A Equação da Membrana

Transcrição

1 A Equação da Mebrana Biofísica II Tura de Biologia FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Vaos considerar aqui ua aproxiação e que a célula nervosa é isopotencial, ou seja, e que o seu potencial de ebrana não varia ao longo da ebrana. Neste caso, podeos desprezar a estrutura espacial da célula e tratá-la coo u ponto. A ebrana coo u capacitor: A ebrana neuronal é forada por duas caadas de lipídeos que separa os eios condutores intra e extracelular por ua fina caada isolante. Portanto, a ebrana neuronal atua coo u capacitor (veja a figura abaixo). A diferença de potencial entre as placas do capacitor é a voltage através da ebrana, V = V intra V extra. A relação entre a voltage V estabelecida entre as placas de u capacitor quando ua quantidade de carga Q é distribuída ao longo de suas placas é dada pela capacitância C: Q = CV. 1

2 Quando a voltage V uda no tepo, há ua variação na quantidade de carga Q arazenada dos dois lados da ebrana. Essa variação teporal de Q corresponde a ua corrente (I C = dq/dt) que flui para/ou das placas do capacitor, carregando-o ou descarregando-o. E teros da equação anterior, a corrente I C é dada por: I C dv ( t) = C. (1) dt É iportante notar que nunca existe u oviento de cargas através da ebrana isolante. O que ocorre é ua redistribuição de cargas nos dois lados da ebrana causada pela corrente I C que flui pelo resto do circuito. A Resistência da Mebrana: As proteínas que cruza a ebrana de u neurônio atua coo poros, ou canais iônicos, por onde corrente elétrica (íons) pode passar (íons entrando ou saindo). Ua ilustração disso é dada na figura abaixo: 2

3 Cada canal iônico (seletivo a ua dada espécie iônica) pode ser odelado por u resistor r colocado e paralelo co o capacitor que representa a ebrana (veja a figura abaixo). Segundo esta representação, a corrente iônica através de u canal pode ser escrita e teros da lei de Oh: I = V r. Esta equação pode ser reescrita e teros da condutância g do canal, coo é ais cou e neurofisiologia: I = gv. A condutância de u único canal iônico funciona coo u eleento binário, tendo valor nulo (g = 0) se o canal estiver fechado ou valor não nulo (= g) se o canal estiver aberto. Se o canal estiver aberto, os íons para os quais o canal é seletivo passarão através dele por difusão. Por exeplo, se o canal for u canal de K + haverá u fluxo de íons de potássio de dentro para fora da célula, pois há ua aior concentração de íons K + dentro da célula do que fora dela. 3

4 Por outro lado, se o canal for u canal de Na + haverá u fluxo de íons de sódio do exterior para o interior da célula, pois a concentração de íons de sódio é aior fora da célula do que dentro dela. Coo visto nas notas de aula sobre difusão, esse fluxo iônico irá gerar ua separação de cargas entre os dois lados da ebrana que produzirá ua diferença de potencial elétrico através da ebrana. No equilíbrio, o valor dessa diferença de potencial é dado pelo potencial de Nernst do íon. Vaos passar a escrever esse potencial coo E íon, por exeplo, para o potássio teos E K, para o sódio teos E Na etc: E = íon RT zf [ Íon] ln [ Íon] fora dentro. Pode-se odelar a existência de u potencial elétrico trans-ebrana provocado pelo fluxo iônico através de u canal iônico colocando-se ua bateria e série co a resistência que representa o canal iônico (veja a figura abaixo). A voltage da bateria é o potencial de Nernst para a espécie iônica à qual o canal é seletivo. 4

