonal ou triangular), o que denunia a presença de ua variável de estado e ais de ua equação Tal fato se haa aoplaento e, ateatiaente, signifia que as equações não pode ser tratadas separadaente, a não ser que onsigaos desaoplá-las Para desaoplar as equações de estado, podeos usar a transforação atriial P () onde P é a atriz odal assoiada o a atriz A, ou seja, P é a atriz ujas olunas são os autovetores da atriz A Da Álgebra Linear sabeos que P - A P Λ ()

9 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados 9 onde Λ é ua atriz diagonal ujos eleentos da diagonal prinipal são os autovalores da atriz A Então, as equações de estado que utiliza u vetor de estados que satisfaça a transforação da eq () toa a fora espeial (aopanhar pela eq (8)) Λ CP P Du B u () o que garante o desaoplaento das equações de estado, já que a atriz Λ é diagonal Eeplo : Seja u sistea dinâio ujo odelo ateátio é a EDOL 5 f(t), onde f(t) é a entrada e (t) é a saída Pede-se: (a) representação no espaço de estados; (b) desaoplar as equações de estado Solução (a) Variáveis de estado: Derivando: e as equações de estado são ẋ 5 f(t) 5 f(t) que pode ser oloadas na fora atriial ẋ A Bu : f(t) 5 Equação da saída: que pode ser oloada na fora atriial C Du: [ ] [ ][ f(t) ] (b) Autovalores e autovetores da atriz A 5 Usando o étodo lássio, o MatLab ou a HP8: λ - v λ - v

10 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados Matriz odal: P Diagonalização: Λ P - A P 5 Apliando as eqs (): [ ] [ ] [ ][ ] f(t) f(t) - - Finalente: [ ] [ ] f(t) - - Verifiaos, pois, que o a adoção das variáveis de estado as equações de estado se torna desaopladas EXERCÍCIOS Dada a equação diferenial de a orde ) f(t, representá-la no espaço de estados Resp: B A Dado o sistea eânio rotaional da figura ujo odelo ateátio é dado pelo sistea de equações difereniais

11 Representação de Modelos de Sisteas Dinâios: Espaço de Estados ) ( T ) ( pede-se: (a) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e (t) a saída; (b) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e (t) e (t) as saídas Resp: (a) [ ] [ ] D C B A