5 Exercício: Observe na figura que o posicionaento das placas da bateria depende do íon específico. Explique porque isso é assi e porque cada bateria ostrada está co o posicionaento das suas placas indicado pela figura. As figuras acia representa u único canal iônico de u dado tipo (de sódio, potássio ou cloreto). Poré, a esa representação pode ser usada para representar todos os canais iônicos de u dado tipo e ua célula isopotencial. Se ua célula isopotencial te N íon canais iônicos para u dado tipo de íon e todos eles estão abertos ou fechados sua condutância aos íons desse tipo é dada por: G = íon N Observando a expressão para o potencial de Nernst de u íon, veos que ele depende apenas da valência do íon, da teperatura e das concentrações do íon dentro e fora da célula. Ele não depende do núero N íon de canais iônicos na célula. Isto iplica que podeos representar o efeito cobinado da passage de corrente através dos N íon canais iônicos da célula por u circuito equivalente igual ao ostrado na figura anterior, co o eso valor da voltage da bateria, E íon, as co a resistência sendo igual a G íon (veja a figura abaixo). íon g íon. 5

6 O efeito cobinado dos fluxos das várias espécies iônicas produz ua diferença de potencial através da ebrana, o potencial de ebrana V. Podeos representar isso pela figura abaixo. Só existe corrente líquida de ua dada espécie iônica cruzando a ebrana se o potencial de ebrana V for diferente do potencial de Nernst E íon para essa espécie. Se o potencial de ebrana V for aior que o potencial de Nernst E íon do íon, isto irá iplicar e ua corrente líquida do íon nua dada direção (para dentro ou para fora da célula, dependendo da carga do íon). Se o potencial de ebrana for enor que o potencial de Nernst, haverá ua corrente líquida do íon na direção oposta à do caso anterior. Desta fora, a direção da corrente do íon é invertida quando V passa por E íon. Por este otivo, E íon tabé é chaado de potencial de reversão do íon. Exercício: Usando os valores de E Na, E K, E Cl e E Ca para o axônio gigante de lula a 20 o C dados na aula 19, deterine o sentido das correntes desses quatro íons quando V = 70 V, V = 80 V e V = +60 V. Assua que a direção positiva de corrente é de dentro para fora da célula. 6

7 Baseado no odelo da figura anterior, quando corrente passa pela ebrana (para dentro ou para fora) a variação de potencial sentida pelos íons responsáveis por ela te duas coponentes: ua é a variação ôhica devida à resistência R, RI, e a outra é a variação devida à bateria, E íon. Pela 2 a lei de Kirchoff, a soa dessas variações de potencial te que ser igual ao potencial de ebrana: V = RI + E íon. Isolando I nesta equação teos: I R = V R E íon íon = G íon ( V E ) íon. (2) Note que para que não exista corrente passando pelo resistor (ou corrente líquida entrando ou saindo da célula) o potencial de ebrana deve ser igual ao potencial de reversão. Cobinando os eleentos de circuito vistos até agora e u único odelo de circuito elétrico para ua ebrana neuronal, teos o circuito abaixo (no caso do desenho, considerou-se apenas os canais de sódio e potássio): 7

8 A Corrente de Mebrana Quando ua corrente I passa pela ebrana, teos ua situação coo a da figura abaixo (vaos definir o sentido positivo de corrente coo sendo de dentro para fora da célula; vaos tabé considerar soente u canal iônico para não sobrecarregar a figura): Aplicando a lei das correntes de Kirchoff ao nó superior dessa figura: I dv ( t) = IC + I R = C + G( V ( t) E).. (3) dt O odelo acia descreve ua ebrana passiva, pois os eleentos do circuito não depende da voltage através da ebrana. Sabe-se experientalente que existe canais iônicos cujas condutâncias depende da voltage através da ebrana (e tabé de outros fatores coo, por exeplo, da presença ou ausência de certos neurotransissores nas proxiidades da fenda sináptica e da concentração de cálcio no interior da célula), G = G(V, t,...). 8

9 Mebranas co canais iônicos desse tipo são chaadas de ativas (por extensão, chaa-se os canais desse tipo de canais ativos e suas respectivas condutâncias de condutâncias ativas). A aior parte das propriedades iportantes dos neurônios coo os potenciais de ação, por exeplo decorre dos efeitos não-lineares causados pelos canais ativos e vereos ais adiante coo eles pode ser odelados. Por ora, vaos nos restringir ao estudo das propriedades de ua ebrana passiva. Note que o odelo construído corresponde a u circuito RC (lebre-se da aula 18). Podeos estiar o tepo característico τ desse circuito para u neurônio típico, coo feito a seguir: Propriedades ateriais da ebrana: Desenrolando u pedaço de u neurônio cilíndrico de raio a, veos que a sua ebrana corresponde a u condutor de copriento b e seção reta de área A b = 2πaL. A resistência desse pedaço de ebrana é então: R = ρ, onde: A - ρ é a resistividade elétrica do aterial (unidades: Ω.c); 9

10 - 1/ρ é a condutividade elétrica σ (unidades: S/c). Para ua dada ebrana de espessura b, define-se a sua resistência específica R por: R = ρb (unidades: Ω.c2), ou seja, para se saber a resistência da ebrana de ua célula de área A cuja ebrana te resistência específica R deve-se dividir R por A. Define-se a capacitância específica C de ua ebrana coo a capacitância de ua área unitária (unidades: µf/c2). Ou seja, para se saber a capacitância da ebrana de ua célula de área A deve-se ultiplicar C por A. Alguns valores típicos para essas variáveis são: C = 1 µf/c2; R = 10 kω.c2; G = 1/R = 100 µs/c2; b = 0,1 10 µ. Exeplo: Para ua célula esférica co diâetro de 20 icrons, a sua capacitância total é: C = C.A = C.4πr 2 = ( F/c 2 )4π(10x10-4 c) 2 = 12,6 x F = 12,6 pf, e a sua resistência total é: R = R /A = (10x10 3 Ω/c 2 )/(4π.(10x10-4 c) 2 ) = 796 x 10 6 Ω = 796 MΩ. 10

11 Nota: Cada ebrana possui suas propriedades ateriais, que são independentes da fora da célula. Poré, as propriedades elétricas de ua dada célula depende da sua geoetria. Co os valores de C e de R dados acia, podeos calcular a constante de tepo de ua ebrana neuronal típica: τ = R C = RC =10 s. (4) Note que a constante de tepo da ebrana neuronal não depende do taanho e da geoetria da célula. Injeção de Corrente Externa Vaos supor que se injeta corrente I inj através de u icroeletrodo diretaente dentro da nossa pequena célula isopotencial, coo na figura abaixo. Coo podeos descrever a dinâica do potencial de ebrana V (t) e resposta a essa corrente? Usando o odelo de circuito elétrico construído acia, esta situação pode ser representada pela figura a seguir: 11

12 Por conservação de corrente, a corrente de ebrana deve ser igual à corrente injetada: I = I inj : dv ( t) C G V = dt ( ( t) E) I ( t) + inj. Multiplicando abos os lados por R e usando τ = RC: dv ( t) τ = V ( t) + E RIinj( t). dt + (5) Esta é a chaada equação da ebrana. A equação da ebrana é ua equação diferencial ordinária de prieira orde co coeficientes constantes. Definindo-se ua condição inicial V (0), a sua solução nos dará ua única curva para V versus t. Se a corrente injetada for nula, a solução da equação da ebrana é: V τ ( E V (0)) e t ( t) = E. (6) 12

13 Qualquer que seja a condição inicial, o potencial de ebrana decai exponencialente para E co o tepo. Por isso, podeos chaar E de potencial de ebrana de repouso neste caso. Se V (0) = E, o potencial de ebrana peranece no valor de repouso indefinidaente. Vaos supor agora que a corrente injetada é do tipo degrau: e t = 0 injeta-se u valor de corrente I 0 que é antido constante por u longo tepo. A teoria das equações diferenciais nos ostra que a solução ais geral da equação da ebrana é do tipo: V t t) = v0 e + ( v τ, (7) onde ν 0 e ν 1 depende das condições iniciais. Substituindo esta fora geral de solução na equação da ebrana obteos a igualdade: v E + =. 1 RI 0 Vaos ipor a seguinte condição inicial: V (0) = E. Isto nos dá: E = v. 0 + v1 v0 = RI0 Substituindo ν 0 e ν 1 na solução geral (equação 7) teos: 1 V onde se definiu V = RI 0. t t ( t) = RI 0 1 τ e + E = V 1 τ e E, + (8) U longo tepo após a aplicação do degrau de corrente (e antendo-se a corrente constante), o potencial de ebrana atinge o valor V + E = RI 0 + V (0). 13

14 É costue representar o potencial de ebrana de ua célula e relação ao seu potencial de repouso V rep (isto é, redefine-se o zero do potencial de aneira que ele coincida co o potencial de repouso da célula). Fazendo isso, pode-se definir ua nova variável: V = V ( t) Vrep, (9) e notando que neste caso V rep = E, a solução da equação da ebrana para o degrau de corrente torna-se: V e = V t τ 1. (10) A constante V = RI 0 é chaada de potencial de estado estacionário, pois é o valor para o qual a diferença (V (t) V rep ) tende e resposta ao degrau de corrente. E geral, ede-se a corrente injetada e ua célula e teros da área da ebrana que é estiulada, ou seja, ede-se a densidade de corrente (as unidades ais couns são µa/c 2 ). Para ua ebrana típica (R = 10 kω.c 2 ) estiulada co ua corrente de 5 µa/c 2, o potencial de estado estacionário vale: V = RI 0 = (R /A)(J 0.A) = R J 0 = (10 4 Ω.c 2 ).(5 x 10-6 A/c 2 ) = 5 x 10-2 V. E ilivolts (a unidade ais usada), deve-se ultiplicar o resultado acia por 10 3 : V = 50 V. 14

15 Lebrando que V = V V rep, podeos agora escrever o valor do potencial de estado estacionário edido e relação ao potencial externo coo (supondo, por exeplo, que V rep = 70 V): V = V + V rep = 50 V 70 V = 20 V. O gráfico abaixo ostra soluções nuéricas da equação da ebrana para diferentes valores do degrau de corrente injetado (R = 2 MΩ). O gráfico acia ostra as respostas do odelo de ebrana coo u circuito RC para quatro diferentes valores de J 0 (u negativo e três positivos). Na escala arbitrária de tepo usada, o estíulo degrau é aplicado e t = 20 e desligado e t =

16 Note que se I 0 for positiva, V = RI 0 será positivo. Isto quer dizer que a célula foi despolarizada (V > V rep ). Já se I 0 for negativa, V será negativo, iplicando que a célula foi hiperpolarizada. Para entender isso, vejaos o diagraa da ebrana a seguir. Ua I 0 positiva corresponde a ua corrente de ebrana positiva, I > 0. Pela convenção adotada, ua corrente de ebrana positiva indica corrente saindo da célula e isto só ocorre quando a ebrana está despolarizada, isto é, o interior da célula está ais positivo do que no repouso. Isto está de acordo co o esperado, pois quando I 0 > 0 o icroeletrodo injeta corrente diretaente no interior da célula, provocando u auento de cargas positivas no interior e despolarizando a célula. Já ua I 0 negativa (I indo de fora para dentro da célula) corresponde a ua retirada de cargas positivas do interior da célula pelo icroeletrodo, hiperpolarizando a célula. 16

17 A resistência R é chaada de resistência de entrada da célula. Quanto aior R, aior a variação na voltage através da ebrana para ua dada corrente constante. O valor da resistência de entrada do corpo celular de u neurônio varia de alguns egaohs para os neurônios otores da edula espinhal até centenas de egaohs para células corticais. 17